随缘更新，讲一点西方科学发展史中的常常被人忽略的点。
今天讲的是公理化方法的前世今生。
今天讲的是公理化方法的前世今生。
欧几里得
欧几里得1、公、理、公理，基、本
“本”字金文作图1，主体是木（指树），下部三处呈现膨大貌，似乎在凸显树木的根部。金文的“本”字形象生动地描绘出树根的特点。战国文字或体（字形5、6）亦为强调树根之意。
草木的根是草木生长的开始，因此本字就指起始、根源。事物的根源往往决定了事物的性质，而事物的性质又是它的根源的反映，“本”字也因此带有原来的、固有的含义，如本质、本能、本性、本意等等。
本字之解析：本字，由一木一横组成。一木泛指树木；一横指土地，这一横被木字之干（竖）向下穿越。本，其音通奔，所以，本字之意为：树木通过主干向地下奔放的规律。因此，可与根组成根本。
字义：1.草木的根：～草（泛指中药）。无～之木。
2.事物的根源，与“末”相对：～末（头尾；始终）。根～（根源；彻底；本质上）。
3.草的茎，树的干：草～植物。
4.中心的，主要的：～部。～体。
5.原来：～来。～领。
6.自己这方面的：～国。～身。～位。～分（fèn）…
“命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。
2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题。
请看下集《欧几里得2、公理，基本，命题，定理，化、方》”
“本”字金文作图1，主体是木（指树），下部三处呈现膨大貌，似乎在凸显树木的根部。金文的“本”字形象生动地描绘出树根的特点。战国文字或体（字形5、6）亦为强调树根之意。
草木的根是草木生长的开始，因此本字就指起始、根源。事物的根源往往决定了事物的性质，而事物的性质又是它的根源的反映，“本”字也因此带有原来的、固有的含义，如本质、本能、本性、本意等等。
本字之解析：本字，由一木一横组成。一木泛指树木；一横指土地，这一横被木字之干（竖）向下穿越。本，其音通奔，所以，本字之意为：树木通过主干向地下奔放的规律。因此，可与根组成根本。
字义：1.草木的根：～草（泛指中药）。无～之木。
2.事物的根源，与“末”相对：～末（头尾；始终）。根～（根源；彻底；本质上）。
3.草的茎，树的干：草～植物。
4.中心的，主要的：～部。～体。
5.原来：～来。～领。
6.自己这方面的：～国。～身。～位。～分（fèn）…
“命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。
2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题。
请看下集《欧几里得2、公理，基本，命题，定理，化、方》”
欧几里得2、公理，基本，命题，定理，化、方
2019年5月5日晚上19点28分，网友“芝罘（fú）山人”在贴吧开了一篇名为“从欧几里得到爱因斯坦——漫话科学史 第一话 关于公理化方法…”的帖子。
…罘、贴吧：见《欧几里得1》…
芝罘山人：随缘更新，讲一点西方科学发展史中的常常被人忽略的点。
今天讲的是公理化方法的前世今生。
…公、理：见《欧几里得1》…
公理：不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。
公理是用来推导其他命题的起点。和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果——可以干脆被归为定理了。（百度百科）
…基、本：见《欧几里得1》…
…基本：1.根本：人民是国家的～。
2.属性词。根本的：～矛盾。～原理。一个基本的事实。
3.属性词。主要的：～条件。
4.大体上：质量～合格。大坝工程已经～完成…
…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。
3、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…
…方：“方”是“放”、“旁”的本字。方，甲骨文“图A”=“图B”（像剔发刺字的犯人）+“图C”（锁颈的枷械），表示披枷流放的罪人。造字本义：动词，将罪犯剔发刺字，流放边疆。
最早见于甲骨文。方的本义是放逐，剔发披枷（jiā），流放边疆。后引申为边塞，边境。由边塞，边境引申为与中央相对的、各具特色的四处小行政区域。由边，侧引申为正四边形，正四边形边乘边所得的平面面积。由正四边形，正四边形边乘边所得的平面面积引申为正四边形的，规则的，正直的。
字义：1.正四边形或六个面都是正四边形的六面体。
2.正直：品行～正。
3.方向；方面：东～。双～。
4.办法：千～百计。领导有～。
5.地点；地区：前～。～言。
6.治病的药单：药～。处～。
7.工程上指土、石等堆积一立方米：土～。
8.数学上指自乘的积：乘～。
9.副词。正在；方才：～兴未艾（ài）。如梦～醒。年～十六…
“整个西方科学的发展，大概可以归结为一句话，“两条腿走路”
今天我就来讲一下这第一条腿——公理化方法
请看下集《欧几里得3、整个西方科学的发展，大概可以归结为一句话：两条腿走路》”
2019年5月5日晚上19点28分，网友“芝罘（fú）山人”在贴吧开了一篇名为“从欧几里得到爱因斯坦——漫话科学史 第一话 关于公理化方法…”的帖子。
…罘、贴吧：见《欧几里得1》…
芝罘山人：随缘更新，讲一点西方科学发展史中的常常被人忽略的点。
今天讲的是公理化方法的前世今生。
…公、理：见《欧几里得1》…
公理：不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。
公理是用来推导其他命题的起点。和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果——可以干脆被归为定理了。（百度百科）
…基、本：见《欧几里得1》…
…基本：1.根本：人民是国家的～。
2.属性词。根本的：～矛盾。～原理。一个基本的事实。
3.属性词。主要的：～条件。
4.大体上：质量～合格。大坝工程已经～完成…
…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。
3、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…
…方：“方”是“放”、“旁”的本字。方，甲骨文“图A”=“图B”（像剔发刺字的犯人）+“图C”（锁颈的枷械），表示披枷流放的罪人。造字本义：动词，将罪犯剔发刺字，流放边疆。
最早见于甲骨文。方的本义是放逐，剔发披枷（jiā），流放边疆。后引申为边塞，边境。由边塞，边境引申为与中央相对的、各具特色的四处小行政区域。由边，侧引申为正四边形，正四边形边乘边所得的平面面积。由正四边形，正四边形边乘边所得的平面面积引申为正四边形的，规则的，正直的。
字义：1.正四边形或六个面都是正四边形的六面体。
2.正直：品行～正。
3.方向；方面：东～。双～。
4.办法：千～百计。领导有～。
5.地点；地区：前～。～言。
6.治病的药单：药～。处～。
7.工程上指土、石等堆积一立方米：土～。
8.数学上指自乘的积：乘～。
9.副词。正在；方才：～兴未艾（ài）。如梦～醒。年～十六…
“整个西方科学的发展，大概可以归结为一句话，“两条腿走路”
今天我就来讲一下这第一条腿——公理化方法
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欧几里得3、整个西方科学的发展，大概可以归结为一句话：两条腿走路
2019年5月5日晚上19点28分，网友“芝罘（fú）山人”在贴吧开了一篇名为“从欧几里得到爱因斯坦——漫话科学史 第一话 关于公理化方法…”的帖子。
…罘、贴吧：见《欧几里得1》…
芝罘山人：随缘更新，讲一点西方科学发展史中的常常被人忽略的点。
今天讲的是公理化方法的前世今生。
…公、理、公理、化、方：见《欧几里得1、2》…
…论：形声兼会意字。篆（zhuàn）文从言，从仑（表条理），会有条理地分析事理之意，仑也兼表声。如今简化作论。论本义为分析说明事理，引申指辩论，又引申指评说，进而引申指衡量、评定，又特指定罪。
字义：1.分析和说明道理：评～。议～。
2.分析和说明道理的言论、文章或理论：舆～。社～。历史唯物～。
3.评定；看待：～罪。相提并～。
4.介词。按照：～堆卖。～件计工…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…会意字：用会意造字法造出的汉字就是会意字…]
…方法论：认识世界、改造世界的方法的理论。
它是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。概括地说，世界观主要说明世界“是什么”的问题，方法论主要说明“怎么办”的问题…
“2019-5-5 22:27，芝罘（fú）山人回复Crazykakayibu：有无科学不在于掌握多少科学知识，而在于是否掌握科学方法。我把话放在这里，中国古代从来没有过科学方法，西方也是文艺复兴开始慢慢琢（zuó）磨出来的，直到19世纪末、二十世纪初才正式形成。
请看下集《欧几里得4、第二条腿是伽利略把实验引入到科学》”
2019年5月5日晚上19点28分，网友“芝罘（fú）山人”在贴吧开了一篇名为“从欧几里得到爱因斯坦——漫话科学史 第一话 关于公理化方法…”的帖子。
…罘、贴吧：见《欧几里得1》…
芝罘山人：随缘更新，讲一点西方科学发展史中的常常被人忽略的点。
今天讲的是公理化方法的前世今生。
…公、理、公理、化、方：见《欧几里得1、2》…
…论：形声兼会意字。篆（zhuàn）文从言，从仑（表条理），会有条理地分析事理之意，仑也兼表声。如今简化作论。论本义为分析说明事理，引申指辩论，又引申指评说，进而引申指衡量、评定，又特指定罪。
字义：1.分析和说明道理：评～。议～。
2.分析和说明道理的言论、文章或理论：舆～。社～。历史唯物～。
3.评定；看待：～罪。相提并～。
4.介词。按照：～堆卖。～件计工…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…会意字：用会意造字法造出的汉字就是会意字…]
…方法论：认识世界、改造世界的方法的理论。
它是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。概括地说，世界观主要说明世界“是什么”的问题，方法论主要说明“怎么办”的问题…
“2019-5-5 22:27，芝罘（fú）山人回复Crazykakayibu：有无科学不在于掌握多少科学知识，而在于是否掌握科学方法。我把话放在这里，中国古代从来没有过科学方法，西方也是文艺复兴开始慢慢琢（zuó）磨出来的，直到19世纪末、二十世纪初才正式形成。
请看下集《欧几里得4、第二条腿是伽利略把实验引入到科学》”
欧几里得4、第二条腿是伽利略把实验引入到科学
…学：会意字。在字形上，甲骨文中的“学”字是由“两只手朝下的形状[有以两手帮助、扶掖（yè）、提携（xié）、教导之意]”、“爻（古代组成‘八卦’中每一个卦的长横短横，长短横互相交错成‘爻’，表示物象的变动、变化，知识无穷）”和“一间房子的侧视形（表示这房子是学习的地方）”组成。之后，在周代早期的“盂（yú）鼎”里出现的金文中的“学”字的“房子”里增加了个“子”，表示孩子们获得知识的场所是“学（一种教育机构，即学校）”，表达的意思趋于具体完备。在字义上，“学”的本义是“对孩子进行启蒙教育使之觉悟”，即表示“进行教导”。原本专用于表示“接受教育”，引申而指“互相讨论”、“效法，模仿”、“注释”、“讲述，说”、“知识”等。
字义：1.学习：～技术。勤工俭～。我跟着他～了许多知识。
2.模仿：他～杜鹃叫，～得很像。
3.学问：治～。博～多能。
4.指学科：数～。物理～。经济～。
5.学校：小～。大～。上～…
…科学：是一个建立在可检验的解释和对客观事物的形式、组织等进行预测的有序知识系统，是已系统化和公式化了的知识。
其对象是客观现象，内容是形式化的科学理论，形式是语言，包括自然语言与数学语言。
词义：1.关于自然界、社会和思维发展规律的知识体系。是在人们社会实践的基础上产生和发展的，是实践经验的总结。分自然科学和社会科学两大类，哲学是二者的概括和总结。
2.合乎科学的：这种方法很～…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…科学方法：是人们在认识和改造世界中遵循或运用的、符合科学原则的各种途径和手段，包括在理论研究、应用研究、开发推广等科学活动过程中采用的思路、程序…
…琢：[ zhuó ]
雕刻玉器：精雕细～。
[ zuó ]
〔琢磨（mo）〕思索；考虑：这句话值得～～。
【详细释义】
形声。从玉，豖（chù）声。本义：雕刻加工玉石
字义：雕刻玉器：精雕细～…
…磨：形声。从石，麻声。本义：磨治石器。
字义：[mó]
1.摩擦：脚上～了几个大泡。我劝了他半天，嘴唇都快～破了。
2.用磨料磨物体使光滑、锋利或达到其他目的：～刀。～墨。～玻璃。铁杵（chǔ）～成针。
3.折磨：他被这场病～得改了样子了。
4.纠缠：这孩子可真～人。
5.消灭；磨灭：百世不～。
6.消耗时间；拖延：～洋工。～工夫。
[ mò ]
1.把粮食弄碎的工具，通常是两个圆石盘做成的：一盘～。电～。推～。
2.用磨把粮食弄碎：～面。～豆腐。～麦子。
3.掉转；转变：把汽车～过来。我几次三番劝他，他还是～不过来…
…琢磨：[ zhuó mó ]
1.雕刻和打磨（玉石）。
2.加工使精美（指文章等）。
[ zuó mo ]
思索；考虑：队长的话我～了很久。你～～这里面还有什么问题…
2019-5-5 22:37，芝罘山人回复Crazykakayibu：中国古代数学 代数不是最亮眼的，最亮眼的是算法问题。中国是最早尝试数学问题的机械化求解的。将复杂问题分为若干简单机械的计算步骤是中国古数学的特色。
2019-5-7 19:44，埃尔温·隆美尔（网友网名）回复：没猜错（的话），第二条腿是伽利略搞出来的把实验引入到科学吧
…第二条腿：见《欧几里得3、整个西方科学的发展，大概可以归结为一句话：两条腿走路》…
“逻：形声。从辵（chuò），从罗，罗亦声。“罗”意为捕鸟之网。“辵”与“罗”联合起来表示“沿路观察多个捕鸟网的动静。”本义：沿路观察多个捕鸟网的动静。说明：古人一次就沿路张设多个捕鸟网，并撒下诱饵。然后回到营地，等待鸟儿自投罗网。每隔一定时间，就提着鸟笼网兜出去巡行一次，收获一些鸟儿。
请看下集《欧几里得5、理论，逻、辑、逻辑，知、识》”
…学：会意字。在字形上，甲骨文中的“学”字是由“两只手朝下的形状[有以两手帮助、扶掖（yè）、提携（xié）、教导之意]”、“爻（古代组成‘八卦’中每一个卦的长横短横，长短横互相交错成‘爻’，表示物象的变动、变化，知识无穷）”和“一间房子的侧视形（表示这房子是学习的地方）”组成。之后，在周代早期的“盂（yú）鼎”里出现的金文中的“学”字的“房子”里增加了个“子”，表示孩子们获得知识的场所是“学（一种教育机构，即学校）”，表达的意思趋于具体完备。在字义上，“学”的本义是“对孩子进行启蒙教育使之觉悟”，即表示“进行教导”。原本专用于表示“接受教育”，引申而指“互相讨论”、“效法，模仿”、“注释”、“讲述，说”、“知识”等。
字义：1.学习：～技术。勤工俭～。我跟着他～了许多知识。
2.模仿：他～杜鹃叫，～得很像。
3.学问：治～。博～多能。
4.指学科：数～。物理～。经济～。
5.学校：小～。大～。上～…
…科学：是一个建立在可检验的解释和对客观事物的形式、组织等进行预测的有序知识系统，是已系统化和公式化了的知识。
其对象是客观现象，内容是形式化的科学理论，形式是语言，包括自然语言与数学语言。
词义：1.关于自然界、社会和思维发展规律的知识体系。是在人们社会实践的基础上产生和发展的，是实践经验的总结。分自然科学和社会科学两大类，哲学是二者的概括和总结。
2.合乎科学的：这种方法很～…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…科学方法：是人们在认识和改造世界中遵循或运用的、符合科学原则的各种途径和手段，包括在理论研究、应用研究、开发推广等科学活动过程中采用的思路、程序…
…琢：[ zhuó ]
雕刻玉器：精雕细～。
[ zuó ]
〔琢磨（mo）〕思索；考虑：这句话值得～～。
【详细释义】
形声。从玉，豖（chù）声。本义：雕刻加工玉石
字义：雕刻玉器：精雕细～…
…磨：形声。从石，麻声。本义：磨治石器。
字义：[mó]
1.摩擦：脚上～了几个大泡。我劝了他半天，嘴唇都快～破了。
2.用磨料磨物体使光滑、锋利或达到其他目的：～刀。～墨。～玻璃。铁杵（chǔ）～成针。
3.折磨：他被这场病～得改了样子了。
4.纠缠：这孩子可真～人。
5.消灭；磨灭：百世不～。
6.消耗时间；拖延：～洋工。～工夫。
[ mò ]
1.把粮食弄碎的工具，通常是两个圆石盘做成的：一盘～。电～。推～。
2.用磨把粮食弄碎：～面。～豆腐。～麦子。
3.掉转；转变：把汽车～过来。我几次三番劝他，他还是～不过来…
…琢磨：[ zhuó mó ]
1.雕刻和打磨（玉石）。
2.加工使精美（指文章等）。
[ zuó mo ]
思索；考虑：队长的话我～了很久。你～～这里面还有什么问题…
2019-5-5 22:37，芝罘山人回复Crazykakayibu：中国古代数学 代数不是最亮眼的，最亮眼的是算法问题。中国是最早尝试数学问题的机械化求解的。将复杂问题分为若干简单机械的计算步骤是中国古数学的特色。
2019-5-7 19:44，埃尔温·隆美尔（网友网名）回复：没猜错（的话），第二条腿是伽利略搞出来的把实验引入到科学吧
…第二条腿：见《欧几里得3、整个西方科学的发展，大概可以归结为一句话：两条腿走路》…
“逻：形声。从辵（chuò），从罗，罗亦声。“罗”意为捕鸟之网。“辵”与“罗”联合起来表示“沿路观察多个捕鸟网的动静。”本义：沿路观察多个捕鸟网的动静。说明：古人一次就沿路张设多个捕鸟网，并撒下诱饵。然后回到营地，等待鸟儿自投罗网。每隔一定时间，就提着鸟笼网兜出去巡行一次，收获一些鸟儿。
请看下集《欧几里得5、理论，逻、辑、逻辑，知、识》”
欧几里得5、理论，逻、辑、逻辑，知、识
…识：繁体从言从戠（zhí），戠亦声。“戠”本指军队方阵操演，引申为“（团体操）图形及其变换”。“言”与“戠”联合起来表示“用语言描述图形的形状和细节”。本义：区别、辨别图形或事物形状，并用语言描述之。
字义：[ shí ]
1.认得：～字。相～。
2.知识：常～。学～。
3.见解；辨别力：很有见～。远见卓～。
[ zhì ]
记住：博闻强～…
“从少数简单的命题（即‘公理’）出发，通过严格的逻辑，证明许多复杂的不直观的命题（即‘定理’）。这里的“证明”实际上指的是一种逻辑关系——如果公理是对的，那么这些定理也是对的。
这些公理是不是对的呢？“显而易见”“不证自明”是对的。
就这样，欧几里得选取了十大公理，作为基础，构建了庞大的几何大厦，将当时已知的数学知识进行了一次空前的大整合。
请看下集《欧几里得6、逻辑关系：如果公理是对的，那么定理也是对的》”
…识：繁体从言从戠（zhí），戠亦声。“戠”本指军队方阵操演，引申为“（团体操）图形及其变换”。“言”与“戠”联合起来表示“用语言描述图形的形状和细节”。本义：区别、辨别图形或事物形状，并用语言描述之。
字义：[ shí ]
1.认得：～字。相～。
2.知识：常～。学～。
3.见解；辨别力：很有见～。远见卓～。
[ zhì ]
记住：博闻强～…
“从少数简单的命题（即‘公理’）出发，通过严格的逻辑，证明许多复杂的不直观的命题（即‘定理’）。这里的“证明”实际上指的是一种逻辑关系——如果公理是对的，那么这些定理也是对的。
这些公理是不是对的呢？“显而易见”“不证自明”是对的。
就这样，欧几里得选取了十大公理，作为基础，构建了庞大的几何大厦，将当时已知的数学知识进行了一次空前的大整合。
请看下集《欧几里得6、逻辑关系：如果公理是对的，那么定理也是对的》”
欧几里得6、逻辑关系：如果公理是对的，那么定理也是对的
…事：会意字。商代甲骨文从又、持、中，“又”为手之象形，中为猎具，手持猎具会治事意。
始见于商代甲骨文。此字本义指治事、从事；引申义指事业、事情；职事；任职、侍奉等；还可指事例、成例。
字义：1.事情：国～。公～。
2.事故：出～。平安无～。
3.职业：谋～。
4.关系；责任：回去吧，没有你的～了。
5.从事：大～宣传…
““三段论就是由大前提，小前提，结论构成的逻辑三要素，”网友“纵横竖屏”说，“例如：你的钱包在你口袋里（大前提），你的钱在你的钱包里（小前提），那么你的钱肯定在你口袋里（结论）。”
请看下集《欧几里得7、实、事实，推、导、推导，神奇的三段论》”
…事：会意字。商代甲骨文从又、持、中，“又”为手之象形，中为猎具，手持猎具会治事意。
始见于商代甲骨文。此字本义指治事、从事；引申义指事业、事情；职事；任职、侍奉等；还可指事例、成例。
字义：1.事情：国～。公～。
2.事故：出～。平安无～。
3.职业：谋～。
4.关系；责任：回去吧，没有你的～了。
5.从事：大～宣传…
““三段论就是由大前提，小前提，结论构成的逻辑三要素，”网友“纵横竖屏”说，“例如：你的钱包在你口袋里（大前提），你的钱在你的钱包里（小前提），那么你的钱肯定在你口袋里（结论）。”
请看下集《欧几里得7、实、事实，推、导、推导，神奇的三段论》”
欧几里得7、实、事实，推、导、推导，神奇的三段论
芝罘（fú）山人：但这还不是公理化方法的最可怕的地方。公理化方法最可怕的地方在于它隐含了这样一个事实——“公理本身是简单易懂的，逻辑推导也是简单易懂的（谁还不会三段论呢？），那么对于一个智力平常的人，只要他经过一定时间，从头开始学习，那么他就能够掌握庞大而繁杂的几何知识”…
…芝罘山人：网友网名。见《欧几里得1》…
…公、理、公理，化：见《欧几里得1、2》…
…事：见《欧几里得6》…
“主义：最高理想和准则。
某某主义指：以某某为最高理想和准则的思想体系。比如：
拜金主义：是把追求金钱作为最高理想和基本原则，一切活动都是为了金钱；
主义：是把追求权力的最大化作为最高准则；
自由主义：是把人的自由作为最高理想和准则的思想体系。
请看下集《欧几里得8、公理化方法的诱惑：从少数显而易见的公理出发，经过推理，就能得到真理》”
芝罘（fú）山人：但这还不是公理化方法的最可怕的地方。公理化方法最可怕的地方在于它隐含了这样一个事实——“公理本身是简单易懂的，逻辑推导也是简单易懂的（谁还不会三段论呢？），那么对于一个智力平常的人，只要他经过一定时间，从头开始学习，那么他就能够掌握庞大而繁杂的几何知识”…
…芝罘山人：网友网名。见《欧几里得1》…
…公、理、公理，化：见《欧几里得1、2》…
…事：见《欧几里得6》…
“主义：最高理想和准则。
某某主义指：以某某为最高理想和准则的思想体系。比如：
拜金主义：是把追求金钱作为最高理想和基本原则，一切活动都是为了金钱；
主义：是把追求权力的最大化作为最高准则；
自由主义：是把人的自由作为最高理想和准则的思想体系。
请看下集《欧几里得8、公理化方法的诱惑：从少数显而易见的公理出发，经过推理，就能得到真理》”
欧几里得8、公理化方法的诱惑：从少数显而易见的公理出发，经过推理，就能得到真理
（图）
芝罘（fú）山人：但这还不是公理化方法的最可怕的地方。公理化方法最可怕的地方在于它隐含了这样一个事实——“公理本身是简单易懂的，逻辑推导也是简单易懂的（谁还不会三段论呢？），那么对于一个智力平常的人，只要他经过一定时间，从头开始学习，那么他就能够掌握庞大而繁杂的几何知识”，这意味着，数学正式作为一门学科，从哲学里面分了出去，它再也不需要智者灵光一闪式的顿悟，只需要循序渐进的学习。高高在上的象牙塔，第一次向广大大众敞开了大门，只要有时间，有正常水平的智力，人人都能懂几何学。
…芝罘山人：网友网名。见《欧几里得1》…
…公、理、公理，化：见《欧几里得1、2》…
…事、实、事实，三段论：见《欧几里得6、7》…
芝罘山人：顺便讲一句题外话，把学者当庸人而不是智者是西方科学的优秀传统，这一点在我以后讲西医的时候我还会提到。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
芝罘山人：但是公理化方法并不是万能的，在文艺复兴时，就有经验主义哲学家指出，本质上，整个欧几里得几何学的全部内容，都包含在他那十大公理里面了。如果有一个足够聪明的AI，他只要了解了十大公理，就等于掌握了整个几何学。从这个意义上，欧几里得几何学是相当贫乏的。
…主义：最高理想和准则。
某某主义指：以某某为最高理想和准则的思想体系。比如：
拜金主义：是把追求金钱作为最高理想和基本原则，一切活动都是为了金钱；
主义：是把追求权力的最大化作为最高准则；
自由主义：是把人的自由作为最高理想和准则的思想体系…
…AI[人工智能（Artificial Intelligence）]一般指人工智能（计算机科学的一个分支）…
…Artificial：adj.（形容词）人工的；人造的；假的；人为的；非自然的；虚假的；假装的…
…Intelligence：n.（名词）智力；才智；智慧；（尤指关于敌对国家的）情报；情报人员…
…Artificial Intelligence：n.（名词）人工智能…
芝罘山人：究其原因，公理化方法的最大局限性，就在于它自己并不能解答“公理从哪儿来”这个问题，欧几里得本人给出的答案是“不证自明”，这话相当于学生时代数学练习册里的“答案：略”。
事实上，“公理从哪儿来”这个问题，一度牵动了整个数学界，科学界，乃至哲学界。这个问题直到19世纪末才有了比较令人信服的答案。我们暂且按下不提。
下一期，我们来聊聊公理化方法对于西方的影响。
（图）
对于芝罘山人的话，2019-5-7 21:01，网友“ptcongcong”伸出“棒棒哒手势”。
芝罘山人发上面这些话的时间是2019-05-05 20:19。截止2019-05-05 21:30，芝罘山人没有更新帖子。网友“wcnmfwh”在2019-05-05 21:30评论道：“太监了？”
…太监：本义指古代宫廷接受了宫刑，没有生育能力伺（cì）候皇家的奴才。现为网络用语，意指书未写完…
“现在基本指一篇小说没写完，作者不写了（即‘下面没有了’），或不更新了，断更了（即‘断根了’），一直追这部小说的人就说这部书太监了。”现代学者说。
“公理从哪里来？这个问题是唯心和唯物主义割裂和整合的关键啊~”网友“再生好伸手”在2019-05-06 00:03评论。
芝罘山人在2019-05-07 02:20更新了帖子。
（图）
2019-05-07 02:20，芝罘山人：先来谈一下，公理化方法推出之后对西方的影响。公理化方法对西方学界的诱惑是巨大的，只要我们从少数显而易见的公理出发，经过逻辑推理，就能够得到真理。
所以在欧几里得之后，许多西方哲学家，科学家，数学家，都不知不觉地使用了公理化方法。
举个例子，美国《独立宣言》，开宗明义第一句——“我们认为下述真理是不言而喻的，即人人生而平等”，以此作为“公理”，“证明”了英国统治的不合法性和独立的正当性。
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
芝罘山人：在这个方面做得最彻底的是荷兰唯物主义哲学家斯宾诺莎，他的著作《伦理学》干脆照搬了几何原本的样式，也来个“公理”“定理”，以逻辑证明的形式阐述他的哲学观点，并在每一个命题论述的结尾写上“xxx命题由此得证”。
…巴鲁赫·德·斯宾诺莎（Baruch de Spinoza，1632年11月24日—1677年2月21日）：犹太人，近代西方哲学的三大理性主义者之一，与笛卡尔和莱布尼茨（cí）齐名。他的主要著作有《笛卡尔哲学原理》、《神学政治论》、《伦理学》、《知性改进论》等…
…《伦理学》：全名《用几何学方法作论证的伦理学》，该书用几何学的方法写成，认为只有凭推理证明获得的知识才是可靠的知识。《伦理学》从本体论、认识论开始，最后得出《伦理学》的最高概念——自由，为人的幸福指明了道路。可以说，自由是斯宾诺莎哲学的核心和最终归宿…
…定、定理，命题：见《欧几里得2》…
芝罘山人：在公理化方法几乎被认为是万能的时候，从文艺复兴开始，越来越多人开始思考一个问题——“公理从哪里来？”
这个问题在数学界，在科学界，在哲学界都掀起了滔天巨浪，我们下次再说。
“019-05-07 11:39，芝罘（fú）山人见自己帖子没人搭理、快沉了，就顶了一下。
请看下集《欧几里得9、没有系统理论支撑的技术很难流传下来》”
（图）
芝罘（fú）山人：但这还不是公理化方法的最可怕的地方。公理化方法最可怕的地方在于它隐含了这样一个事实——“公理本身是简单易懂的，逻辑推导也是简单易懂的（谁还不会三段论呢？），那么对于一个智力平常的人，只要他经过一定时间，从头开始学习，那么他就能够掌握庞大而繁杂的几何知识”，这意味着，数学正式作为一门学科，从哲学里面分了出去，它再也不需要智者灵光一闪式的顿悟，只需要循序渐进的学习。高高在上的象牙塔，第一次向广大大众敞开了大门，只要有时间，有正常水平的智力，人人都能懂几何学。
…芝罘山人：网友网名。见《欧几里得1》…
…公、理、公理，化：见《欧几里得1、2》…
…事、实、事实，三段论：见《欧几里得6、7》…
芝罘山人：顺便讲一句题外话，把学者当庸人而不是智者是西方科学的优秀传统，这一点在我以后讲西医的时候我还会提到。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
芝罘山人：但是公理化方法并不是万能的，在文艺复兴时，就有经验主义哲学家指出，本质上，整个欧几里得几何学的全部内容，都包含在他那十大公理里面了。如果有一个足够聪明的AI，他只要了解了十大公理，就等于掌握了整个几何学。从这个意义上，欧几里得几何学是相当贫乏的。
…主义：最高理想和准则。
某某主义指：以某某为最高理想和准则的思想体系。比如：
拜金主义：是把追求金钱作为最高理想和基本原则，一切活动都是为了金钱；
主义：是把追求权力的最大化作为最高准则；
自由主义：是把人的自由作为最高理想和准则的思想体系…
…AI[人工智能（Artificial Intelligence）]一般指人工智能（计算机科学的一个分支）…
…Artificial：adj.（形容词）人工的；人造的；假的；人为的；非自然的；虚假的；假装的…
…Intelligence：n.（名词）智力；才智；智慧；（尤指关于敌对国家的）情报；情报人员…
…Artificial Intelligence：n.（名词）人工智能…
芝罘山人：究其原因，公理化方法的最大局限性，就在于它自己并不能解答“公理从哪儿来”这个问题，欧几里得本人给出的答案是“不证自明”，这话相当于学生时代数学练习册里的“答案：略”。
事实上，“公理从哪儿来”这个问题，一度牵动了整个数学界，科学界，乃至哲学界。这个问题直到19世纪末才有了比较令人信服的答案。我们暂且按下不提。
下一期，我们来聊聊公理化方法对于西方的影响。
（图）
对于芝罘山人的话，2019-5-7 21:01，网友“ptcongcong”伸出“棒棒哒手势”。
芝罘山人发上面这些话的时间是2019-05-05 20:19。截止2019-05-05 21:30，芝罘山人没有更新帖子。网友“wcnmfwh”在2019-05-05 21:30评论道：“太监了？”
…太监：本义指古代宫廷接受了宫刑，没有生育能力伺（cì）候皇家的奴才。现为网络用语，意指书未写完…
“现在基本指一篇小说没写完，作者不写了（即‘下面没有了’），或不更新了，断更了（即‘断根了’），一直追这部小说的人就说这部书太监了。”现代学者说。
“公理从哪里来？这个问题是唯心和唯物主义割裂和整合的关键啊~”网友“再生好伸手”在2019-05-06 00:03评论。
芝罘山人在2019-05-07 02:20更新了帖子。
（图）
2019-05-07 02:20，芝罘山人：先来谈一下，公理化方法推出之后对西方的影响。公理化方法对西方学界的诱惑是巨大的，只要我们从少数显而易见的公理出发，经过逻辑推理，就能够得到真理。
所以在欧几里得之后，许多西方哲学家，科学家，数学家，都不知不觉地使用了公理化方法。
举个例子，美国《独立宣言》，开宗明义第一句——“我们认为下述真理是不言而喻的，即人人生而平等”，以此作为“公理”，“证明”了英国统治的不合法性和独立的正当性。
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
芝罘山人：在这个方面做得最彻底的是荷兰唯物主义哲学家斯宾诺莎，他的著作《伦理学》干脆照搬了几何原本的样式，也来个“公理”“定理”，以逻辑证明的形式阐述他的哲学观点，并在每一个命题论述的结尾写上“xxx命题由此得证”。
…巴鲁赫·德·斯宾诺莎（Baruch de Spinoza，1632年11月24日—1677年2月21日）：犹太人，近代西方哲学的三大理性主义者之一，与笛卡尔和莱布尼茨（cí）齐名。他的主要著作有《笛卡尔哲学原理》、《神学政治论》、《伦理学》、《知性改进论》等…
…《伦理学》：全名《用几何学方法作论证的伦理学》，该书用几何学的方法写成，认为只有凭推理证明获得的知识才是可靠的知识。《伦理学》从本体论、认识论开始，最后得出《伦理学》的最高概念——自由，为人的幸福指明了道路。可以说，自由是斯宾诺莎哲学的核心和最终归宿…
…定、定理，命题：见《欧几里得2》…
芝罘山人：在公理化方法几乎被认为是万能的时候，从文艺复兴开始，越来越多人开始思考一个问题——“公理从哪里来？”
这个问题在数学界，在科学界，在哲学界都掀起了滔天巨浪，我们下次再说。
“019-05-07 11:39，芝罘（fú）山人见自己帖子没人搭理、快沉了，就顶了一下。
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欧几里得10、经院哲学和烦琐哲学，针尖天使，意义
2019-05-07 20:00，芝罘（fú）山人：言归正传，我们回头来谈“公理从哪里来”这个话题。
…芝罘山人：网友网名。见《欧几里得1》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
芝罘山人：但是，在文艺复兴早期，一批经验主义哲学家向神学发起挑战，他们尖锐地批判经院哲学和公理化方法，认为这不过是在古书里玩一些寻章摘句的文字游戏，毫无意义。真正有意义的是我们的生活经验，是广大欧洲劳动人民在实际生产实践中所积累的丰富经验。
…主义：最高理想和准则。
某某主义指：以某某为最高理想和准则的思想体系。比如：
拜金主义：是把追求金钱作为最高理想和基本原则，一切活动都是为了金钱；
主义：是把追求权力的最大化作为最高准则；
自由主义：是把人的自由作为最高理想和准则的思想体系…
…公、理、公理，化，方、法、方法：见《欧几里得1~3》…
…意义：？？？…
意义和目的有关。
能达成目的的言行有意义，不能达成目的的言行没有意义：对小学生来说，目的是“提高成绩”，那么学音乐美术体育没有意义；目的是锻炼身体，那么学音乐美术语文算术没有意义…
——《自然科学价值观》
芝罘山人：在人们思想被神学普遍禁锢（gù）的时代，经验主义派的批判是有其进步和积极意义的。但是，经验主义者在倒洗澡水的时候，把孩子也一并泼了出去。他们完全否认了公理化的必要性，只承认简单直观的狭隘经验。（经验主义派的做法）对科学的发展并无太大作用。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…必要：不可缺少；非这样不行…
…性：形声。从心，生声。本义：人的本性。
字义：1.性格：个～。天～。耐～。
2.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。
3.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～。
4.有关生物的生殖或性欲的：～器官。～行为。～生活。～的知识。
5.性别：男～。女～。雄～。雌～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…必要性：达到一定目标所需要的条件、因素…
“伽利略通过自己的观察和设计的实验，推翻了亚里士多德的一系列错误论断，（这里讲句题外话，亚里士多德经常一副“反动学术权威”的面孔出现在课本里，其实他也是一位很伟大的学者），科学迎来了一个新的春天，好时代，来临了！
请看下集《欧几里得11、美丽的物理学大厦：力学，电磁学》”
2019-05-07 20:00，芝罘（fú）山人：言归正传，我们回头来谈“公理从哪里来”这个话题。
…芝罘山人：网友网名。见《欧几里得1》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
芝罘山人：但是，在文艺复兴早期，一批经验主义哲学家向神学发起挑战，他们尖锐地批判经院哲学和公理化方法，认为这不过是在古书里玩一些寻章摘句的文字游戏，毫无意义。真正有意义的是我们的生活经验，是广大欧洲劳动人民在实际生产实践中所积累的丰富经验。
…主义：最高理想和准则。
某某主义指：以某某为最高理想和准则的思想体系。比如：
拜金主义：是把追求金钱作为最高理想和基本原则，一切活动都是为了金钱；
主义：是把追求权力的最大化作为最高准则；
自由主义：是把人的自由作为最高理想和准则的思想体系…
…公、理、公理，化，方、法、方法：见《欧几里得1~3》…
…意义：？？？…
意义和目的有关。
能达成目的的言行有意义，不能达成目的的言行没有意义：对小学生来说，目的是“提高成绩”，那么学音乐美术体育没有意义；目的是锻炼身体，那么学音乐美术语文算术没有意义…
——《自然科学价值观》
芝罘山人：在人们思想被神学普遍禁锢（gù）的时代，经验主义派的批判是有其进步和积极意义的。但是，经验主义者在倒洗澡水的时候，把孩子也一并泼了出去。他们完全否认了公理化的必要性，只承认简单直观的狭隘经验。（经验主义派的做法）对科学的发展并无太大作用。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…必要：不可缺少；非这样不行…
…性：形声。从心，生声。本义：人的本性。
字义：1.性格：个～。天～。耐～。
2.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。
3.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～。
4.有关生物的生殖或性欲的：～器官。～行为。～生活。～的知识。
5.性别：男～。女～。雄～。雌～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…必要性：达到一定目标所需要的条件、因素…
“伽利略通过自己的观察和设计的实验，推翻了亚里士多德的一系列错误论断，（这里讲句题外话，亚里士多德经常一副“反动学术权威”的面孔出现在课本里，其实他也是一位很伟大的学者），科学迎来了一个新的春天，好时代，来临了！
请看下集《欧几里得11、美丽的物理学大厦：力学，电磁学》”
欧几里得11、美丽的物理学大厦：力学，电磁学
芝罘（fú）山人：好了，现在请跟我一起唱，‘东方红，太阳升，欧洲出了个伽利略，他是科学的大救星…’
…芝罘山人：网友网名。见《欧几里得1》…
芝罘山人：咳咳，严肃回来。伽利略对于科学的最大贡献，不仅仅是他发现的那一大堆科学定律，更主要的是，他明确地提出“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，什么古希腊先贤经典，什么基督教的神圣信条，都要经过实际的观察检验，才能在此基础之上确定自己的“公理”。
…绝：完全…
…绝知：深入、透彻的理解…
…纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行：出自南宋陆游《冬夜读书示子聿（yù）》，原文为：古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
译文：古人做学问是不遗余力的。终身为之奋斗，往往是年轻时开始努力，到了老年才取得成功。从书本上得到的知识终归是浅薄的，未能理解知识的真谛。要真正理解书中的深刻道理，必须亲身去实践…
（…聿：指陆游小儿子陆聿…）
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
芝罘山人：实践是检验真理的唯一标准。
芝罘山人：伽利略通过自己的观察和设计的实验，推翻了亚里士多德的一系列错误论断，（这里讲句题外话，亚里士多德经常一副“反动学术权威”的面孔出现在课本里，其实他也是一位很伟大的学者），科学迎来了一个新的春天，好时代，来临了！
芝罘山人：尽管伽利略成绩斐（fěi）然，但是他并没有提出自己的物理理论体系，这一工作，是由另一位天才——伊萨克·牛顿完成的。
…斐：有文采的…
…斐然：有文采的样子；显著…
…成绩斐然：取得了突出的成绩。多用于形容人很有成就，成绩突出…
芝罘山人：牛顿在伽利略的基础上，结合自己多年的观察和实验，再加上自己新创立的数学工具——微积分，提出了划时代的牛顿三大定律，并以三大定律为基础，构建了庞大的物理学大厦。至此，古典物理学横空出世，微积分成为了物理学家手里的利剑，神挡杀神，佛挡杀佛。经过一代又一代物理学家的辛勤耕耘，到十九世纪时，物理学已经成为了一颗枝繁叶茂的大树。
芝罘山人：这边力学在高歌猛进，那边，电磁学也没有闲着。
芝罘山人：从富兰克林开始，经过一代又一代物理学家（安培，欧姆，法拉第等）的努力研究，到19世纪后期，麦克斯韦以极其精巧和简洁的麦克斯韦电磁方程为基础，完成了对以往电磁学家一系列成果的大整合，一座新的大厦——电磁学屹（yì）立在大地上，和牛顿的力学大厦遥遥相望。
…屹：形声。从山，乞声。本义：山势直立高耸的样子。
词义：山峰高耸的样子：～立…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…屹立：像山峰一样高耸而稳固地挺立着…
（图）
芝罘山人：也就是从电磁学开始，西方科学终于完成了对东方的全面超越。因为，电磁学不同于以往的任何学科，除了生活中不太常见的静电现象以外，绝大多数电磁学的进展都是来自于实验室精心设计的实验，而不是日常生活的朴素观察。这意味着西方已经摆脱了粗略的观察，开始使用定量实验的方法去主动探索完全未知的领域。理论研究走在了生产实践的前面，这是在整个人类科学史上都前所未有的。
…实：见《欧几里得7》…
…验：形声。从马，从佥（jiǎn)，佥亦声。“佥”意为“两边”、“两面”。“马”与“佥”联合起来表示“马的两面”。本义：从马的两面观察马的状态。引申义：（全面）检查。
字义：1.检查；察看：～血。～票。
2.有效果：屡试屡～。
3.证据；凭据：何以为～？…
…实验：设计来检验一个理论或证实一种假设而进行的一系列操作或活动。
实验和试验有区别。实验是用来检验某种新的假说、假设、原理、理论或者验证某种已经存在的假说、假设、原理、理论而进行的明确、具体、可操作、有数据、有算法的技术操作行为。
通常实验要预设“实验目的”、“实验环境”，进行“实验操作”，最终以“实验报告”的新闻形式发表“实验结果”。
而“试验”指的是在未知事物，或对别人已知的某种事物而在自己未知的时候，为了了解它的性能或者结果而进行的试探性操作。
实验是科学研究的基本方法之一。根据科学研究的目的，尽可能地排除外界的影响，突出主要因素并利用一些专门的仪器设备，而人为地变革、控制或模拟研究对象，使某一些事物（或过程）发生或再现，从而去认识自然现象、自然性质、自然规律。
词义：1.为了检验某种科学理论或假设而进行某种操作或从事某种活动。
2.指实验的工作：做～。科学～…
…践：形声。从足，戋（jiān）声。本义：农具名，即铁铲（需要踩、践踏入地）。
字义：1.踩；践踏。
2.实行；履行：实～。～约。
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…实践：1.改造社会和自然的、有意识的活动
2.实行；履行：～诺言…
芝罘山人：然而，就在科学界为物理学的飞速发展和日新月异的技术发明欢呼雀跃的时候，麦克斯韦的大厦的基础，却出现了令人担忧的裂缝。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
“伽利略实际功劳就是全面开始了对早期公理的客观性的验证。也就是说去检验逻辑推理的大前提的正确性。这项工作极为重要，因为对于形式逻辑来说，它只保推理形式的正确性，至于内容的谬误取决于大前提的真确与否。
请看下集《欧几里得12、客、观、客观，验证，检、检验，推理》”
芝罘（fú）山人：好了，现在请跟我一起唱，‘东方红，太阳升，欧洲出了个伽利略，他是科学的大救星…’
…芝罘山人：网友网名。见《欧几里得1》…
芝罘山人：咳咳，严肃回来。伽利略对于科学的最大贡献，不仅仅是他发现的那一大堆科学定律，更主要的是，他明确地提出“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，什么古希腊先贤经典，什么基督教的神圣信条，都要经过实际的观察检验，才能在此基础之上确定自己的“公理”。
…绝：完全…
…绝知：深入、透彻的理解…
…纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行：出自南宋陆游《冬夜读书示子聿（yù）》，原文为：古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
译文：古人做学问是不遗余力的。终身为之奋斗，往往是年轻时开始努力，到了老年才取得成功。从书本上得到的知识终归是浅薄的，未能理解知识的真谛。要真正理解书中的深刻道理，必须亲身去实践…
（…聿：指陆游小儿子陆聿…）
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
芝罘山人：实践是检验真理的唯一标准。
芝罘山人：伽利略通过自己的观察和设计的实验，推翻了亚里士多德的一系列错误论断，（这里讲句题外话，亚里士多德经常一副“反动学术权威”的面孔出现在课本里，其实他也是一位很伟大的学者），科学迎来了一个新的春天，好时代，来临了！
芝罘山人：尽管伽利略成绩斐（fěi）然，但是他并没有提出自己的物理理论体系，这一工作，是由另一位天才——伊萨克·牛顿完成的。
…斐：有文采的…
…斐然：有文采的样子；显著…
…成绩斐然：取得了突出的成绩。多用于形容人很有成就，成绩突出…
芝罘山人：牛顿在伽利略的基础上，结合自己多年的观察和实验，再加上自己新创立的数学工具——微积分，提出了划时代的牛顿三大定律，并以三大定律为基础，构建了庞大的物理学大厦。至此，古典物理学横空出世，微积分成为了物理学家手里的利剑，神挡杀神，佛挡杀佛。经过一代又一代物理学家的辛勤耕耘，到十九世纪时，物理学已经成为了一颗枝繁叶茂的大树。
芝罘山人：这边力学在高歌猛进，那边，电磁学也没有闲着。
芝罘山人：从富兰克林开始，经过一代又一代物理学家（安培，欧姆，法拉第等）的努力研究，到19世纪后期，麦克斯韦以极其精巧和简洁的麦克斯韦电磁方程为基础，完成了对以往电磁学家一系列成果的大整合，一座新的大厦——电磁学屹（yì）立在大地上，和牛顿的力学大厦遥遥相望。
…屹：形声。从山，乞声。本义：山势直立高耸的样子。
词义：山峰高耸的样子：～立…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…屹立：像山峰一样高耸而稳固地挺立着…
（图）
芝罘山人：也就是从电磁学开始，西方科学终于完成了对东方的全面超越。因为，电磁学不同于以往的任何学科，除了生活中不太常见的静电现象以外，绝大多数电磁学的进展都是来自于实验室精心设计的实验，而不是日常生活的朴素观察。这意味着西方已经摆脱了粗略的观察，开始使用定量实验的方法去主动探索完全未知的领域。理论研究走在了生产实践的前面，这是在整个人类科学史上都前所未有的。
…实：见《欧几里得7》…
…验：形声。从马，从佥（jiǎn)，佥亦声。“佥”意为“两边”、“两面”。“马”与“佥”联合起来表示“马的两面”。本义：从马的两面观察马的状态。引申义：（全面）检查。
字义：1.检查；察看：～血。～票。
2.有效果：屡试屡～。
3.证据；凭据：何以为～？…
…实验：设计来检验一个理论或证实一种假设而进行的一系列操作或活动。
实验和试验有区别。实验是用来检验某种新的假说、假设、原理、理论或者验证某种已经存在的假说、假设、原理、理论而进行的明确、具体、可操作、有数据、有算法的技术操作行为。
通常实验要预设“实验目的”、“实验环境”，进行“实验操作”，最终以“实验报告”的新闻形式发表“实验结果”。
而“试验”指的是在未知事物，或对别人已知的某种事物而在自己未知的时候，为了了解它的性能或者结果而进行的试探性操作。
实验是科学研究的基本方法之一。根据科学研究的目的，尽可能地排除外界的影响，突出主要因素并利用一些专门的仪器设备，而人为地变革、控制或模拟研究对象，使某一些事物（或过程）发生或再现，从而去认识自然现象、自然性质、自然规律。
词义：1.为了检验某种科学理论或假设而进行某种操作或从事某种活动。
2.指实验的工作：做～。科学～…
…践：形声。从足，戋（jiān）声。本义：农具名，即铁铲（需要踩、践踏入地）。
字义：1.踩；践踏。
2.实行；履行：实～。～约。
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…实践：1.改造社会和自然的、有意识的活动
2.实行；履行：～诺言…
芝罘山人：然而，就在科学界为物理学的飞速发展和日新月异的技术发明欢呼雀跃的时候，麦克斯韦的大厦的基础，却出现了令人担忧的裂缝。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
“伽利略实际功劳就是全面开始了对早期公理的客观性的验证。也就是说去检验逻辑推理的大前提的正确性。这项工作极为重要，因为对于形式逻辑来说，它只保推理形式的正确性，至于内容的谬误取决于大前提的真确与否。
请看下集《欧几里得12、客、观、客观，验证，检、检验，推理》”
欧几里得12、客、观、客观，验证，检、检验，推理
…观：“观”一般认为是形声字。其中“见”是形符，表示看见；“雚（guàn）”作声符。观，《说文解字》解释为凝视、审视。
赵诚《甲骨文行为动词探索》：“甲骨文的萑（huán）字写作图A，象一种飞禽之形。或写作图B，增加了两个（符号）表示一双眼睛（图C）。看来这是一种有着大眼睛的鸟。
《说文》释萑为“鸱（chī）属”，当指鸱鸮（xiāo）一类鸟。鸱鸮，即俗所谓猫头鹰，也叫夜猫子。这一类鸟确实是有一对大大的眼睛。大概就是因为有一对大大的眼睛，所以卜辞的“萑”或“雚”作为动词有观看之义，再由此发展而有观察、监视之义。甲骨文雚字用为观看之义，又引申为观察之义，正是《说文》所说的“谛（dì）视”之义。其本义也许是由猫头鹰（雚）有两个大眼睛而来。商代甲骨文、西周金文皆用“雚”为“观”，后来才有从见、雚声的“观”。大概当时的人们已经不知道雚就是观的本字，不了解雚字的构形初义，因此才加形符“见”以显示其字义。
从金文到楷书，“观”字形态无较大变化。汉字简化时，将左部“雚”简化为“又”，乃省写符号。右部“見”类推简化为“见”。
字义：[ guān ]
1.看：～看。走马～花。坐井～天。
2.景象或样子：奇～。改～。
3.对事物的认识或看法：乐～。悲～。世界～…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…验：检查；察看：～血。～票…见《欧几里得11》…
…证：形声。从言，正声。繁体为“登”声。本义：告发。
字义：1.证明：～人。～实。
2.凭证；证据：工作～。人～。
3.中医对病人若干症状和体征的总称。如表证（发热、恶寒等）、虚寒证（怕冷、出虚汗、手脚冰凉等）…
…验证：经过检验得到证实…
…检：形声。从木，从佥（qiān），佥亦声。“佥”意为“两面”、“两边”。“木”与“佥”联合起来表示“木制的两面都写有文字或画有图形的标签”。本义：书匣（xiá）上的标签。
字义：1.查：～验。～阅。体～。
2.约束；检点：行为不～。言语失～…
…检验：1.检查验看；检查验证：～汽车机件。实践是～真理的唯一标准。
2.进行产品品质管制时，应用各种试验、量度工具与方法，查验产品的特性，以与规定的标准相比，决定其是否合于规格…
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…推：见《欧几里得7》…
…推理：由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程。（百度百科）
从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。
词义：逻辑学名词。从已知的前提推出新的结论（百度汉语）…
“…犹：如同…
…言：说…
…犹言：好比说；等于说…
…形式犹言表象：形式，就像在说“事物的表象”…
请看下集《欧几里得13、前、提、前提，正、确、正确，形、式、形式》”
…观：“观”一般认为是形声字。其中“见”是形符，表示看见；“雚（guàn）”作声符。观，《说文解字》解释为凝视、审视。
赵诚《甲骨文行为动词探索》：“甲骨文的萑（huán）字写作图A，象一种飞禽之形。或写作图B，增加了两个（符号）表示一双眼睛（图C）。看来这是一种有着大眼睛的鸟。
《说文》释萑为“鸱（chī）属”，当指鸱鸮（xiāo）一类鸟。鸱鸮，即俗所谓猫头鹰，也叫夜猫子。这一类鸟确实是有一对大大的眼睛。大概就是因为有一对大大的眼睛，所以卜辞的“萑”或“雚”作为动词有观看之义，再由此发展而有观察、监视之义。甲骨文雚字用为观看之义，又引申为观察之义，正是《说文》所说的“谛（dì）视”之义。其本义也许是由猫头鹰（雚）有两个大眼睛而来。商代甲骨文、西周金文皆用“雚”为“观”，后来才有从见、雚声的“观”。大概当时的人们已经不知道雚就是观的本字，不了解雚字的构形初义，因此才加形符“见”以显示其字义。
从金文到楷书，“观”字形态无较大变化。汉字简化时，将左部“雚”简化为“又”，乃省写符号。右部“見”类推简化为“见”。
字义：[ guān ]
1.看：～看。走马～花。坐井～天。
2.景象或样子：奇～。改～。
3.对事物的认识或看法：乐～。悲～。世界～…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…验：检查；察看：～血。～票…见《欧几里得11》…
…证：形声。从言，正声。繁体为“登”声。本义：告发。
字义：1.证明：～人。～实。
2.凭证；证据：工作～。人～。
3.中医对病人若干症状和体征的总称。如表证（发热、恶寒等）、虚寒证（怕冷、出虚汗、手脚冰凉等）…
…验证：经过检验得到证实…
…检：形声。从木，从佥（qiān），佥亦声。“佥”意为“两面”、“两边”。“木”与“佥”联合起来表示“木制的两面都写有文字或画有图形的标签”。本义：书匣（xiá）上的标签。
字义：1.查：～验。～阅。体～。
2.约束；检点：行为不～。言语失～…
…检验：1.检查验看；检查验证：～汽车机件。实践是～真理的唯一标准。
2.进行产品品质管制时，应用各种试验、量度工具与方法，查验产品的特性，以与规定的标准相比，决定其是否合于规格…
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…推：见《欧几里得7》…
…推理：由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程。（百度百科）
从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。
词义：逻辑学名词。从已知的前提推出新的结论（百度汉语）…
“…犹：如同…
…言：说…
…犹言：好比说；等于说…
…形式犹言表象：形式，就像在说“事物的表象”…
请看下集《欧几里得13、前、提、前提，正、确、正确，形、式、形式》”
欧几里得13、前、提、前提，正、确、正确，形、式、形式
…式：从工、弋声。工的意思是“把事做漂亮而有规矩”。弋的意思是“物高高挂起来”。工、弋叠加，意思是“将漂亮的规矩、法则当做样板展示”。
本义：法度、规矩。如：《说文解字》：“法也。从工，弋声。”
衍义：引申指“物体外形的样子”。如：式样。样式。新～。中～。
衍义：引申指“特定的规格”。如：格式。程式。
衍义：引申指“典礼，有特定内容的仪式”。如：开幕式。阅兵式。
衍义：引申指“自然科学中表明某些关系或规律的一组符号”。如：分子式。算式。公式。
衍义：引申指“一种语法范畴，表示说话者对所说事情的主观态度”。如：叙述式。命令式…
形式：指某物的样子和构造，区别于该物构成的材料，即“事物的外形”。也有指办事的方法。形式犹言表象。
事物的外表，也指办事的方法。（百度百科）
词义：1.事物的形状、结构等。
2.指把构成事物的诸要素统一起来的结构方式及其表现方式。与“内容”相对…
…犹：如同…
…言：说…
…犹言：好比说；等于说…
…形式犹言表象：形式，就像在说“事物的表象”…
““伽利略之前的社会，人们信奉先贤经典、《圣经》条文，亚里士多德的话、基督教的神圣信条是人们证明的公理，”现代学者说，“虽然人们的证明方法正确，但是…由于公理不正确…人们始终无法得到正确结论。”
请看下集《欧几里得14、初等代数高等代数的分水岭——微积分；影响科学发展的根本原因》”
…式：从工、弋声。工的意思是“把事做漂亮而有规矩”。弋的意思是“物高高挂起来”。工、弋叠加，意思是“将漂亮的规矩、法则当做样板展示”。
本义：法度、规矩。如：《说文解字》：“法也。从工，弋声。”
衍义：引申指“物体外形的样子”。如：式样。样式。新～。中～。
衍义：引申指“特定的规格”。如：格式。程式。
衍义：引申指“典礼，有特定内容的仪式”。如：开幕式。阅兵式。
衍义：引申指“自然科学中表明某些关系或规律的一组符号”。如：分子式。算式。公式。
衍义：引申指“一种语法范畴，表示说话者对所说事情的主观态度”。如：叙述式。命令式…
形式：指某物的样子和构造，区别于该物构成的材料，即“事物的外形”。也有指办事的方法。形式犹言表象。
事物的外表，也指办事的方法。（百度百科）
词义：1.事物的形状、结构等。
2.指把构成事物的诸要素统一起来的结构方式及其表现方式。与“内容”相对…
…犹：如同…
…言：说…
…犹言：好比说；等于说…
…形式犹言表象：形式，就像在说“事物的表象”…
““伽利略之前的社会，人们信奉先贤经典、《圣经》条文，亚里士多德的话、基督教的神圣信条是人们证明的公理，”现代学者说，“虽然人们的证明方法正确，但是…由于公理不正确…人们始终无法得到正确结论。”
请看下集《欧几里得14、初等代数高等代数的分水岭——微积分；影响科学发展的根本原因》”
欧几里得14、初等代数高等代数的分水岭——微积分；影响科学发展的根本原因
2019-5-7 20:18，网友“nj530408”回复：伽利略实际功劳就是全面开始了对早期公理的客观性的验证。也就是说去检验逻辑推理的大前提的正确性。这项工作极为重要，因为对于形式逻辑来说，它只保推理形式的正确性，至于内容的谬误取决于大前提的真确与否。
…公、理、公理，客、观、客观，性，验证，检、检验，逻、辑、逻辑，推理，前、提、前提，正、确、正确，形、式、形式：见《欧几里得1~13》…
…形式逻辑：研究思维的形式结构及其规律。撇开具体的思维内容，研究概念、判断和推理（尤其是演绎推理）及其正确联系的规律和规则；反映事物最简单、最普遍、最常见的联系，表达最初步的但很重要的思维规律。
基本规律有：同一律、矛盾律和排中律。
研究概念、判断、推理等主要思维形式和研究同一律、矛盾律、排中律等思维规律是形式逻辑的内容…
…真确：真实确切…
“根据逻辑关系：前提正确，用前提推理出的结论就正确；前提不正确，用前提推理出的结论就不正确。”现代学者说。
“证明由前提、方法共同完成，”另一位现代学者说，“方法是三段论（见《欧几里得3》），前提是公理。”
“证明过程符合三段论，那么结论的正确与否，就由公理决定，”现代学者接着说，“公理正确，结论就正确；公理不正确，结论就不正确。”
“伽利略做的工作，就是验证公理的正误。”现代学者最后说。
“伽利略之前的社会，人们信奉先贤经典、《圣经》条文，亚里士多德的话、基督教的神圣信条是人们证明的公理，”现代学者说，“虽然人们的证明方法正确，但是…由于公理不正确…人们始终无法得到正确结论。”
“你可能疑惑我为什么要问这么低级的问题呢？答案很简单，√2（根号2）啊~
没错！但是如果在古希腊，如果这么回答，你可能这时候已经被干掉了。
请看下集《欧几里得15、第一次数学危机，古希腊数学，数论，奇数、偶数、素数》”
2019-5-7 20:18，网友“nj530408”回复：伽利略实际功劳就是全面开始了对早期公理的客观性的验证。也就是说去检验逻辑推理的大前提的正确性。这项工作极为重要，因为对于形式逻辑来说，它只保推理形式的正确性，至于内容的谬误取决于大前提的真确与否。
…公、理、公理，客、观、客观，性，验证，检、检验，逻、辑、逻辑，推理，前、提、前提，正、确、正确，形、式、形式：见《欧几里得1~13》…
…形式逻辑：研究思维的形式结构及其规律。撇开具体的思维内容，研究概念、判断和推理（尤其是演绎推理）及其正确联系的规律和规则；反映事物最简单、最普遍、最常见的联系，表达最初步的但很重要的思维规律。
基本规律有：同一律、矛盾律和排中律。
研究概念、判断、推理等主要思维形式和研究同一律、矛盾律、排中律等思维规律是形式逻辑的内容…
…真确：真实确切…
“根据逻辑关系：前提正确，用前提推理出的结论就正确；前提不正确，用前提推理出的结论就不正确。”现代学者说。
“证明由前提、方法共同完成，”另一位现代学者说，“方法是三段论（见《欧几里得3》），前提是公理。”
“证明过程符合三段论，那么结论的正确与否，就由公理决定，”现代学者接着说，“公理正确，结论就正确；公理不正确，结论就不正确。”
“伽利略做的工作，就是验证公理的正误。”现代学者最后说。
“伽利略之前的社会，人们信奉先贤经典、《圣经》条文，亚里士多德的话、基督教的神圣信条是人们证明的公理，”现代学者说，“虽然人们的证明方法正确，但是…由于公理不正确…人们始终无法得到正确结论。”
“你可能疑惑我为什么要问这么低级的问题呢？答案很简单，√2（根号2）啊~
没错！但是如果在古希腊，如果这么回答，你可能这时候已经被干掉了。
请看下集《欧几里得15、第一次数学危机，古希腊数学，数论，奇数、偶数、素数》”
欧几里得15、第一次数学危机，古希腊数学，数论，奇数、偶数、素数
第一次数学危机：是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。
这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
第一次数学危机相关文章：《数学史话之第一次数学危机》
内容：
在开始今天的文章之前，我给大家出个题：边长为1的正方形的对角线是多长？
“自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4…表示的数。
自然数是指表示物体个数的数，即由0开始，0，1，2，3，4，…一个接一个…
请看下集《欧几里得16、质数，因数，自然数，完全数，平方数》”
第一次数学危机：是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。
这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
第一次数学危机相关文章：《数学史话之第一次数学危机》
内容：
在开始今天的文章之前，我给大家出个题：边长为1的正方形的对角线是多长？
“自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4…表示的数。
自然数是指表示物体个数的数，即由0开始，0，1，2，3，4，…一个接一个…
请看下集《欧几里得16、质数，因数，自然数，完全数，平方数》”
欧几里得16、质数，因数，自然数，完全数，平方数
第一次数学危机相关文章：《数学史话之第一次数学危机》
内容：…毕达哥拉斯将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等等。甚至还抛弃了地心说、指出当时希腊人口中的“墨丘利”和“阿波罗”其实是同一颗行星，即水星。
…奇数、偶数、素数、质：见《欧几里得15》…
…真：会意。小篆（zhuàn）字形，从华（huà），从目，从乚（yǐn），从八。《说文》：“仙人变形而登天也。”匕，变化。目，眼睛。乚，隐藏。八，乘载的工具。本义：道家称存养本性或修真得道的人为真人。
字义：1.真实（跟“假、伪”相对）：～心诚意。千～万确。去伪存～。这幅宋人的水墨画是～的。
2.的确；实在：时间过得～快！
3.人的肖像；事物的形象：写～。传～。
4.本性；本原：返璞（pú）归～…
（…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…）
…真因子：自身以外的因数。如6=1×6=2×3，6的真因子就是1、2、3；28=1×28=2×14=4×7，28的真因子就是1、2、4、7、14…
“6的真因子是1、2、3，1＋2＋3=6，6是完全数；28的真因子是1、2、4、7、14，1＋2＋4＋7＋14=28，28是完全数，”中学生说，“同理，8128、33550336也都是完全数。”
…平方数：又称完全平方数。指可以写成某个整数的平方的数。如9 =3×3，9就是平方数…
“希伯斯在国外流浪了好几年。由于思念家乡，他偷偷地返回希腊。
在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海。
请看下集《欧几里得17、从前有个人，他发现了无理数，后来，他死了》”
第一次数学危机相关文章：《数学史话之第一次数学危机》
内容：…毕达哥拉斯将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等等。甚至还抛弃了地心说、指出当时希腊人口中的“墨丘利”和“阿波罗”其实是同一颗行星，即水星。
…奇数、偶数、素数、质：见《欧几里得15》…
…真：会意。小篆（zhuàn）字形，从华（huà），从目，从乚（yǐn），从八。《说文》：“仙人变形而登天也。”匕，变化。目，眼睛。乚，隐藏。八，乘载的工具。本义：道家称存养本性或修真得道的人为真人。
字义：1.真实（跟“假、伪”相对）：～心诚意。千～万确。去伪存～。这幅宋人的水墨画是～的。
2.的确；实在：时间过得～快！
3.人的肖像；事物的形象：写～。传～。
4.本性；本原：返璞（pú）归～…
（…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…）
…真因子：自身以外的因数。如6=1×6=2×3，6的真因子就是1、2、3；28=1×28=2×14=4×7，28的真因子就是1、2、4、7、14…
“6的真因子是1、2、3，1＋2＋3=6，6是完全数；28的真因子是1、2、4、7、14，1＋2＋4＋7＋14=28，28是完全数，”中学生说，“同理，8128、33550336也都是完全数。”
…平方数：又称完全平方数。指可以写成某个整数的平方的数。如9 =3×3，9就是平方数…
“希伯斯在国外流浪了好几年。由于思念家乡，他偷偷地返回希腊。
在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海。
请看下集《欧几里得17、从前有个人，他发现了无理数，后来，他死了》”
欧几里得17、从前有个人，他发现了无理数，后来，他死了
第一次数学危机相关文章：《数学史话之第一次数学危机》
内容：…毕达哥拉斯将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等等。甚至还抛弃了地心说、指出当时希腊人口中的“墨丘利”和“阿波罗”其实是同一颗行星，即水星。
…奇数、偶数、素数、质数、因数、自然数、完全数、平方数：见《欧几里得15、16》…
…三角数：正整数前n项和，如1（前1项的和），3（前2项的和），6（前3项的和），10（前4项的和），15（前5项的和）…n（n+1）/2（前n项的和）…
“第一个三角数是1；第二个三角数是1与2的和，也就是3；第三个三角数是1、2、3的和，即6…”中学生说，“三角数的表达式为n（n+1）/2，n为正整数。”
“在工地上按‘顶层1，次顶层2、次次顶层3…底层n’堆圆木，从侧面看它们就像三角形，”建筑工人说，“能堆成三角形的圆木总数1、3、6…被称为三角数。”
…
“在圆木横截面上标上序数1、2、3…横截面看上去就像自然数堆成的、三角形的山。”建筑工人最后说。
“教学目标：让学生了解毕达哥拉斯与第一次数学危机及其关系，了解第一次数学危机的意义。让学生明了科学道路的艰辛，为科学献身的伟大和崇高。知道世界上不是什么都一帆风顺的。培养学生崇尚科学，客观推演，不要主观臆（yì）断的好习惯。
请看下集《欧几里得18、科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬》”
第一次数学危机相关文章：《数学史话之第一次数学危机》
内容：…毕达哥拉斯将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等等。甚至还抛弃了地心说、指出当时希腊人口中的“墨丘利”和“阿波罗”其实是同一颗行星，即水星。
…奇数、偶数、素数、质数、因数、自然数、完全数、平方数：见《欧几里得15、16》…
…三角数：正整数前n项和，如1（前1项的和），3（前2项的和），6（前3项的和），10（前4项的和），15（前5项的和）…n（n+1）/2（前n项的和）…
“第一个三角数是1；第二个三角数是1与2的和，也就是3；第三个三角数是1、2、3的和，即6…”中学生说，“三角数的表达式为n（n+1）/2，n为正整数。”
“在工地上按‘顶层1，次顶层2、次次顶层3…底层n’堆圆木，从侧面看它们就像三角形，”建筑工人说，“能堆成三角形的圆木总数1、3、6…被称为三角数。”
…
“在圆木横截面上标上序数1、2、3…横截面看上去就像自然数堆成的、三角形的山。”建筑工人最后说。
“教学目标：让学生了解毕达哥拉斯与第一次数学危机及其关系，了解第一次数学危机的意义。让学生明了科学道路的艰辛，为科学献身的伟大和崇高。知道世界上不是什么都一帆风顺的。培养学生崇尚科学，客观推演，不要主观臆（yì）断的好习惯。
请看下集《欧几里得18、科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬》”
欧几里得18、科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬
第一次数学危机相关文章：《数学史话之第一次数学危机》
内容：…根据老师毕达哥拉斯的观点，这样的数字是不可能存在的。可是边长为1的正方形的对角线又的的确确客观存在。
…客、观：见《欧几里得12》…
希帕索斯不敢对外宣称自己发现了一种奇怪的数，只好告知了毕达哥拉斯，由他定夺。毕达哥拉斯第一时间下令封锁了消息，并警告希帕索斯不要再研究这个问题。可是经过一段时间的挣扎，希帕索斯还是无法就这样视而不见，他最后还是将这个消息传了出去。
结果当然是引得毕达哥拉斯勃然大怒，称希帕索斯是叛徒，有意破坏学派的和谐。于是派出其他门徒去将其捉拿，并处以极刑——活埋。希帕索斯听到了一些风声，打算连夜乘船流亡他乡。可没想到还是被毕达哥拉斯的门徒追上。他们将希帕索斯五花大绑，溺（nì）入了冰冷的地中海。
…溺：1.淹没：～死。2.沉迷不悟；过分：沉～。～爱…
人虽然杀死了，但是“边长为1的正方形的对角线长度”问题还是没有解决啊。这个问题在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。（而解决方法则是引进了“无理数”的概念。）
这次事件让数学向前大大发展了一步。希帕索斯为“边长为1的正方形的对角线长度”问题殉（xùn）难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。
…揣：形声字。从手，耑（duān）声。手（扌）表意，篆（zhuàn）书之形像手，表示用手量幼苗高度；耑（duān）表声。“耑”像植物的幼苗，易于手量，且能估计出其将来的生长状况。《说文》：“揣，量也。从手，耑声。度高曰揣。”
字义：估量：～测。～摩。～度（duó）…
（…形声字：用形声造字法造出来的字…）
“后来他们受到民主运动的冲击，社团在克罗托内的活动场所遭到了严重的破坏。毕达哥拉斯被迫移居他林敦（今意大利南部塔兰托），并于公元前500年被暗杀去世，享年80岁。
许多门徒逃回希腊本土，重新建立据点。另一些人到了塔兰托，继续进行数学哲学研究，以及政治方面的活动。
直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。
请看下集《欧几里得19、毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派》”
第一次数学危机相关文章：《数学史话之第一次数学危机》
内容：…根据老师毕达哥拉斯的观点，这样的数字是不可能存在的。可是边长为1的正方形的对角线又的的确确客观存在。
…客、观：见《欧几里得12》…
希帕索斯不敢对外宣称自己发现了一种奇怪的数，只好告知了毕达哥拉斯，由他定夺。毕达哥拉斯第一时间下令封锁了消息，并警告希帕索斯不要再研究这个问题。可是经过一段时间的挣扎，希帕索斯还是无法就这样视而不见，他最后还是将这个消息传了出去。
结果当然是引得毕达哥拉斯勃然大怒，称希帕索斯是叛徒，有意破坏学派的和谐。于是派出其他门徒去将其捉拿，并处以极刑——活埋。希帕索斯听到了一些风声，打算连夜乘船流亡他乡。可没想到还是被毕达哥拉斯的门徒追上。他们将希帕索斯五花大绑，溺（nì）入了冰冷的地中海。
…溺：1.淹没：～死。2.沉迷不悟；过分：沉～。～爱…
人虽然杀死了，但是“边长为1的正方形的对角线长度”问题还是没有解决啊。这个问题在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。（而解决方法则是引进了“无理数”的概念。）
这次事件让数学向前大大发展了一步。希帕索斯为“边长为1的正方形的对角线长度”问题殉（xùn）难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。
…揣：形声字。从手，耑（duān）声。手（扌）表意，篆（zhuàn）书之形像手，表示用手量幼苗高度；耑（duān）表声。“耑”像植物的幼苗，易于手量，且能估计出其将来的生长状况。《说文》：“揣，量也。从手，耑声。度高曰揣。”
字义：估量：～测。～摩。～度（duó）…
（…形声字：用形声造字法造出来的字…）
“后来他们受到民主运动的冲击，社团在克罗托内的活动场所遭到了严重的破坏。毕达哥拉斯被迫移居他林敦（今意大利南部塔兰托），并于公元前500年被暗杀去世，享年80岁。
许多门徒逃回希腊本土，重新建立据点。另一些人到了塔兰托，继续进行数学哲学研究，以及政治方面的活动。
直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。
请看下集《欧几里得19、毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派》”
欧几里得19、毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
教案内容：
…
教学过程
一、毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派
1、毕达哥拉斯
约公元前580年，毕达哥拉斯出生在米利都附近的萨摩斯岛（今希腊东部的小岛，爱奥尼亚群岛的主要岛屿城市之一）。此时群岛正处于极盛时期，在经济、文化等各方面都远远领先于希腊本土的各个城邦。
…米利都：古希腊城邦，位于小亚细亚大陆（今土耳其所在地）西海岸…
…萨摩斯岛（Samos Island）：希腊岛屿。在爱琴海东部，是爱琴海中距小亚细亚大陆最近的希腊岛屿。和小亚细亚只隔窄狭的萨摩斯海峡…
毕达哥拉斯的父亲是一个富商。毕达哥拉斯九岁时，被父亲送到提尔，在闪族叙利亚学者那里学习。在这里，毕达哥拉斯接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲作商务旅行到小亚细亚（父亲到小亚细亚是为了做生意）。
…提尔（黎巴嫩古城）一般指推罗…
许多门徒逃回希腊本土，重新建立据点。另一些人到了塔兰托，继续进行数学哲学研究，以及政治方面的活动。
直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。
“按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的，毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜。
请看下集《欧几里得20、毕达哥拉斯和妻子西雅娜的相识相知》”
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
教案内容：
…
教学过程
一、毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派
1、毕达哥拉斯
约公元前580年，毕达哥拉斯出生在米利都附近的萨摩斯岛（今希腊东部的小岛，爱奥尼亚群岛的主要岛屿城市之一）。此时群岛正处于极盛时期，在经济、文化等各方面都远远领先于希腊本土的各个城邦。
…米利都：古希腊城邦，位于小亚细亚大陆（今土耳其所在地）西海岸…
…萨摩斯岛（Samos Island）：希腊岛屿。在爱琴海东部，是爱琴海中距小亚细亚大陆最近的希腊岛屿。和小亚细亚只隔窄狭的萨摩斯海峡…
毕达哥拉斯的父亲是一个富商。毕达哥拉斯九岁时，被父亲送到提尔，在闪族叙利亚学者那里学习。在这里，毕达哥拉斯接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲作商务旅行到小亚细亚（父亲到小亚细亚是为了做生意）。
…提尔（黎巴嫩古城）一般指推罗…
许多门徒逃回希腊本土，重新建立据点。另一些人到了塔兰托，继续进行数学哲学研究，以及政治方面的活动。
直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。
“按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的，毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜。
请看下集《欧几里得20、毕达哥拉斯和妻子西雅娜的相识相知》”
欧几里得20、毕达哥拉斯和妻子西雅娜的相识相知
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
教案内容：
…
2、毕达哥拉斯学派的观点
毕达哥拉斯建立的这个宗教、政治、学术合一的团体形成了以后的毕达哥拉斯学派（后又叫南意大利学派）。
这个社团里有男有女，地位一律平等，一切财产都归公有。社团的组织纪律很严密，甚至带有浓厚的宗教色彩。每个学员都要在学术上达到一定的水平，加入组织还要经历一系列神秘的仪式，以求达到“心灵的净化”。
毕达哥拉斯的演讲吸引了各阶层的人士，很多上层社会的人士来参加演讲会。按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的，毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜。西雅娜年轻漂亮，曾给毕达哥拉斯写过传记，可惜已经失传了。
…象：象形字。“象”字的出现很早，甲骨文写作图2，金文写作图1或图3。就字形而论，可以看得出，甲骨文、金文中的“象”字，不管是繁复的字形，还是简单而线化了的字形，都是象大象整个身体的形状：长长的鼻子、硕（shuò）大的头部、巨大的身体。这显然不同于其他种类的陆地动物，即使在后来的逐渐变化了的线条化字形，大象的长鼻之形依然醒目。到了战国时期的《鄂（è）君启车节》上，“象”字写作图4，字的上部犹存象之头、鼻形，下部变作图A形。秦始皇“书同文”统一了文字之后，所颁行的规范化了的小篆（zhuàn）“象”字写作图6，虽形象已然全非，但文字构形还保持了甲骨文、金文的基本形体，大象的长鼻、硕首之形还是残存其间。楷书写作“象”，除了笔画之间更为方正外，基本沿袭了小篆的写法，依然突出的是大象的长鼻这一特征。
“象”字的本义为兽名，即“大象”，这是没有疑义的，字形与字义之间的联系非常清楚。许慎（shèn）《说文解字》记录：“象，长鼻牙，南越大兽，三年一乳，象‘耳牙四足’之形。”
许慎对象的把握是准确的，但从他的记录来看，在他所处的东汉时代，中国中原已经很少见到象了，于是他说是“南越大兽”；这也反映了气候的变化，使得中原地带变冷而不适合大象的生存，于是大象就南迁了。《吕氏春秋·古乐》记载：“商人服象，为虐于东夷。”表明象在殷（yīn）商时代是人们所用的驯（xùn）化动物。《左传》还有用象进行战争的记载。
“象”字由兽名“大象”之意引申为象牙的省称。
在后来的词义引申发展过程中，“象”字又引申出形象之义。
汉语词义引申发展的规律，通常是由具象到抽象、由个性到共性。“象”字词义的引申发展也不例外。如《易·系辞上》：“在天成象，在地成形。”孔颖达疏：“象谓悬象，日月星辰也。”现代汉语依然有“天象”“星象”“万象更新”等词。又引申出相貌、肖像之义。还引申有相似、好像之义。
“象”字词义的引申：由“大象”到“形象”，到“相貌、肖像”，再到“相似、好像”的过程似乎令人费解。其实，古人也试图对此作出合理的解释。《韩非子·解老》就说：“人希见生象也，而得死象之骨，案其图以想其生也。故诸（zhū）人之所以意想者，皆谓之象也。”《韩非子》中的这一段话，南唐徐锴（kǎi）《说文解字系传》“像”字下云：“韩子曰：象南方之大兽，中国人不识，但见其画，故言图写似之为象。”显然只是一个意思的概括而不是原文的摘引。韩非子的这一说法未必真的符合事实，但对于理解“象”字的词义引申轨迹或许有些许帮助。
字义：1.哺乳动物，是陆地上现存最大的动物，耳朵大，鼻子长、圆筒形、能蜷（quán）曲，多有一对长大的门牙伸出口外，全身的毛很稀疏，皮很厚，吃嫩叶和野菜等。生活于我国云南南部、印度、非洲等热带地方。有的可驯养来驮（tuó）运货物。
2.仿效；模拟：～形。～声
3.形状；样子：景～。天～。气～。印～。万～更新…
（…象形：描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
…象形字：用象形造字法造出来的字…）
“本质：事物本身所固有的根本属性；事物区别于其它事物的根本特点。
作用：1.可使人们脱离具体的形象进行创新活动。
如：人们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等。
请看下集《欧几里得21、“抽象”的含义与数的诞生；哲学和实用数学的巨大进步；概念》”
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
教案内容：
…
2、毕达哥拉斯学派的观点
毕达哥拉斯建立的这个宗教、政治、学术合一的团体形成了以后的毕达哥拉斯学派（后又叫南意大利学派）。
这个社团里有男有女，地位一律平等，一切财产都归公有。社团的组织纪律很严密，甚至带有浓厚的宗教色彩。每个学员都要在学术上达到一定的水平，加入组织还要经历一系列神秘的仪式，以求达到“心灵的净化”。
毕达哥拉斯的演讲吸引了各阶层的人士，很多上层社会的人士来参加演讲会。按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的，毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜。西雅娜年轻漂亮，曾给毕达哥拉斯写过传记，可惜已经失传了。
…象：象形字。“象”字的出现很早，甲骨文写作图2，金文写作图1或图3。就字形而论，可以看得出，甲骨文、金文中的“象”字，不管是繁复的字形，还是简单而线化了的字形，都是象大象整个身体的形状：长长的鼻子、硕（shuò）大的头部、巨大的身体。这显然不同于其他种类的陆地动物，即使在后来的逐渐变化了的线条化字形，大象的长鼻之形依然醒目。到了战国时期的《鄂（è）君启车节》上，“象”字写作图4，字的上部犹存象之头、鼻形，下部变作图A形。秦始皇“书同文”统一了文字之后，所颁行的规范化了的小篆（zhuàn）“象”字写作图6，虽形象已然全非，但文字构形还保持了甲骨文、金文的基本形体，大象的长鼻、硕首之形还是残存其间。楷书写作“象”，除了笔画之间更为方正外，基本沿袭了小篆的写法，依然突出的是大象的长鼻这一特征。
“象”字的本义为兽名，即“大象”，这是没有疑义的，字形与字义之间的联系非常清楚。许慎（shèn）《说文解字》记录：“象，长鼻牙，南越大兽，三年一乳，象‘耳牙四足’之形。”
许慎对象的把握是准确的，但从他的记录来看，在他所处的东汉时代，中国中原已经很少见到象了，于是他说是“南越大兽”；这也反映了气候的变化，使得中原地带变冷而不适合大象的生存，于是大象就南迁了。《吕氏春秋·古乐》记载：“商人服象，为虐于东夷。”表明象在殷（yīn）商时代是人们所用的驯（xùn）化动物。《左传》还有用象进行战争的记载。
“象”字由兽名“大象”之意引申为象牙的省称。
在后来的词义引申发展过程中，“象”字又引申出形象之义。
汉语词义引申发展的规律，通常是由具象到抽象、由个性到共性。“象”字词义的引申发展也不例外。如《易·系辞上》：“在天成象，在地成形。”孔颖达疏：“象谓悬象，日月星辰也。”现代汉语依然有“天象”“星象”“万象更新”等词。又引申出相貌、肖像之义。还引申有相似、好像之义。
“象”字词义的引申：由“大象”到“形象”，到“相貌、肖像”，再到“相似、好像”的过程似乎令人费解。其实，古人也试图对此作出合理的解释。《韩非子·解老》就说：“人希见生象也，而得死象之骨，案其图以想其生也。故诸（zhū）人之所以意想者，皆谓之象也。”《韩非子》中的这一段话，南唐徐锴（kǎi）《说文解字系传》“像”字下云：“韩子曰：象南方之大兽，中国人不识，但见其画，故言图写似之为象。”显然只是一个意思的概括而不是原文的摘引。韩非子的这一说法未必真的符合事实，但对于理解“象”字的词义引申轨迹或许有些许帮助。
字义：1.哺乳动物，是陆地上现存最大的动物，耳朵大，鼻子长、圆筒形、能蜷（quán）曲，多有一对长大的门牙伸出口外，全身的毛很稀疏，皮很厚，吃嫩叶和野菜等。生活于我国云南南部、印度、非洲等热带地方。有的可驯养来驮（tuó）运货物。
2.仿效；模拟：～形。～声
3.形状；样子：景～。天～。气～。印～。万～更新…
（…象形：描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
…象形字：用象形造字法造出来的字…）
“本质：事物本身所固有的根本属性；事物区别于其它事物的根本特点。
作用：1.可使人们脱离具体的形象进行创新活动。
如：人们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等。
请看下集《欧几里得21、“抽象”的含义与数的诞生；哲学和实用数学的巨大进步；概念》”
欧几里得21、“抽象”的含义与数的诞生；哲学和实用数学的巨大进步；概念
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
…物：形声字。物在甲骨文中就已经出现，“牛”为形旁，“勿”为声旁。甲骨文有上下结构和左右结构两种构型。从甲骨文字形来看，左半部分或下半部是头“牛”，右半部或上半部是声旁“勿”字。本义：杂色的牛（毛色不纯）。
最早字形见于商代甲骨文。本义是指杂色牛，引申指毛色、杂色，这些意义只见于上古。因杂色含有众多的意思，故引申为万事万物。另一意说，物本义指万物，引申指具体的物品，还特指自己以外的人、事、物，多指众人。
《说文解字》：“万物也。牛为大物；天地之数，起于牵牛，故从牛。勿声。”
字义：1.东西；事物：动～。货～。～质。～尽其用。
2.自己周围的环境：待人接～。
3.内容；实质：言之有～。空洞无～…
…事物：指客观存在于自然界的一切事情和物体…
…客观事物：指有别于思想的外界事物。
客观事物是真实的。
真实就是不变的、普遍的。——柏拉图…
“本质：事物本身所固有的根本属性；事物区别于其它事物的根本特点。
作用：1.可使人们脱离具体的形象进行创新活动。
如：人们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等。
请看下集《欧几里得22、本质，反、映、反映，思、维、思维，活》”
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
…物：形声字。物在甲骨文中就已经出现，“牛”为形旁，“勿”为声旁。甲骨文有上下结构和左右结构两种构型。从甲骨文字形来看，左半部分或下半部是头“牛”，右半部或上半部是声旁“勿”字。本义：杂色的牛（毛色不纯）。
最早字形见于商代甲骨文。本义是指杂色牛，引申指毛色、杂色，这些意义只见于上古。因杂色含有众多的意思，故引申为万事万物。另一意说，物本义指万物，引申指具体的物品，还特指自己以外的人、事、物，多指众人。
《说文解字》：“万物也。牛为大物；天地之数，起于牵牛，故从牛。勿声。”
字义：1.东西；事物：动～。货～。～质。～尽其用。
2.自己周围的环境：待人接～。
3.内容；实质：言之有～。空洞无～…
…事物：指客观存在于自然界的一切事情和物体…
…客观事物：指有别于思想的外界事物。
客观事物是真实的。
真实就是不变的、普遍的。——柏拉图…
“本质：事物本身所固有的根本属性；事物区别于其它事物的根本特点。
作用：1.可使人们脱离具体的形象进行创新活动。
如：人们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等。
请看下集《欧几里得22、本质，反、映、反映，思、维、思维，活》”
欧几里得22、本质，反、映、反映，思、维、思维，活
…活：形声兼会意字。由“氵（读音shuǐ，同“水”。用作偏旁。俗称“三点水”）”与“舌”字构成。“氵”表示水，“舌”指舌头，两者合起来表示喝水生存之义。
“活”字的本义是指水流声。《广韵（yùn）·末韵》中说“活，不死也。”这里引申为活动之义。后由活动引申为生存、有生命。
字义：1.生存；有生命（跟“死”相对）：～人。～到老，学到老。鱼在水里才能～。
2.在活的状态下：～捉。
3.维持生命；救活：养家～口。～人一命。
4.活动；灵活：～水。～结。～页。～塞。
5.生动活泼；不死板：～气。～跃。这一段描写得很～。
6.真正；简直：～现。这孩子说话～像个大人。
7.工作（一般指体力劳动的，属于工农业生产或修理服务性质的）：细～。重～。庄稼～。干～儿。
8.产品；制成品：出～儿。箱子上配着铜～。这一批～儿做得很好…
（…会意字：用会意造字法造出的汉字就是会意字…）
“概念（百度汉语）2：思维的基本形式之一，反映客观事物的一般的、本质的特征。人类在认识过程中，把所感觉到的事物的共同特点抽出来，加以概括，就成为概念。比如从白雪、白马、白纸等事物里抽出它们的共同特点，就得出“白”的概念。
请看下集《欧几里得23、概念，动、活动，方式，特、特性，状、形状，形象》”
…活：形声兼会意字。由“氵（读音shuǐ，同“水”。用作偏旁。俗称“三点水”）”与“舌”字构成。“氵”表示水，“舌”指舌头，两者合起来表示喝水生存之义。
“活”字的本义是指水流声。《广韵（yùn）·末韵》中说“活，不死也。”这里引申为活动之义。后由活动引申为生存、有生命。
字义：1.生存；有生命（跟“死”相对）：～人。～到老，学到老。鱼在水里才能～。
2.在活的状态下：～捉。
3.维持生命；救活：养家～口。～人一命。
4.活动；灵活：～水。～结。～页。～塞。
5.生动活泼；不死板：～气。～跃。这一段描写得很～。
6.真正；简直：～现。这孩子说话～像个大人。
7.工作（一般指体力劳动的，属于工农业生产或修理服务性质的）：细～。重～。庄稼～。干～儿。
8.产品；制成品：出～儿。箱子上配着铜～。这一批～儿做得很好…
（…会意字：用会意造字法造出的汉字就是会意字…）
“概念（百度汉语）2：思维的基本形式之一，反映客观事物的一般的、本质的特征。人类在认识过程中，把所感觉到的事物的共同特点抽出来，加以概括，就成为概念。比如从白雪、白马、白纸等事物里抽出它们的共同特点，就得出“白”的概念。
请看下集《欧几里得23、概念，动、活动，方式，特、特性，状、形状，形象》”
欧几里得23、概念，动、活动，方式，特、特性，状、形状，形象
…状：形声。从犬，爿（pán）声。用具体的动物“犬”表示事物各具形态。本义：犬形。
字义：1.形状；样子：～态。奇形怪～。
2.情况：～况。病～。罪～。
3.陈述或描摹：～语。不可名～。
4.陈述事件或记载事迹的文字：供～。
5.指诉状：～纸。告～。
6.褒奖、委任等文件：奖～。委任～…
…形状：物体或图形由外部的面或线条组合而呈现的外表…
…象：见《欧几里得20》…
…形象：1.人的形状相貌；模样：脑海里浮现出他的～。
2.指描绘或表达具体、生动：～地描绘了各种各样人物的心理。语言～、精练。
3.艺术反映社会生活的一种特殊手段。是作者对社会生活进行加工所创造出来的具有一定的思想内容和审美意义的有形或无形的图画。文艺作品中的形象，通常以人物形象为主。各类艺术由于所采用的塑造形象的材料和手段不同，所以有的形象具有直观性，如绘画、雕塑、戏剧等；有的形象不具有直观性，如文学、音乐等…
“因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。
请看下集《欧几里得24、度、公度、约、公度和公约，分、分数》”
…状：形声。从犬，爿（pán）声。用具体的动物“犬”表示事物各具形态。本义：犬形。
字义：1.形状；样子：～态。奇形怪～。
2.情况：～况。病～。罪～。
3.陈述或描摹：～语。不可名～。
4.陈述事件或记载事迹的文字：供～。
5.指诉状：～纸。告～。
6.褒奖、委任等文件：奖～。委任～…
…形状：物体或图形由外部的面或线条组合而呈现的外表…
…象：见《欧几里得20》…
…形象：1.人的形状相貌；模样：脑海里浮现出他的～。
2.指描绘或表达具体、生动：～地描绘了各种各样人物的心理。语言～、精练。
3.艺术反映社会生活的一种特殊手段。是作者对社会生活进行加工所创造出来的具有一定的思想内容和审美意义的有形或无形的图画。文艺作品中的形象，通常以人物形象为主。各类艺术由于所采用的塑造形象的材料和手段不同，所以有的形象具有直观性，如绘画、雕塑、戏剧等；有的形象不具有直观性，如文学、音乐等…
“因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。
请看下集《欧几里得24、度、公度、约、公度和公约，分、分数》”
欧几里得24、度、公度、约、公度和公约，分、分数
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
他们认为“任何两条线段，总有一个最大公度线段”。
…公：见《欧几里得1》…
…度：形声。从又、庶（shù），省声。“又”即手，古代多用手、臂等来测量长度。本义：计量长短的标准，尺码。
字义：1.计量长短：～量衡。
2.表明物质的有关性质所达到的程度，如硬度、热度、浓度、湿度等。
3.计量单位名称。a）弧或角，把圆周分为360等份所成的弧叫1度弧。1度弧所对的圆心角叫1度角。1度等于60分。b）经度或纬度，如北纬38度。c）电量，1度即1千瓦小时。d）眼镜焦度的单位。
4.程度：极～。知名～。透明～。高～的责任感。
5.限度：劳累过～。
6.章程；行为准则：法～。制～。
7.指一定事物保持自己质的数量界限。在这个界限内，量的增减不改变事物的质，超过这个界限，就要引起质变。
8.对人对事宽容的程度：～量。气～。
9.人的气质或姿态：风～。态～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
公度：“公度”是一个几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd（m，n为自然数），那么称线段d为线段a和b的一个公度。并称线段a和b为可公度线段或可公约线段。
如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b为无公度线段或不可公约线段…
…自然数：见《欧几里得16》…
…约：形声。从糸（mì），勺声。糸是细丝，有缠束作用。本义：绳索。
字义：1.提出或商量（须要共同遵守的事）：预～。～定。～期。～好五点钟见面。
2.邀请：特～。～请。～他来。
3.约定的事；共同订立、须要共同遵守的条文：践～。条～。和～。有～在先。
4.限制使不越出范围；拘束：～束。制～。
5.俭省：节～。俭～。
6.简单；简要：由博返～。
7.大概：大～。～计。～数。年～十七八。～有五十人。
8.约分：5/10可以～成1/2…
…公度和公约：对任何两条线段a、b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…
二、第一次数学危机
整数是在进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
…整数：完整的数，如﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3…
…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…分：会意。从八，从刀。“八”就是分；从“刀”，是以刀剖（pōu）物，使之分开的意思。本义：一分为二。
字义：1.区划开：～开。划～。～野（划分的范围）。～界。～明。～解。
2.由整体中取出或产生出一部分：～发。～忧。～心劳神。
3.由机构内独立出的部分：～会。～行（háng）。
4.散，离：～裂。～离。～别。～崩离析。～门别类。
5.辨别：区～。～析。
6.区划而成的部分：二～之一。
7.一半：人生百年，昼夜各～。春～。秋～…
…分数：1.评定成绩或胜负时所记的分儿的数字：三门功课的平均～是87分。短跑，他得的～是9.5分。
2.把一个单位分成若干等份，表示其中的一份或几份的数，是除法的一种书写形式，如2/5（读作五分之二），2·3/7（读作二又七分之三）。在分数中，符号“—”叫做分数线，相当于除号；分数线上面的数叫做分子，相当于被除数，如“2/5”中的2；分数线下面的数叫做分母，相当于除数，如“2/5”中的5…
“有理数：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。
请看下集《欧几里得25、有、有理、有理数，系、衍、义》”
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
他们认为“任何两条线段，总有一个最大公度线段”。
…公：见《欧几里得1》…
…度：形声。从又、庶（shù），省声。“又”即手，古代多用手、臂等来测量长度。本义：计量长短的标准，尺码。
字义：1.计量长短：～量衡。
2.表明物质的有关性质所达到的程度，如硬度、热度、浓度、湿度等。
3.计量单位名称。a）弧或角，把圆周分为360等份所成的弧叫1度弧。1度弧所对的圆心角叫1度角。1度等于60分。b）经度或纬度，如北纬38度。c）电量，1度即1千瓦小时。d）眼镜焦度的单位。
4.程度：极～。知名～。透明～。高～的责任感。
5.限度：劳累过～。
6.章程；行为准则：法～。制～。
7.指一定事物保持自己质的数量界限。在这个界限内，量的增减不改变事物的质，超过这个界限，就要引起质变。
8.对人对事宽容的程度：～量。气～。
9.人的气质或姿态：风～。态～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
公度：“公度”是一个几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd（m，n为自然数），那么称线段d为线段a和b的一个公度。并称线段a和b为可公度线段或可公约线段。
如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b为无公度线段或不可公约线段…
…自然数：见《欧几里得16》…
…约：形声。从糸（mì），勺声。糸是细丝，有缠束作用。本义：绳索。
字义：1.提出或商量（须要共同遵守的事）：预～。～定。～期。～好五点钟见面。
2.邀请：特～。～请。～他来。
3.约定的事；共同订立、须要共同遵守的条文：践～。条～。和～。有～在先。
4.限制使不越出范围；拘束：～束。制～。
5.俭省：节～。俭～。
6.简单；简要：由博返～。
7.大概：大～。～计。～数。年～十七八。～有五十人。
8.约分：5/10可以～成1/2…
…公度和公约：对任何两条线段a、b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…
二、第一次数学危机
整数是在进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
…整数：完整的数，如﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3…
…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…分：会意。从八，从刀。“八”就是分；从“刀”，是以刀剖（pōu）物，使之分开的意思。本义：一分为二。
字义：1.区划开：～开。划～。～野（划分的范围）。～界。～明。～解。
2.由整体中取出或产生出一部分：～发。～忧。～心劳神。
3.由机构内独立出的部分：～会。～行（háng）。
4.散，离：～裂。～离。～别。～崩离析。～门别类。
5.辨别：区～。～析。
6.区划而成的部分：二～之一。
7.一半：人生百年，昼夜各～。春～。秋～…
…分数：1.评定成绩或胜负时所记的分儿的数字：三门功课的平均～是87分。短跑，他得的～是9.5分。
2.把一个单位分成若干等份，表示其中的一份或几份的数，是除法的一种书写形式，如2/5（读作五分之二），2·3/7（读作二又七分之三）。在分数中，符号“—”叫做分数线，相当于除号；分数线上面的数叫做分子，相当于被除数，如“2/5”中的2；分数线下面的数叫做分母，相当于除数，如“2/5”中的5…
“有理数：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。
请看下集《欧几里得25、有、有理、有理数，系、衍、义》”
欧几里得25、有、有理、有理数，系、衍、义
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
教案内容：…
二、第一次数学危机
整数是在进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
…整数，抽、象、抽象，概、念、概念，分、分数：见《欧几里得24》…
…义：义始见于商代甲骨文（1-3），上部是“羊”，下部是“我”。西周金文（图4-6）承袭甲骨文，但“羊”“我”二旁已开始分离。战国文字“义”所从的“羊”常省作字符A或字符B，所从的“我”或讹（é）作字符C，或作字符D、字符E，与“弗”字形近。马王堆汉墓帛（bó）书“义”或从羊、从弗，“弗”是“我”字的讹变。简体的“义”最早出现在元抄本《京本通俗小说》上，后作为繁体“义”的简化字。
关于“义”的构型和本义，主要有以下几种解说：
1、会意字。古人把“羊”作为和善的象征。“我”本来是指一只有棱有角，还具有锯齿状的刀刃的兵器，后假借作第一人称的代词，指自己。因而有的学者认为由“羊”和“我”构成的“义”的意思是像羊一样与人为善，一切好事、善事应从“我”做起。于是把一个人对另一个人做好事、肯牺牲的精神称为“义”。
2、象形字或会意字。“我”原指一种长柄的兵器，这种兵器在战场上不太灵便顺手，但在仪仗队里用得上，所以在部族祭祖时，除了供上羊头之外，还有手握“我”的武士作仪仗队。从图1的甲骨文看，“义”所从的“羊”和“我”共用一竖画，像是顶部有羊角形装饰的“我”。这个上有“羊”，下有“我”的“义”字，作用在于“仪”，“义”本义即为威仪、礼仪。
字义：1.公正合宜（yí）的道理；正义：道～。大～灭亲。～不容辞。
2.合乎正义或公益的：～举。～演。
3.情谊：情～。忘恩负～。
4.因抚养或拜认而成为亲属的：～父。～女。
5.人工制造的（人体的部分）：～齿。～肢。
6.意义；道理：字～。定～。微言大～…
[…讹：形声。从言，化声。本义：谣言。
字义：1.错误。例 ：以～传～。
2. 讹诈：～人…
…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
““正方形边长为1时，它对角线的长度无法用整数或分数表示出来，但它的长度又的的确确客观存在…它的长度是种新发现的数，”中学生说，“新发现的数和之前‘合理存在的数’（即有理数）不同，所以被称为无理数。”
请看下集《欧几里得26、系，意、义、意义，有理数的几何解释，合理存在的数（有理数）》”
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
教案内容：…
二、第一次数学危机
整数是在进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
…整数，抽、象、抽象，概、念、概念，分、分数：见《欧几里得24》…
…义：义始见于商代甲骨文（1-3），上部是“羊”，下部是“我”。西周金文（图4-6）承袭甲骨文，但“羊”“我”二旁已开始分离。战国文字“义”所从的“羊”常省作字符A或字符B，所从的“我”或讹（é）作字符C，或作字符D、字符E，与“弗”字形近。马王堆汉墓帛（bó）书“义”或从羊、从弗，“弗”是“我”字的讹变。简体的“义”最早出现在元抄本《京本通俗小说》上，后作为繁体“义”的简化字。
关于“义”的构型和本义，主要有以下几种解说：
1、会意字。古人把“羊”作为和善的象征。“我”本来是指一只有棱有角，还具有锯齿状的刀刃的兵器，后假借作第一人称的代词，指自己。因而有的学者认为由“羊”和“我”构成的“义”的意思是像羊一样与人为善，一切好事、善事应从“我”做起。于是把一个人对另一个人做好事、肯牺牲的精神称为“义”。
2、象形字或会意字。“我”原指一种长柄的兵器，这种兵器在战场上不太灵便顺手，但在仪仗队里用得上，所以在部族祭祖时，除了供上羊头之外，还有手握“我”的武士作仪仗队。从图1的甲骨文看，“义”所从的“羊”和“我”共用一竖画，像是顶部有羊角形装饰的“我”。这个上有“羊”，下有“我”的“义”字，作用在于“仪”，“义”本义即为威仪、礼仪。
字义：1.公正合宜（yí）的道理；正义：道～。大～灭亲。～不容辞。
2.合乎正义或公益的：～举。～演。
3.情谊：情～。忘恩负～。
4.因抚养或拜认而成为亲属的：～父。～女。
5.人工制造的（人体的部分）：～齿。～肢。
6.意义；道理：字～。定～。微言大～…
[…讹：形声。从言，化声。本义：谣言。
字义：1.错误。例 ：以～传～。
2. 讹诈：～人…
…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
““正方形边长为1时，它对角线的长度无法用整数或分数表示出来，但它的长度又的的确确客观存在…它的长度是种新发现的数，”中学生说，“新发现的数和之前‘合理存在的数’（即有理数）不同，所以被称为无理数。”
请看下集《欧几里得26、系，意、义、意义，有理数的几何解释，合理存在的数（有理数）》”
欧几里得26、系，意、义、意义，有理数的几何解释，合理存在的数（有理数）
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
教案内容：…
二、第一次数学危机
整数是在进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
…整数，抽、象、抽象，概、念、概念，分、分数，有、理、有理、有理数：见《欧几里得24、25》…
““边长1的正方形的对角线长度无法用整数或分数表示出来”，这个简单的数学事实的发现，使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰。
请看下集《欧几里得27、悖、论、悖论，毕达哥拉斯悖论，第一次数学危机产生的原因》”
2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
教案内容：…
二、第一次数学危机
整数是在进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
…整数，抽、象、抽象，概、念、概念，分、分数，有、理、有理、有理数：见《欧几里得24、25》…
““边长1的正方形的对角线长度无法用整数或分数表示出来”，这个简单的数学事实的发现，使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰。
请看下集《欧几里得27、悖、论、悖论，毕达哥拉斯悖论，第一次数学危机产生的原因》”
欧几里得27、悖、论、悖论，毕达哥拉斯悖论，第一次数学危机产生的原因
…比：在甲骨文（图A）和钟鼎文（图B）里，是两个亲近的人，紧靠相依，并肩向前，这正是“比”的本义：紧靠、亲近、比并。发展到秦代小篆（zhuàn）（图C），“比”的形体像小两口弯着腰垂手过膝向来宾们鞠躬致谢。这个字发展到汉隶（lì）（图D）阶段，弯腰鞠躬的一对变成平坐搭肩的一对。楷书“比”（图E），平坐搭肩的姿式没有变，由此产生出并列、挨着、接近等引申义。
字义：1.比较；较量：～干劲。学先进，～先进。
2.能够相比：近邻～亲。坚～金石。演讲不～自言自语。
3.比画：连说带～。
4.对着；向着：别拿枪～着人，小心走火。
5.仿照：～着葫芦画瓢（比喻模仿着做事）。
6.比方；比喻：人们常把聪明的人～做诸葛亮。
7.两个同类量之间的倍数关系，叫做它们的比，其中一数是另一数的几倍或几分之几：这里的小麦年产量和水稻年产量约为一～四。
8.表示比赛双方得分的对比：甲队以二～一胜乙队。
9.a）“一”加量词在“比”的前后重复，可以表示程度的累进：国民的生活一年～一年富裕了。b）比较高下的时候用“比”，表示异同的时候一般用“跟”或“同”。
10.紧靠；挨着：～肩。鳞（lín）次栉（zhì）～。
11.依附；勾结：朋～为奸…
““‘正方形边长为1时，对角线长多少？’，这个问题出现后，不仅在算术上引发危机（无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来），也在几何上引发了危机…”中学生说，“曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么…”
请看下集《欧几里得28、定义，几、何、几何，危、机、危机，几何危机》”
…比：在甲骨文（图A）和钟鼎文（图B）里，是两个亲近的人，紧靠相依，并肩向前，这正是“比”的本义：紧靠、亲近、比并。发展到秦代小篆（zhuàn）（图C），“比”的形体像小两口弯着腰垂手过膝向来宾们鞠躬致谢。这个字发展到汉隶（lì）（图D）阶段，弯腰鞠躬的一对变成平坐搭肩的一对。楷书“比”（图E），平坐搭肩的姿式没有变，由此产生出并列、挨着、接近等引申义。
字义：1.比较；较量：～干劲。学先进，～先进。
2.能够相比：近邻～亲。坚～金石。演讲不～自言自语。
3.比画：连说带～。
4.对着；向着：别拿枪～着人，小心走火。
5.仿照：～着葫芦画瓢（比喻模仿着做事）。
6.比方；比喻：人们常把聪明的人～做诸葛亮。
7.两个同类量之间的倍数关系，叫做它们的比，其中一数是另一数的几倍或几分之几：这里的小麦年产量和水稻年产量约为一～四。
8.表示比赛双方得分的对比：甲队以二～一胜乙队。
9.a）“一”加量词在“比”的前后重复，可以表示程度的累进：国民的生活一年～一年富裕了。b）比较高下的时候用“比”，表示异同的时候一般用“跟”或“同”。
10.紧靠；挨着：～肩。鳞（lín）次栉（zhì）～。
11.依附；勾结：朋～为奸…
““‘正方形边长为1时，对角线长多少？’，这个问题出现后，不仅在算术上引发危机（无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来），也在几何上引发了危机…”中学生说，“曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么…”
请看下集《欧几里得28、定义，几、何、几何，危、机、危机，几何危机》”
欧几里得28、定义，几、何、几何，危、机、危机，几何危机
200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。
…量、比：见《欧几里得27》…
…不可公度：见《欧几里得24》…
…欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法：？…
…欧多克斯处理不可公度的办法：？？…
网上名为《数学的真相》的PPT，描述了欧多克斯处理不可公度的办法。
…机：《说文·木部》：“機（机的繁体字），主发谓之機。”“木”为木头、木料、木材；“機”中之“戈”是兵器、击杀；两“幺”有细小、微小之意，是小部件、小零件儿，又像是丝绳牵扯，为千丝万缕的联系；“機”内有“人”，表示处于内部的要害、关键部位。“機”为木制的、有细小零部件或丝线、可以牵扯发动以击杀人的机关，后泛指机械。
形声。从木，幾（jī）声。本义：弓弩上的发射机关。
字义：1.机器：缝纫～。打字～。插秧～。拖拉～。
2.飞机：客～。运输～。～场。～群。
3.事情变化的枢纽；有重要关系的环节：事～。生～。转～。
4.机会；时机：乘～。随～应变。～不可失。
5.生活机能：有～体。无～化学。
6.重要的事务：日理万～。
7.心思；念头：动～。心～。杀～。
8.能迅速适应事物的变化的；灵活：～智。～警…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
“人操纵机关，时机千钧一发，所以‘机’衍（yǎn）生出‘机遇、机会、时机’等义…”中学生说。
…衍：见《欧几里得25》…
…
…危机：有危险的时刻；人生、团体、社会发展的转折点，生死攸关；利益转移，犹如分叉路…
…几何上的危机：？…
“‘正方形边长为1时，对角线长多少？’，这个问题出现后，不仅在算术上引发危机（无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来），也在几何上引发了危机…”中学生说，“曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么…”
…算：会意。从竹，从具。“竹”跟算筹（chóu ）有关，“具”表示齐备。本义：计算。
字义：1.计算数目：珠～。笔～。心～。预～。能写会～。～了一笔账。
2.计算进去：明天赛球～我一个。
3.谋划；计划：失～。打～。盘～。暗～。～计。
4.推测：我～他今天该动身了。
5.认做；当做：他可以～一个好学生。你们挑剩下的都～我的。
6.算数；承认有效力：他说的不～，还得你说。
7.作罢；不再计较（后面跟“了”）：～了，别说了。他不愿意就～了吧。
8.表示比较起来最突出：我们班里，就～他年纪最小了。
9.总算：最后～把这个问题弄懂了…
““欧多克斯的比例新定义出现后，人们知道了：正方形的对角线…它的长度和边长成比例…它是比例当中的一个变量…”中学生继续说，“人们能从几何角度，解释‘边长1的正方形的对角线’了。”
请看下集《欧几里得29、欧多克斯给出的比例新定义，为何能消除几何上的危机？》”
200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。
…量、比：见《欧几里得27》…
…不可公度：见《欧几里得24》…
…欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法：？…
…欧多克斯处理不可公度的办法：？？…
网上名为《数学的真相》的PPT，描述了欧多克斯处理不可公度的办法。
…机：《说文·木部》：“機（机的繁体字），主发谓之機。”“木”为木头、木料、木材；“機”中之“戈”是兵器、击杀；两“幺”有细小、微小之意，是小部件、小零件儿，又像是丝绳牵扯，为千丝万缕的联系；“機”内有“人”，表示处于内部的要害、关键部位。“機”为木制的、有细小零部件或丝线、可以牵扯发动以击杀人的机关，后泛指机械。
形声。从木，幾（jī）声。本义：弓弩上的发射机关。
字义：1.机器：缝纫～。打字～。插秧～。拖拉～。
2.飞机：客～。运输～。～场。～群。
3.事情变化的枢纽；有重要关系的环节：事～。生～。转～。
4.机会；时机：乘～。随～应变。～不可失。
5.生活机能：有～体。无～化学。
6.重要的事务：日理万～。
7.心思；念头：动～。心～。杀～。
8.能迅速适应事物的变化的；灵活：～智。～警…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
“人操纵机关，时机千钧一发，所以‘机’衍（yǎn）生出‘机遇、机会、时机’等义…”中学生说。
…衍：见《欧几里得25》…
…
…危机：有危险的时刻；人生、团体、社会发展的转折点，生死攸关；利益转移，犹如分叉路…
…几何上的危机：？…
“‘正方形边长为1时，对角线长多少？’，这个问题出现后，不仅在算术上引发危机（无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来），也在几何上引发了危机…”中学生说，“曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么…”
…算：会意。从竹，从具。“竹”跟算筹（chóu ）有关，“具”表示齐备。本义：计算。
字义：1.计算数目：珠～。笔～。心～。预～。能写会～。～了一笔账。
2.计算进去：明天赛球～我一个。
3.谋划；计划：失～。打～。盘～。暗～。～计。
4.推测：我～他今天该动身了。
5.认做；当做：他可以～一个好学生。你们挑剩下的都～我的。
6.算数；承认有效力：他说的不～，还得你说。
7.作罢；不再计较（后面跟“了”）：～了，别说了。他不愿意就～了吧。
8.表示比较起来最突出：我们班里，就～他年纪最小了。
9.总算：最后～把这个问题弄懂了…
““欧多克斯的比例新定义出现后，人们知道了：正方形的对角线…它的长度和边长成比例…它是比例当中的一个变量…”中学生继续说，“人们能从几何角度，解释‘边长1的正方形的对角线’了。”
请看下集《欧几里得29、欧多克斯给出的比例新定义，为何能消除几何上的危机？》”
欧几里得29、欧多克斯给出的比例新定义，为何能消除几何上的危机？
“‘正方形边长为1时，对角线长多少？’，这个问题出现后，不仅在算术上引发危机（无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来），也在几何上引发了危机，”中学生说，“曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么。”
…算：见《欧几里得28》…
…变（繁体为“變”）：形声。从丝、从言、从攴（pū）。丝本义是乐器，攴是手。变字本义：弹琴时手指在不同琴弦间移动。
大家知道，一个善于弹奏出美妙曲子的人，一定是善于变化的，不会一直单调地拨动同一根琴弦。
大家可以看图，变字的演变。原本是上面三根丝，下面一只手；后来中间的丝演变为言，可能意味着要边弹边唱、或者边弹边说。
这个字的引申义非常丰富，因为丝本身又可以引申为关系，言也可以引申为口头承诺。人与人之间的关系很容易改变，口头承诺没有兑现也可以说是变了。
变只是一个客观描述，可以变好，也可以变坏，两人之间的关系可以从没关系变成铁关系，也可以从铁关系变成敌对关系。
字义：1.和原来不同；变化；改变：情况～了。～了样儿。
2.改变（性质、状态）；变成：沙漠～良田。后进～先进。
3.使改变：～废为宝。～农业国为工业国。
4.能变化的；已变化的：～数。～态。
5.有重大影响的突然变化：事～。～乱。
6.变通：通权达～…
…量：见《欧几里得27》…
…变量（百度百科）：指没有固定的值，可以改变的数。
变量以非数字的符号来表达，一般用拉丁字母…
…变量（百度汉语）2：在某一运动过程中数值变化的量。如物体运动所经过的路程是一个变量…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
“在几何上，人们知道了‘边长1的正方形的对角线’是什么，”中学生最后说，“由此，几何上的危机得到解决。”
“数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上的点和实数一一对应。
请看下集《欧几里得30、欧多克斯的证明，数系，轴、数轴》”
“‘正方形边长为1时，对角线长多少？’，这个问题出现后，不仅在算术上引发危机（无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来），也在几何上引发了危机，”中学生说，“曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么。”
…算：见《欧几里得28》…
…变（繁体为“變”）：形声。从丝、从言、从攴（pū）。丝本义是乐器，攴是手。变字本义：弹琴时手指在不同琴弦间移动。
大家知道，一个善于弹奏出美妙曲子的人，一定是善于变化的，不会一直单调地拨动同一根琴弦。
大家可以看图，变字的演变。原本是上面三根丝，下面一只手；后来中间的丝演变为言，可能意味着要边弹边唱、或者边弹边说。
这个字的引申义非常丰富，因为丝本身又可以引申为关系，言也可以引申为口头承诺。人与人之间的关系很容易改变，口头承诺没有兑现也可以说是变了。
变只是一个客观描述，可以变好，也可以变坏，两人之间的关系可以从没关系变成铁关系，也可以从铁关系变成敌对关系。
字义：1.和原来不同；变化；改变：情况～了。～了样儿。
2.改变（性质、状态）；变成：沙漠～良田。后进～先进。
3.使改变：～废为宝。～农业国为工业国。
4.能变化的；已变化的：～数。～态。
5.有重大影响的突然变化：事～。～乱。
6.变通：通权达～…
…量：见《欧几里得27》…
…变量（百度百科）：指没有固定的值，可以改变的数。
变量以非数字的符号来表达，一般用拉丁字母…
…变量（百度汉语）2：在某一运动过程中数值变化的量。如物体运动所经过的路程是一个变量…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
“在几何上，人们知道了‘边长1的正方形的对角线’是什么，”中学生最后说，“由此，几何上的危机得到解决。”
“数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上的点和实数一一对应。
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欧几里得30、欧多克斯的证明，数系，轴、数轴
200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。
…量、比：见《欧几里得27》…
…不可公度：见《欧几里得24》…
…欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法：？…
…欧多克斯处理不可公度的办法：？？…
网上名为《数学的真相》的PPT，描述了欧多克斯处理不可公度的办法。
PPT内容：“比例”的新定义——消除了几何上的危机
…比、例、比例，定、义、定义，几、何、几何，危、机、危机，几何上的危机：见《欧几里得28、29》…
“集：会意字。早期的“集”字有多种写法，商代甲骨文（图1、2）和商代金文（图3、5）都是鸟在树上的象形。简体字形作一只鸟（“隹”）在树（“木”）上。
本义：鸟成群聚集在树上。
请看下集《欧几里得31、集、合、集合，下，定、义、定义，下定义》”
200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。
…量、比：见《欧几里得27》…
…不可公度：见《欧几里得24》…
…欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法：？…
…欧多克斯处理不可公度的办法：？？…
网上名为《数学的真相》的PPT，描述了欧多克斯处理不可公度的办法。
PPT内容：“比例”的新定义——消除了几何上的危机
…比、例、比例，定、义、定义，几、何、几何，危、机、危机，几何上的危机：见《欧几里得28、29》…
“集：会意字。早期的“集”字有多种写法，商代甲骨文（图1、2）和商代金文（图3、5）都是鸟在树上的象形。简体字形作一只鸟（“隹”）在树（“木”）上。
本义：鸟成群聚集在树上。
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欧几里得31、集、合、集合，下，定、义、定义，下定义
…下：甲骨文和金文的“下”字上面是一长横，下面是一短横。长横是基准线，短横在基准线下，指低于基准线，也就是下边。其本义为位置在低处的，跟“上”相反；引申为低，又引申为由高处到低处，还引申为降下、落下等。
字义：1.方位词。位置在低处的：～游。～部。山～。往～看。
2.等次或品级低的：～等。～级。～策。
3.方位词。次序或时间在后的：～次。～半年。～不为例。
4.向下面：～达。～行。
5.方位词。表示属于一定范围、情况、条件等：名～。部～。在党的领导～。在这种情况～。
6.表示当某个时间或时节：时～。年～。
7.用在数目字后面，表示方面或方位：往四～一看。
8.表示动作的完成或结果：打～基础。定～计策。准备～材料。
9.由高处到低处：～山。 ～楼。顺流而～。
10.（雨、雪等）降落：～雨。～雪。～霜。
11.发布；投递：～命令。～通知。～战书。
12.去；到（处所）：～乡。～车间。～馆子。
13.退场：八一队的五号～，三号上。这一场戏你应该从右边的旁门～。
14.放入：～种。～面条。～本钱。～网捞鱼。
15.进行（棋类游戏或比赛）：～围棋。咱们～两盘象棋吧!
16.表示有空间，能容纳：坐得～。这个剧场能容～上千人。这间屋子太小，睡不～六个人。
17.做出（言论、判断等）：～结论。～批语。～定义。
18.低于；少于：参加大会的不～三千人。
19.用在“两、几”后面，表示本领、技能：他真有两～。就这么几～，你还要逞（chěng）能？也说下子。
20.表示由高处到低处：坐～。躺～。传～一道命令…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
（…定义：对事物做出的明确描述；对一种事物的本质特征或一个概念的内涵的确切而简要的说明…）
下定义：用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括的说明方法。
““人们发现，有理数、无理数，它们都是实际存在的数。”PPT作者说，“于是，人们给它们取名‘实数’。”
请看下集《欧几里得32、“数轴是什么？”与实数的诞生，第一次数学危机的彻底解决》”
…下：甲骨文和金文的“下”字上面是一长横，下面是一短横。长横是基准线，短横在基准线下，指低于基准线，也就是下边。其本义为位置在低处的，跟“上”相反；引申为低，又引申为由高处到低处，还引申为降下、落下等。
字义：1.方位词。位置在低处的：～游。～部。山～。往～看。
2.等次或品级低的：～等。～级。～策。
3.方位词。次序或时间在后的：～次。～半年。～不为例。
4.向下面：～达。～行。
5.方位词。表示属于一定范围、情况、条件等：名～。部～。在党的领导～。在这种情况～。
6.表示当某个时间或时节：时～。年～。
7.用在数目字后面，表示方面或方位：往四～一看。
8.表示动作的完成或结果：打～基础。定～计策。准备～材料。
9.由高处到低处：～山。 ～楼。顺流而～。
10.（雨、雪等）降落：～雨。～雪。～霜。
11.发布；投递：～命令。～通知。～战书。
12.去；到（处所）：～乡。～车间。～馆子。
13.退场：八一队的五号～，三号上。这一场戏你应该从右边的旁门～。
14.放入：～种。～面条。～本钱。～网捞鱼。
15.进行（棋类游戏或比赛）：～围棋。咱们～两盘象棋吧!
16.表示有空间，能容纳：坐得～。这个剧场能容～上千人。这间屋子太小，睡不～六个人。
17.做出（言论、判断等）：～结论。～批语。～定义。
18.低于；少于：参加大会的不～三千人。
19.用在“两、几”后面，表示本领、技能：他真有两～。就这么几～，你还要逞（chěng）能？也说下子。
20.表示由高处到低处：坐～。躺～。传～一道命令…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
（…定义：对事物做出的明确描述；对一种事物的本质特征或一个概念的内涵的确切而简要的说明…）
下定义：用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括的说明方法。
““人们发现，有理数、无理数，它们都是实际存在的数。”PPT作者说，“于是，人们给它们取名‘实数’。”
请看下集《欧几里得32、“数轴是什么？”与实数的诞生，第一次数学危机的彻底解决》”
欧几里得32、“数轴是什么？”与实数的诞生，第一次数学危机的彻底解决
“有理数、无理数一起组成了数轴…数轴是有理数、无理数的集合…”PPT作者说。
…有、理、有理、有理数：见《欧几里得25》…
…无、无理数：见《欧几里得27》…
…数、轴、数轴，集、合、集合：见《欧几里得30、31》…
“也就是说，数轴是‘有理数、无理数的集合’。”PPT作者接着说，“那么，‘有理数、无理数的集合’是什么？”
“这是一个新东西。新东西，意味着，人们要给它下定义，人们要给它起名字…”PPT作者继续说，“人们要描述它是什么…”
…下：见《欧几里得31》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
下定义：用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括的说明方法。
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
…特：见《欧几里得23》…
““数学家擅长用数学分析错综复杂的自然界，”中学生说，“他们会将自然界的景象抽象成数字，然用数字组成的公式——函数，描述景象的过去、现在、以及未来。”
请看下集《欧几里得33、用数字组成的公式（函数），描述世界的过去、现在、以及未来》”
“有理数、无理数一起组成了数轴…数轴是有理数、无理数的集合…”PPT作者说。
…有、理、有理、有理数：见《欧几里得25》…
…无、无理数：见《欧几里得27》…
…数、轴、数轴，集、合、集合：见《欧几里得30、31》…
“也就是说，数轴是‘有理数、无理数的集合’。”PPT作者接着说，“那么，‘有理数、无理数的集合’是什么？”
“这是一个新东西。新东西，意味着，人们要给它下定义，人们要给它起名字…”PPT作者继续说，“人们要描述它是什么…”
…下：见《欧几里得31》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
下定义：用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括的说明方法。
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
…特：见《欧几里得23》…
““数学家擅长用数学分析错综复杂的自然界，”中学生说，“他们会将自然界的景象抽象成数字，然用数字组成的公式——函数，描述景象的过去、现在、以及未来。”
请看下集《欧几里得33、用数字组成的公式（函数），描述世界的过去、现在、以及未来》”
欧几里得33、用数字组成的公式（函数），描述世界的过去、现在、以及未来
“直到今天，人们也很难相信，世界上有无理数。”中学生说。
“虽然普通人被灌输：世界上有无理数；无理数是存在的…”中学生接着说，“但他们其实并没有见过无理数…”
（“仔细回想一下，我们是从什么时候起，开始认为世界上存在无理数？…”中学生继续说，“没错，学校的老师这样给我们说的…于是我们认为世界上存在无理数…”）
“一旦普通人开始认真思考，他们会质疑无理数的根本：无理数是否存在？”中学生最后说。
…
“其实，这是一个思维方式的问题…”中学生说，“虽然我们看不到无理数，但是，我们依旧能得出‘世界上存在无理数’这个简单数学事实。”
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…方：见《欧几里得2》…
…式：见《欧几里得13》…
…方式：见《欧几里得23》…
…思维方式：看待事物的角度、方式和方法，它对人们的言行起决定性作用…
…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
“例如，对于圆来说，我们知道，直径是存在的（直径的长度是存在的），周长也是存在的…”中学生接着说，“显而易见，周长除以直径的值，也是存在的…”
“周长除以直径的值，就是我们所说的圆周率…”中学生继续说。
“同理…对于边长为1的正方形…边长是存在的，对角线也是存在的…”中学生最后说，“对角线的长度，就是对2进行开方运算后，得出的那个数…虽然我们无法将它写出来，但是我们知道，那个数是存在的…”
“直接是不经过中间事物，直接与既定对象进行关联。
间接是在与既定对象发生关联的时候，必须借助一个中间媒介才能产生关联，没有中间媒介就不会产生关联。
请看下集《欧几里得34、无法直接写出无理数，所以，用间接方法表示无理数》”
“直到今天，人们也很难相信，世界上有无理数。”中学生说。
“虽然普通人被灌输：世界上有无理数；无理数是存在的…”中学生接着说，“但他们其实并没有见过无理数…”
（“仔细回想一下，我们是从什么时候起，开始认为世界上存在无理数？…”中学生继续说，“没错，学校的老师这样给我们说的…于是我们认为世界上存在无理数…”）
“一旦普通人开始认真思考，他们会质疑无理数的根本：无理数是否存在？”中学生最后说。
…
“其实，这是一个思维方式的问题…”中学生说，“虽然我们看不到无理数，但是，我们依旧能得出‘世界上存在无理数’这个简单数学事实。”
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…方：见《欧几里得2》…
…式：见《欧几里得13》…
…方式：见《欧几里得23》…
…思维方式：看待事物的角度、方式和方法，它对人们的言行起决定性作用…
…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
“例如，对于圆来说，我们知道，直径是存在的（直径的长度是存在的），周长也是存在的…”中学生接着说，“显而易见，周长除以直径的值，也是存在的…”
“周长除以直径的值，就是我们所说的圆周率…”中学生继续说。
“同理…对于边长为1的正方形…边长是存在的，对角线也是存在的…”中学生最后说，“对角线的长度，就是对2进行开方运算后，得出的那个数…虽然我们无法将它写出来，但是我们知道，那个数是存在的…”
“直接是不经过中间事物，直接与既定对象进行关联。
间接是在与既定对象发生关联的时候，必须借助一个中间媒介才能产生关联，没有中间媒介就不会产生关联。
请看下集《欧几里得34、无法直接写出无理数，所以，用间接方法表示无理数》”
欧几里得34、无法直接写出无理数，所以，用间接方法表示无理数
“人们无法直接写出无理数…所以，人们采用间接的方法，表示无理数…”中学生说。
…介：象形。甲骨文字形，象人身上穿着铠甲形。中间是人，两边的四点象联在一起的铠甲片。本义：铠甲。一种用来防身的武器。
衍（yǎn）义：在两者中间。如：介于两者之间、介词（用在名词、代词之前，合起来表示地点、时间、方向、方式等关系的词，如“从”、“向”、“在”、“以”、“对于”等）、介入。
衍义：引申指“这样，这么”。如：煞有介事（好像真有这么回事似的，多指大模大样，好像有什么了不起）。
衍义：引申指“放在心里”：介意、介怀。
衍义：引申指“耿直”。如：耿介。
衍义：引申指“甲”。如：介胄（zhòu）、介壳。
衍义：引申指“个（用于人）”。如：一介书生。
衍义：引申指“传统戏曲脚本里表示情态动作的词”。如：笑介。饮酒介。
字义：1.在两者当中：～绍。媒～。这座山～于两县之间。
2.介绍：内容简～。
3.存留；放在（心里）：～意。～怀。
4.铠甲：～胄。
5.甲壳：～虫。～壳…
（…象形：造字法之一。指描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）
…媒介：使双方（人或事物）发生关系的人或事物：苍蝇是传染疾病的～。
…
“同理，人们用根号2（√2），表示对2进行开方运算后，得出的那个无理数。”中学生继续说。
“2是存在的，对2进行开方运算后，得出的数也是存在的，只是人们无法把它写出来。”中学生说。
“‘对2进行开方运算（根号2）’，人们用这种方法，表示对2进行开方运算后，得出的那个无理数。”中学生接着说。
“人们通过根号2（√2）这个媒介，将‘对2进行开方运算后，得出的无理数’表示了出来。”中学生最后说。
“QS世界大学排名因其问卷调查形式的公开透明而获评为世上最受注目的大学排行榜之一。
请看下集《欧几里得35、数学家狄德金；哥廷根大学；QS世界大学排名；泰晤士世界大学排名》”
“人们无法直接写出无理数…所以，人们采用间接的方法，表示无理数…”中学生说。
…介：象形。甲骨文字形，象人身上穿着铠甲形。中间是人，两边的四点象联在一起的铠甲片。本义：铠甲。一种用来防身的武器。
衍（yǎn）义：在两者中间。如：介于两者之间、介词（用在名词、代词之前，合起来表示地点、时间、方向、方式等关系的词，如“从”、“向”、“在”、“以”、“对于”等）、介入。
衍义：引申指“这样，这么”。如：煞有介事（好像真有这么回事似的，多指大模大样，好像有什么了不起）。
衍义：引申指“放在心里”：介意、介怀。
衍义：引申指“耿直”。如：耿介。
衍义：引申指“甲”。如：介胄（zhòu）、介壳。
衍义：引申指“个（用于人）”。如：一介书生。
衍义：引申指“传统戏曲脚本里表示情态动作的词”。如：笑介。饮酒介。
字义：1.在两者当中：～绍。媒～。这座山～于两县之间。
2.介绍：内容简～。
3.存留；放在（心里）：～意。～怀。
4.铠甲：～胄。
5.甲壳：～虫。～壳…
（…象形：造字法之一。指描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）
…媒介：使双方（人或事物）发生关系的人或事物：苍蝇是传染疾病的～。
…
“同理，人们用根号2（√2），表示对2进行开方运算后，得出的那个无理数。”中学生继续说。
“2是存在的，对2进行开方运算后，得出的数也是存在的，只是人们无法把它写出来。”中学生说。
“‘对2进行开方运算（根号2）’，人们用这种方法，表示对2进行开方运算后，得出的那个无理数。”中学生接着说。
“人们通过根号2（√2）这个媒介，将‘对2进行开方运算后，得出的无理数’表示了出来。”中学生最后说。
“QS世界大学排名因其问卷调查形式的公开透明而获评为世上最受注目的大学排行榜之一。
请看下集《欧几里得35、数学家狄德金；哥廷根大学；QS世界大学排名；泰晤士世界大学排名》”
欧几里得35、数学家狄德金；哥廷根大学；QS世界大学排名；泰晤士世界大学排名
200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。
…量、比、不可公度、欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法、欧多克斯处理不可公度的办法：见《欧几里得24~34》…
狄德金：德国数学家。1831年10月6日生于不伦瑞克（德国中北部城市），1916年2月12日卒（zú）于同地。
…卒：[ zú ]
1.兵：士～。小～。
2.差役：走～。
3.死亡：生～年月。
4.完毕：～业。
5.文言副词。到底；终于：～胜敌军…
…泰晤士世界大学排名：《泰晤士报高等教育特刊》（以下简称《特刊》）公布的世界大学排名。
泰晤士世界大学排名参考五大指标，按不同比重评分，包括教学、研究、论文引用、国际化及企业创新资金投入…
狄德金，又译戴德金。
尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831.10.6-1916.2.12）：德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱。据《辞海》，戴德金还是哥廷根大学哲学博士、柏林科学院院士。
…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
人物生平：1831年10月6日，戴德金生于德国下萨克森州（位于德国西北部）东部城市不伦瑞克一知识分子家庭。父亲为法学教授，母亲亦（yì）出身于知识分子家庭。
…亦：也（表示同样）；也是：反之～然。人云～云…
戴德金早年在不伦瑞克大学预科学习化学和物理。
…预科：？？？…
“大家知道预科是什么意思吗？…很多想出国留学的同学应该知道预科的意思…但是大部分人还是不知道预科是什么意思…”网友说。
“预科一般指大学基础课程，也可以说是大学的学前预备教育…”网友接着说。
“想要出国留学的同学需要在海外读一年的预科来适应国外的生活以及学习方式…完成了一年的预科之后，再根据成绩好坏决定能否升入原先选择的院校…”网友继续说。
“成绩非常优异情况下，还可以转入比之前选的大学更好的大学进行学习…”网友最后说。
“1848年，戴德金进入卡罗莱纳学院学习力学、微积分、代数分析、解析几何和自然科学。
请看下集《欧几里得36、代、代数，析、分析，解、解析，解析几何（坐标几何）》”
200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。
…量、比、不可公度、欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法、欧多克斯处理不可公度的办法：见《欧几里得24~34》…
狄德金：德国数学家。1831年10月6日生于不伦瑞克（德国中北部城市），1916年2月12日卒（zú）于同地。
…卒：[ zú ]
1.兵：士～。小～。
2.差役：走～。
3.死亡：生～年月。
4.完毕：～业。
5.文言副词。到底；终于：～胜敌军…
…泰晤士世界大学排名：《泰晤士报高等教育特刊》（以下简称《特刊》）公布的世界大学排名。
泰晤士世界大学排名参考五大指标，按不同比重评分，包括教学、研究、论文引用、国际化及企业创新资金投入…
狄德金，又译戴德金。
尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831.10.6-1916.2.12）：德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱。据《辞海》，戴德金还是哥廷根大学哲学博士、柏林科学院院士。
…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
人物生平：1831年10月6日，戴德金生于德国下萨克森州（位于德国西北部）东部城市不伦瑞克一知识分子家庭。父亲为法学教授，母亲亦（yì）出身于知识分子家庭。
…亦：也（表示同样）；也是：反之～然。人云～云…
戴德金早年在不伦瑞克大学预科学习化学和物理。
…预科：？？？…
“大家知道预科是什么意思吗？…很多想出国留学的同学应该知道预科的意思…但是大部分人还是不知道预科是什么意思…”网友说。
“预科一般指大学基础课程，也可以说是大学的学前预备教育…”网友接着说。
“想要出国留学的同学需要在海外读一年的预科来适应国外的生活以及学习方式…完成了一年的预科之后，再根据成绩好坏决定能否升入原先选择的院校…”网友继续说。
“成绩非常优异情况下，还可以转入比之前选的大学更好的大学进行学习…”网友最后说。
“1848年，戴德金进入卡罗莱纳学院学习力学、微积分、代数分析、解析几何和自然科学。
请看下集《欧几里得36、代、代数，析、分析，解、解析，解析几何（坐标几何）》”
欧几里得36、代、代数，析、分析，解、解析，解析几何（坐标几何）
1848年，戴德金进入卡罗莱纳学院学习力学、微积分、代数分析、解析几何和自然科学。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…
“1855年高斯去世后，戴德金在哥廷根大学又先后听过狄利克雷教授的数论、位势理论、定积分和偏微分方程，以及波恩哈德·黎曼教授的阿贝尔函数和椭圆函数等课程，进而萌生了借助算术性质来重新定义无理数的想法。
请看下集《欧几里得37、找不到工作的戴德金（数学家，哲学博士）留校任代课讲师》”
1848年，戴德金进入卡罗莱纳学院学习力学、微积分、代数分析、解析几何和自然科学。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…
“1855年高斯去世后，戴德金在哥廷根大学又先后听过狄利克雷教授的数论、位势理论、定积分和偏微分方程，以及波恩哈德·黎曼教授的阿贝尔函数和椭圆函数等课程，进而萌生了借助算术性质来重新定义无理数的想法。
请看下集《欧几里得37、找不到工作的戴德金（数学家，哲学博士）留校任代课讲师》”
欧几里得37、找不到工作的戴德金（数学家，哲学博士）留校任代课讲师
1850年，戴德金转入哥廷根大学新办的数学和物理学研习班，跟从数学家C.F.高斯研究最小二乘法和高等测量学，跟从斯特恩攻数论基础，跟从韦伯攻物理。戴德金还选修了天文学。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1852年，戴德金以题为《关于欧拉积分的理论》一论文获得哲学博士学位。
毕业后，找不到工作的戴德金于1854年留校任代课讲师。
1855年高斯去世后，戴德金在哥廷根大学又先后听过狄利克雷教授的数论、位势理论、定积分和偏微分方程，以及波恩哈德·黎曼教授的阿贝尔函数和椭圆函数等课程，进而萌生了借助算术性质来重新定义无理数的想法。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…质：见《欧几里得15》…
…性质：事物所具有的、区别于其他事物的特征…
…定、义：见《欧几里得28》…
…定义：1.对一种事物的本质特征或一个概念的内涵的确切而简要的说明。
2.下定义…
（…下定义：用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括的说明方法。见《欧几里得31》…）
…无、无理数：见《欧几里得27》…
1855年起，戴德金开始讲授伽（gā）罗瓦理论，成为教坛上最早涉足这一领域的学者。
1858－1862年，戴德金在苏黎世综合工业学院任教授。这段时间，他主要进行实数理论基础的研究。
…实：见《欧几里得7》…
…数：见《欧几里得15》…
…实数：是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…基：见《欧几里得1》…
…础：形声。从石，楚声。本义：柱脚石，垫在房屋柱子下的石头。
字义：1.垫在柱下的石礅（dūn）：～石。
2.事物的基底，根基：基～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…统：形声。从糸（mì），充声。本义：丝的头绪。
字义：1.总起来；总括：～称。
2.事物的连续关系：系～。传～。
3.统领；管辖：～兵。对下属部门不要～得过死。
4.呈筒状的衣物：长～靴。皮～子。
5.地层系统分类的第四级。对应于地质年代中的“世”…
…系统：意为若干相互联系的部分、形成的具有某些功能的整体…
…前、提、前提：见《欧几里得13》…
““你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
请看下集《欧几里得38、归、纳、归纳，归纳推理，白天鹅与按时发放的工资》”
1850年，戴德金转入哥廷根大学新办的数学和物理学研习班，跟从数学家C.F.高斯研究最小二乘法和高等测量学，跟从斯特恩攻数论基础，跟从韦伯攻物理。戴德金还选修了天文学。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1852年，戴德金以题为《关于欧拉积分的理论》一论文获得哲学博士学位。
毕业后，找不到工作的戴德金于1854年留校任代课讲师。
1855年高斯去世后，戴德金在哥廷根大学又先后听过狄利克雷教授的数论、位势理论、定积分和偏微分方程，以及波恩哈德·黎曼教授的阿贝尔函数和椭圆函数等课程，进而萌生了借助算术性质来重新定义无理数的想法。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…质：见《欧几里得15》…
…性质：事物所具有的、区别于其他事物的特征…
…定、义：见《欧几里得28》…
…定义：1.对一种事物的本质特征或一个概念的内涵的确切而简要的说明。
2.下定义…
（…下定义：用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括的说明方法。见《欧几里得31》…）
…无、无理数：见《欧几里得27》…
1855年起，戴德金开始讲授伽（gā）罗瓦理论，成为教坛上最早涉足这一领域的学者。
1858－1862年，戴德金在苏黎世综合工业学院任教授。这段时间，他主要进行实数理论基础的研究。
…实：见《欧几里得7》…
…数：见《欧几里得15》…
…实数：是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…基：见《欧几里得1》…
…础：形声。从石，楚声。本义：柱脚石，垫在房屋柱子下的石头。
字义：1.垫在柱下的石礅（dūn）：～石。
2.事物的基底，根基：基～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…统：形声。从糸（mì），充声。本义：丝的头绪。
字义：1.总起来；总括：～称。
2.事物的连续关系：系～。传～。
3.统领；管辖：～兵。对下属部门不要～得过死。
4.呈筒状的衣物：长～靴。皮～子。
5.地层系统分类的第四级。对应于地质年代中的“世”…
…系统：意为若干相互联系的部分、形成的具有某些功能的整体…
…前、提、前提：见《欧几里得13》…
““你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
请看下集《欧几里得38、归、纳、归纳，归纳推理，白天鹅与按时发放的工资》”
欧几里得38、归、纳、归纳，归纳推理，白天鹅与按时发放的工资
1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
请看下集《欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全》”
1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
请看下集《欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全》”
欧几里得38、归、纳、归纳，归纳推理，白天鹅与按时发放的工资
1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
请看下集《欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全》”
1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
请看下集《欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全》”
欧几里得38、归、纳、归纳，归纳推理，白天鹅与按时发放的工资
1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
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1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
请看下集《欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全》”
欧几里得38、归、纳、归纳，归纳推理，白天鹅与按时发放的工资
1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
“所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，”另一位中学生说。
…性：见《欧几里得10》…
…质：见《欧几里得15》…
…性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征…
“比如说你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’，”中学生接着说，“天鹅是一类事物，你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的一部分（是部分天鹅），你根据‘部分天鹅是白色的’这个事实推出结论：天鹅都是白色的。”
“这是归纳推理。”中学生最后说。
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
请看下集《欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全》”
1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
“所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，”另一位中学生说。
…性：见《欧几里得10》…
…质：见《欧几里得15》…
…性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征…
“比如说你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’，”中学生接着说，“天鹅是一类事物，你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的一部分（是部分天鹅），你根据‘部分天鹅是白色的’这个事实推出结论：天鹅都是白色的。”
“这是归纳推理。”中学生最后说。
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
请看下集《欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全》”
欧几里得38、归、纳、归纳，归纳推理，白天鹅与按时发放的工资
1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
…归：“归”字在甲骨文中就已出现。左部是图中那个形状，右部是“帚（zhǒu）”字（图1、2）。“妇”字甲骨文也可只作“帚”，是一把扫帚的形象。中国古代，不出嫁的女孩不出门，作为人妇后，自然担负起扫地的任务，因此把扫把作为妇人的象征。左部的形状（读duī），其字形像土堆（此说仍有争议），这一构件一般认为作声旁，指示这个字的读音。
此字始见于商代甲骨文及商代金文，本义一般认为是女子出嫁。由出嫁义引申为返回义，因为女子出嫁说明该女子有了归宿，所以进一步可引申指归宿。有往必有还，因而又引申出返回义。
字义：1.返回：～国华侨。无家可～。
2.还给；归还：物～原主。
3.趋向或集中于一个地方：殊途同～。千条河流～大海。把性质相同的问题～为一类。
4.由（谁负责）：一切杂事都～这一组管。
5.属于（谁所有）：功劳～大家。这些东西～你。
6.用在相同的动词之间，表示动作并未引起相应的结果：批评～批评，奖金一分也没少给…
…纳：形声。从糸（mì），内声。本义：丝被水浸湿。
字义：1.收进来；放进来：出～。闭门不～。
2.接受：～降。采～。
3.享受：～凉。
4.放进去：～入正轨。
5.交付（捐税、公粮等）：～税。～粮。
6.缝纫方法，在鞋底、袜底等上面密密地缝，使它结实耐磨：～鞋底子…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…归纳：1.归拢并使有条理（多用于抽象事物）：大家提的意见，～起来主要就是这三点。2.一种推理方法，由具体事实概括出一般原理（跟“演绎”相对）…
…归纳法一般指归纳推理…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…
归纳推理：由个别到一般的推理。
由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。
自然界和社会中的一般，都存在于个别、特殊之中，并通过个别而存在。一般都存在于具体的对象和现象之中，因此，只有通过认识个别，才能认识一般。
人们在解释一个较大事物时，从个别、特殊的事物总结、概括出各种各样的带有一般性的原理或原则，然后才可能从这些原理、原则出发，再得出关于个别事物的结论。
这种认识秩序贯穿于人们的解释活动中，不断从个别上升到一般，即从对个别事物的认识上升到对事物的一般规律性的认识。
举例：在一个平面内，直角三角形内角和是180°，锐角三角形内角和是180°，钝（dùn）角三角形内角和是180°。直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形，所以，平面内的一切三角形内角和都是180°。
…直角：90°的角（直角=90°）…
…锐角：大于0°小于90°的角（0°＜锐角＜90°）…
…钝角：大于90°小于180°的角（90°＜钝角＜180°）…
…直角三角形：1个角是直角的三角形…
…锐角三角形：3个内角都是锐角的三角形…
…钝角三角形：1个角是钝角的三角形…
“这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180°，这些个别性知识，推出了‘一切三角形内角和都是180°’这样的一般性结论。”中学生说，“这个例子就属于归纳推理。”
“所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，”另一位中学生说。
…性：见《欧几里得10》…
…质：见《欧几里得15》…
…性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征…
“比如说你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’，”中学生接着说，“天鹅是一类事物，你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的一部分（是部分天鹅），你根据‘部分天鹅是白色的’这个事实推出结论：天鹅都是白色的。”
“这是归纳推理。”中学生最后说。
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
请看下集《欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全》”
1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
…归：“归”字在甲骨文中就已出现。左部是图中那个形状，右部是“帚（zhǒu）”字（图1、2）。“妇”字甲骨文也可只作“帚”，是一把扫帚的形象。中国古代，不出嫁的女孩不出门，作为人妇后，自然担负起扫地的任务，因此把扫把作为妇人的象征。左部的形状（读duī），其字形像土堆（此说仍有争议），这一构件一般认为作声旁，指示这个字的读音。
此字始见于商代甲骨文及商代金文，本义一般认为是女子出嫁。由出嫁义引申为返回义，因为女子出嫁说明该女子有了归宿，所以进一步可引申指归宿。有往必有还，因而又引申出返回义。
字义：1.返回：～国华侨。无家可～。
2.还给；归还：物～原主。
3.趋向或集中于一个地方：殊途同～。千条河流～大海。把性质相同的问题～为一类。
4.由（谁负责）：一切杂事都～这一组管。
5.属于（谁所有）：功劳～大家。这些东西～你。
6.用在相同的动词之间，表示动作并未引起相应的结果：批评～批评，奖金一分也没少给…
…纳：形声。从糸（mì），内声。本义：丝被水浸湿。
字义：1.收进来；放进来：出～。闭门不～。
2.接受：～降。采～。
3.享受：～凉。
4.放进去：～入正轨。
5.交付（捐税、公粮等）：～税。～粮。
6.缝纫方法，在鞋底、袜底等上面密密地缝，使它结实耐磨：～鞋底子…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…归纳：1.归拢并使有条理（多用于抽象事物）：大家提的意见，～起来主要就是这三点。2.一种推理方法，由具体事实概括出一般原理（跟“演绎”相对）…
…归纳法一般指归纳推理…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…
归纳推理：由个别到一般的推理。
由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。
自然界和社会中的一般，都存在于个别、特殊之中，并通过个别而存在。一般都存在于具体的对象和现象之中，因此，只有通过认识个别，才能认识一般。
人们在解释一个较大事物时，从个别、特殊的事物总结、概括出各种各样的带有一般性的原理或原则，然后才可能从这些原理、原则出发，再得出关于个别事物的结论。
这种认识秩序贯穿于人们的解释活动中，不断从个别上升到一般，即从对个别事物的认识上升到对事物的一般规律性的认识。
举例：在一个平面内，直角三角形内角和是180°，锐角三角形内角和是180°，钝（dùn）角三角形内角和是180°。直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形，所以，平面内的一切三角形内角和都是180°。
…直角：90°的角（直角=90°）…
…锐角：大于0°小于90°的角（0°＜锐角＜90°）…
…钝角：大于90°小于180°的角（90°＜钝角＜180°）…
…直角三角形：1个角是直角的三角形…
…锐角三角形：3个内角都是锐角的三角形…
…钝角三角形：1个角是钝角的三角形…
“这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180°，这些个别性知识，推出了‘一切三角形内角和都是180°’这样的一般性结论。”中学生说，“这个例子就属于归纳推理。”
“所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，”另一位中学生说。
…性：见《欧几里得10》…
…质：见《欧几里得15》…
…性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征…
“比如说你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’，”中学生接着说，“天鹅是一类事物，你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的一部分（是部分天鹅），你根据‘部分天鹅是白色的’这个事实推出结论：天鹅都是白色的。”
“这是归纳推理。”中学生最后说。
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
请看下集《欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全》”
欧几里得38、归、纳、归纳，归纳推理，白天鹅与按时发放的工资
1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
…归：“归”字在甲骨文中就已出现。左部是图中那个形状，右部是“帚（zhǒu）”字（图1、2）。“妇”字甲骨文也可只作“帚”，是一把扫帚的形象。中国古代，不出嫁的女孩不出门，作为人妇后，自然担负起扫地的任务，因此把扫把作为妇人的象征。左部的形状（读duī），其字形像土堆（此说仍有争议），这一构件一般认为作声旁，指示这个字的读音。
此字始见于商代甲骨文及商代金文，本义一般认为是女子出嫁。由出嫁义引申为返回义，因为女子出嫁说明该女子有了归宿，所以进一步可引申指归宿。有往必有还，因而又引申出返回义。
字义：1.返回：～国华侨。无家可～。
2.还给；归还：物～原主。
3.趋向或集中于一个地方：殊途同～。千条河流～大海。把性质相同的问题～为一类。
4.由（谁负责）：一切杂事都～这一组管。
5.属于（谁所有）：功劳～大家。这些东西～你。
6.用在相同的动词之间，表示动作并未引起相应的结果：批评～批评，奖金一分也没少给…
…纳：形声。从糸（mì），内声。本义：丝被水浸湿。
字义：1.收进来；放进来：出～。闭门不～。
2.接受：～降。采～。
3.享受：～凉。
4.放进去：～入正轨。
5.交付（捐税、公粮等）：～税。～粮。
6.缝纫方法，在鞋底、袜底等上面密密地缝，使它结实耐磨：～鞋底子…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…归纳：1.归拢并使有条理（多用于抽象事物）：大家提的意见，～起来主要就是这三点。2.一种推理方法，由具体事实概括出一般原理（跟“演绎”相对）…
…归纳法一般指归纳推理…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…
归纳推理：由个别到一般的推理。
由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。
自然界和社会中的一般，都存在于个别、特殊之中，并通过个别而存在。一般都存在于具体的对象和现象之中，因此，只有通过认识个别，才能认识一般。
人们在解释一个较大事物时，从个别、特殊的事物总结、概括出各种各样的带有一般性的原理或原则，然后才可能从这些原理、原则出发，再得出关于个别事物的结论。
这种认识秩序贯穿于人们的解释活动中，不断从个别上升到一般，即从对个别事物的认识上升到对事物的一般规律性的认识。
举例：在一个平面内，直角三角形内角和是180°，锐角三角形内角和是180°，钝（dùn）角三角形内角和是180°。直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形，所以，平面内的一切三角形内角和都是180°。
…直角：90°的角（直角=90°）…
…锐角：大于0°小于90°的角（0°＜锐角＜90°）…
…钝角：大于90°小于180°的角（90°＜钝角＜180°）…
…直角三角形：1个角是直角的三角形…
…锐角三角形：3个内角都是锐角的三角形…
…钝角三角形：1个角是钝角的三角形…
“这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180°，这些个别性知识，推出了‘一切三角形内角和都是180°’这样的一般性结论。”中学生说，“这个例子就属于归纳推理。”
“所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，”另一位中学生说。
…性：见《欧几里得10》…
…质：见《欧几里得15》…
…性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征…
“比如说你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’，”中学生接着说，“天鹅是一类事物，你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的一部分（是部分天鹅），你根据‘部分天鹅是白色的’这个事实推出结论：天鹅都是白色的。”
“这是归纳推理。”中学生最后说。
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
请看下集《欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全》”
1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
…归：“归”字在甲骨文中就已出现。左部是图中那个形状，右部是“帚（zhǒu）”字（图1、2）。“妇”字甲骨文也可只作“帚”，是一把扫帚的形象。中国古代，不出嫁的女孩不出门，作为人妇后，自然担负起扫地的任务，因此把扫把作为妇人的象征。左部的形状（读duī），其字形像土堆（此说仍有争议），这一构件一般认为作声旁，指示这个字的读音。
此字始见于商代甲骨文及商代金文，本义一般认为是女子出嫁。由出嫁义引申为返回义，因为女子出嫁说明该女子有了归宿，所以进一步可引申指归宿。有往必有还，因而又引申出返回义。
字义：1.返回：～国华侨。无家可～。
2.还给；归还：物～原主。
3.趋向或集中于一个地方：殊途同～。千条河流～大海。把性质相同的问题～为一类。
4.由（谁负责）：一切杂事都～这一组管。
5.属于（谁所有）：功劳～大家。这些东西～你。
6.用在相同的动词之间，表示动作并未引起相应的结果：批评～批评，奖金一分也没少给…
…纳：形声。从糸（mì），内声。本义：丝被水浸湿。
字义：1.收进来；放进来：出～。闭门不～。
2.接受：～降。采～。
3.享受：～凉。
4.放进去：～入正轨。
5.交付（捐税、公粮等）：～税。～粮。
6.缝纫方法，在鞋底、袜底等上面密密地缝，使它结实耐磨：～鞋底子…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…归纳：1.归拢并使有条理（多用于抽象事物）：大家提的意见，～起来主要就是这三点。2.一种推理方法，由具体事实概括出一般原理（跟“演绎”相对）…
…归纳法一般指归纳推理…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…
归纳推理：由个别到一般的推理。
由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。
自然界和社会中的一般，都存在于个别、特殊之中，并通过个别而存在。一般都存在于具体的对象和现象之中，因此，只有通过认识个别，才能认识一般。
人们在解释一个较大事物时，从个别、特殊的事物总结、概括出各种各样的带有一般性的原理或原则，然后才可能从这些原理、原则出发，再得出关于个别事物的结论。
这种认识秩序贯穿于人们的解释活动中，不断从个别上升到一般，即从对个别事物的认识上升到对事物的一般规律性的认识。
举例：在一个平面内，直角三角形内角和是180°，锐角三角形内角和是180°，钝（dùn）角三角形内角和是180°。直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形，所以，平面内的一切三角形内角和都是180°。
…直角：90°的角（直角=90°）…
…锐角：大于0°小于90°的角（0°＜锐角＜90°）…
…钝角：大于90°小于180°的角（90°＜钝角＜180°）…
…直角三角形：1个角是直角的三角形…
…锐角三角形：3个内角都是锐角的三角形…
…钝角三角形：1个角是钝角的三角形…
“这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180°，这些个别性知识，推出了‘一切三角形内角和都是180°’这样的一般性结论。”中学生说，“这个例子就属于归纳推理。”
“所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，”另一位中学生说。
…性：见《欧几里得10》…
…质：见《欧几里得15》…
…性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征…
“比如说你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’，”中学生接着说，“天鹅是一类事物，你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的一部分（是部分天鹅），你根据‘部分天鹅是白色的’这个事实推出结论：天鹅都是白色的。”
“这是归纳推理。”中学生最后说。
“再比如说你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“工资是一类事物，你的工资是‘工资’这类事物的一部分，你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论：工资都是按时发的。”
“这也是归纳推理。”中学生继续说。
“当然，有的工资是不按时发的，”中学生最后说，“根据我的观察，大部分工资是不按时发的…”
““传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
请看下集《欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全》”
欧几里得39、考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全
“传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
…全：此字始见于战国文字。全的本义当与玉有关，指完好的、纯粹的玉，引申指完整，全体，整个的。
又引申为完好无缺、完备、齐全、保全和纯一、纯粹。
由完好义引申为病愈，后来写作“痊”。
由纯粹义引申，特指纯色玉。由完备、齐全义引申为副词义完全、都。
字义：1.完备；齐全：这部书不～。东西预备～了。棉花苗已出～。
2.保全；使完整不缺：两～其美。
3.整个：～神贯注。～家光荣。～书十五卷。
4.完全；都：～不是新的。不～是新的。他讲的话我～记下来了…
…完全：1.齐全；不缺少什么：话还没说～。四肢～。
2.全部；全然：～同意。他的病～好了…
“巢（cháo）居的发明，使先民摆脱了选择有限、进退不便的穴居困境，为生存赢得了空前广大的自由空间，使中国的史前文明跃进一大步；而最早缔（dì）枝为巢的部落首领，也由此被先民尊称为“帝”。
请看下集《欧几里得40、“不”与有巢氏，指事字，完全归纳推理与不完全归纳推理》”
0
“传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
…全：此字始见于战国文字。全的本义当与玉有关，指完好的、纯粹的玉，引申指完整，全体，整个的。
又引申为完好无缺、完备、齐全、保全和纯一、纯粹。
由完好义引申为病愈，后来写作“痊”。
由纯粹义引申，特指纯色玉。由完备、齐全义引申为副词义完全、都。
字义：1.完备；齐全：这部书不～。东西预备～了。棉花苗已出～。
2.保全；使完整不缺：两～其美。
3.整个：～神贯注。～家光荣。～书十五卷。
4.完全；都：～不是新的。不～是新的。他讲的话我～记下来了…
…完全：1.齐全；不缺少什么：话还没说～。四肢～。
2.全部；全然：～同意。他的病～好了…
“巢（cháo）居的发明，使先民摆脱了选择有限、进退不便的穴居困境，为生存赢得了空前广大的自由空间，使中国的史前文明跃进一大步；而最早缔（dì）枝为巢的部落首领，也由此被先民尊称为“帝”。
请看下集《欧几里得40、“不”与有巢氏，指事字，完全归纳推理与不完全归纳推理》”
0
欧几里得40、“不”与有巢氏，指事字，完全归纳推理与不完全归纳推理
“传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
…考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全：见《欧几里得39》…
…归、纳、归纳：见《欧几里得38》…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…归纳推理：见《欧几里得38》…
“完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，”中学生接着说，“比如38集（《欧几里得38》）说到的三角形。”
“在一个平面内，直角三角形内角和是180°，锐角三角形内角和是180°，钝（dùn）角三角形内角和是180°。直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形，所以，平面内的一切三角形内角和都是180°。”中学生继续说，“这个例子中，考察对象是‘三角形’，考察范围是‘全部’。考察了全部三角形后，归纳出‘一切三角形内角和都是180’的结论…”
“这是完全归纳推理。”中学生最后说。
“不完全归纳推理仅考察某类事物的部分对象，”中学生说，“比如38集（《欧几里得38》）说到的白天鹅和工资。”
“你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’，”中学生接着说，“这个例子中，考察对象是‘天鹅’，考察范围是‘你看到的天鹅’。考察了你看到的天鹅后，归纳出结论：天鹅都是白色的。”
“你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的部分对象，”中学生继续说，“这是不完全归纳推理。”
…
“你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“这个例子中，考察对象是‘工资’，考察范围是‘你的工资’。考察了你的工资后，归纳出结论：工资都是按时发的。”
“你的工资是‘工资’这类事物的部分对象，”中学生最后说，“这也是不完全归纳推理。”
“完全的词意是‘全部’，”另一位中学生说，“完全归纳推理，顾名思义，就是考察了（某类事物的）全部对象后，进行的归纳推理。”
“‘不’表示否定。‘不完全’，意思是‘不是全部’‘缺少部分内容的’，”中学生接着说，“不完全归纳推理，就是考察了（某类事物的）部分对象后，进行的归纳推理。”
“公理系统：公理和以公理为依据，用三段论等逻辑方法推出的定理、推论，共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）。
请看下集《欧几里得41、数学归纳推理，原、原理，公理体系，映象，结、构、结构》”
“传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。”中学生说。
…考、察、考察，对、对象，范、围、范围，完、全、完全：见《欧几里得39》…
…归、纳、归纳：见《欧几里得38》…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…归纳推理：见《欧几里得38》…
“完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，”中学生接着说，“比如38集（《欧几里得38》）说到的三角形。”
“在一个平面内，直角三角形内角和是180°，锐角三角形内角和是180°，钝（dùn）角三角形内角和是180°。直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形，所以，平面内的一切三角形内角和都是180°。”中学生继续说，“这个例子中，考察对象是‘三角形’，考察范围是‘全部’。考察了全部三角形后，归纳出‘一切三角形内角和都是180’的结论…”
“这是完全归纳推理。”中学生最后说。
“不完全归纳推理仅考察某类事物的部分对象，”中学生说，“比如38集（《欧几里得38》）说到的白天鹅和工资。”
“你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’，”中学生接着说，“这个例子中，考察对象是‘天鹅’，考察范围是‘你看到的天鹅’。考察了你看到的天鹅后，归纳出结论：天鹅都是白色的。”
“你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的部分对象，”中学生继续说，“这是不完全归纳推理。”
…
“你每月能按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’，”中学生说，“这个例子中，考察对象是‘工资’，考察范围是‘你的工资’。考察了你的工资后，归纳出结论：工资都是按时发的。”
“你的工资是‘工资’这类事物的部分对象，”中学生最后说，“这也是不完全归纳推理。”
“完全的词意是‘全部’，”另一位中学生说，“完全归纳推理，顾名思义，就是考察了（某类事物的）全部对象后，进行的归纳推理。”
“‘不’表示否定。‘不完全’，意思是‘不是全部’‘缺少部分内容的’，”中学生接着说，“不完全归纳推理，就是考察了（某类事物的）部分对象后，进行的归纳推理。”
“公理系统：公理和以公理为依据，用三段论等逻辑方法推出的定理、推论，共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）。
请看下集《欧几里得41、数学归纳推理，原、原理，公理体系，映象，结、构、结构》”
欧几里得41、数学归纳推理，原、原理，公理体系，映象，结、构、结构
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
…归、纳、归纳：见《欧几里得38》…
…法：见《欧几里得3》…
…归纳法一般指归纳推理…
…归纳推理：见《欧几里得38、39》…
…数学归纳法（数学归纳推理）：一种数学证明方法，通常被用于证明某个命题在整个（或局部）自然数范围内成立…
（…命题：见《欧几里得2》…）
…构：繁体字是“構”。“冓（gōu）”意为“碰头”，“木”指木材、木条，“木”与“冓”联合起来表示“木条的头部相互衔（xián）接”。本义（一个词的最初含义）：木工制作。
字义：1.构造；组合：～图。～词。
2.结成（用于抽象事物）：虚～。～怨…
（…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…）
…结构：1.建筑物承受重量和外力的部分及其构造。按材料分有钢结构、木结构、钢筋混凝土结构、砖石结构和混合结构等。按形式分有拱桁（háng）架、薄壳结构和悬索结构等。
2.构成整体的各个部分及其结合方式——经济～。文章～。
3.文艺作品的内部构造。即作品的各个部分（包括内容和形式）之间的联系…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
“结构理论：起源最早可追溯（sù）至20世纪初。当时西方有一部份学者对现代文化分工太细，只求局部、不讲整体的“原子论”倾向感到不满，他们渴望恢复自文艺复兴以来中断了的注重综合研究的人文科学传统，因此提出了“体系论”和“结构论”的思想，强调从大的系统方面（如文化的各个分支或文学的各种体裁）来研究它们的结构和规律性。
请看下集《欧几里得42、结构理论，追、溯、追溯，综、合、综合，研、究、研究，规、律》”
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
…系、统、系统：见《欧几里得37》…
…归、纳、归纳：见《欧几里得38》…
…法：见《欧几里得3》…
…归纳法一般指归纳推理…
…归纳推理：见《欧几里得38、39》…
…数学归纳法（数学归纳推理）：一种数学证明方法，通常被用于证明某个命题在整个（或局部）自然数范围内成立…
（…命题：见《欧几里得2》…）
…构：繁体字是“構”。“冓（gōu）”意为“碰头”，“木”指木材、木条，“木”与“冓”联合起来表示“木条的头部相互衔（xián）接”。本义（一个词的最初含义）：木工制作。
字义：1.构造；组合：～图。～词。
2.结成（用于抽象事物）：虚～。～怨…
（…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…）
…结构：1.建筑物承受重量和外力的部分及其构造。按材料分有钢结构、木结构、钢筋混凝土结构、砖石结构和混合结构等。按形式分有拱桁（háng）架、薄壳结构和悬索结构等。
2.构成整体的各个部分及其结合方式——经济～。文章～。
3.文艺作品的内部构造。即作品的各个部分（包括内容和形式）之间的联系…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
“结构理论：起源最早可追溯（sù）至20世纪初。当时西方有一部份学者对现代文化分工太细，只求局部、不讲整体的“原子论”倾向感到不满，他们渴望恢复自文艺复兴以来中断了的注重综合研究的人文科学传统，因此提出了“体系论”和“结构论”的思想，强调从大的系统方面（如文化的各个分支或文学的各种体裁）来研究它们的结构和规律性。
请看下集《欧几里得42、结构理论，追、溯、追溯，综、合、综合，研、究、研究，规、律》”
欧几里得42、结构理论，追、溯、追溯，综、合、综合，研、究、研究，规、律
…律：《说文解字》：“律，均布也。从彳、聿（yù）声。”小步行走的样子是彳的意思。所书之牍（dú）是聿的意思。彳、聿叠加。均布所书之牍让人遵从，是律的意思。
本义：法则，规章。如：纪律、法律、定律、规律、清规戒律、律师。
衍义：引申指“约束”。如：律己。
衍义：引申指“中国古代审定乐音高低的标准，把声音分为六律（阳律）和六品（阴律）。合称“十二律”。如：律吕（古代用竹管制成的校正乐律的器具，以管的长短来确定音的不同高度，从低音管算起，成奇数的六个管称“律”；成偶数的六个管称“吕”，后来“律吕”作为音律的统称）。
衍义：引申指“旧诗的一种体裁”。如：律诗。
字义：1.法律；规则：定～。规～。纪～。
2.我国古代审定乐音高低的标准，把乐音分为六律和六吕，合称十二律。
3.旧诗的一种体裁：五～。七～。排～。参看〖律诗〗。
4.约束：～己。～人。自～…
“它是客观的，既不能创造，也不能消灭；不管人们承认不承认，规律总是以其铁的必然性起着作用。规律=真理：这个世界任何物质都受规律约束。
请看下集《欧几里得43、规律，客观，必、然、必然，真、真理》”
…律：《说文解字》：“律，均布也。从彳、聿（yù）声。”小步行走的样子是彳的意思。所书之牍（dú）是聿的意思。彳、聿叠加。均布所书之牍让人遵从，是律的意思。
本义：法则，规章。如：纪律、法律、定律、规律、清规戒律、律师。
衍义：引申指“约束”。如：律己。
衍义：引申指“中国古代审定乐音高低的标准，把声音分为六律（阳律）和六品（阴律）。合称“十二律”。如：律吕（古代用竹管制成的校正乐律的器具，以管的长短来确定音的不同高度，从低音管算起，成奇数的六个管称“律”；成偶数的六个管称“吕”，后来“律吕”作为音律的统称）。
衍义：引申指“旧诗的一种体裁”。如：律诗。
字义：1.法律；规则：定～。规～。纪～。
2.我国古代审定乐音高低的标准，把乐音分为六律和六吕，合称十二律。
3.旧诗的一种体裁：五～。七～。排～。参看〖律诗〗。
4.约束：～己。～人。自～…
“它是客观的，既不能创造，也不能消灭；不管人们承认不承认，规律总是以其铁的必然性起着作用。规律=真理：这个世界任何物质都受规律约束。
请看下集《欧几里得43、规律，客观，必、然、必然，真、真理》”
欧几里得43、规律，客观，必、然、必然，真、真理
结构理论：起源最早可追溯（sù）至20世纪初。当时西方有一部份学者对现代文化分工太细，只求局部、不讲整体的“原子论”倾向感到不满，他们渴望恢复自文艺复兴以来中断了的注重综合研究的人文科学传统，因此提出了“体系论”和“结构论”的思想，强调从大的系统方面（如文化的各个分支或文学的各种体裁）来研究它们的结构和规律性。
…结、构、结构：见《欧几里得41》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…追、溯、追溯，综、合、综合，研、究：见《欧几里得42》…
研究：意思是主动寻求根本性原因与更高可靠性依据、为提高事业的可靠性和稳健性而做的工作。
“研”指审查、细磨；“究”指穷尽、追根求底。
英文“research”=“re”+“search”，也就是反反复复寻找的意思。
因此，“研究”指人对事物真相、性质、规律等进行的无穷尽的积极探索，由不知变为知，由知少变为知多。
“研究”简单地说，就是一个认真的提出问题，并以系统的方法寻找问题答案的过程。
字义：1.探求事物的真相、性质、规律等：～语言。学术～。调查～。
3.考虑或商讨（意见、问题）：今天的会议，准备～三个重要问题。这个方案领导正在～。
…性、质、性质：见《欧几里得37》…
…规、律：见《欧几里得42》…
规律：客观事物发展过程中的本质联系，具有普遍性的形式。规律和本质是同等程度的概念。
客观性规律
它是客观的，既不能创造，也不能消灭；不管人们承认不承认，规律总是以其铁的必然性起着作用。规律=真理：这个世界任何物质都受规律约束。
词义：1、自然界和社会诸现象之间必然、本质、稳定和反复出现的关系。
2、有节奏的；不是杂乱的。
3、事物之间的内在的必然联系，决定着事物发展的必然趋向。规律是客观的，不以人的意志为转移。
4、谓整齐而有规则。
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…客、观：见《欧几里得12》…
…客观：观察事物的本来面目而不加上个人意见。独立于意识或精神而存在。
词义：1.属性词。在意识之外，不依赖主观意识而存在的：～存在。～事物。～规律。
2.按照事物的本来面目去考察，不加个人偏见的：他看问题比较～…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…真：会意。小篆（zhuàn）字形，从华（huà），从目，从乚（yǐn），从八。《说文》：“仙人变形而登天也。”匕，变化。目，眼睛。乚，隐藏。八，乘载的工具。本义：道家称存养本性或修真得道的人为真人。
字义：1.真实（跟“假、伪”相对）：～心诚意。千～万确。去伪存～。这幅宋人的水墨画是～的。
2.的确；实在：时间过得～快！
3.人的肖像；事物的形象：写～。传～。
4.本性；本原：返璞（pú）归～…
（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…）
…真理：真理，是符合实际、永恒不变的、正确的道理，即客观事物及其规律。实践是检验真理的唯一标准…
“尽管戴德金的关于数学基本理论的许多重要思想在他生前并未被人们充分认识，但是，它们影响了现代数学的发展。
请看下集《欧几里得44、“戴德金分割”给出了无理数及连续性的纯算术定义》”
结构理论：起源最早可追溯（sù）至20世纪初。当时西方有一部份学者对现代文化分工太细，只求局部、不讲整体的“原子论”倾向感到不满，他们渴望恢复自文艺复兴以来中断了的注重综合研究的人文科学传统，因此提出了“体系论”和“结构论”的思想，强调从大的系统方面（如文化的各个分支或文学的各种体裁）来研究它们的结构和规律性。
…结、构、结构：见《欧几里得41》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…追、溯、追溯，综、合、综合，研、究：见《欧几里得42》…
研究：意思是主动寻求根本性原因与更高可靠性依据、为提高事业的可靠性和稳健性而做的工作。
“研”指审查、细磨；“究”指穷尽、追根求底。
英文“research”=“re”+“search”，也就是反反复复寻找的意思。
因此，“研究”指人对事物真相、性质、规律等进行的无穷尽的积极探索，由不知变为知，由知少变为知多。
“研究”简单地说，就是一个认真的提出问题，并以系统的方法寻找问题答案的过程。
字义：1.探求事物的真相、性质、规律等：～语言。学术～。调查～。
3.考虑或商讨（意见、问题）：今天的会议，准备～三个重要问题。这个方案领导正在～。
…性、质、性质：见《欧几里得37》…
…规、律：见《欧几里得42》…
规律：客观事物发展过程中的本质联系，具有普遍性的形式。规律和本质是同等程度的概念。
客观性规律
它是客观的，既不能创造，也不能消灭；不管人们承认不承认，规律总是以其铁的必然性起着作用。规律=真理：这个世界任何物质都受规律约束。
词义：1、自然界和社会诸现象之间必然、本质、稳定和反复出现的关系。
2、有节奏的；不是杂乱的。
3、事物之间的内在的必然联系，决定着事物发展的必然趋向。规律是客观的，不以人的意志为转移。
4、谓整齐而有规则。
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…客、观：见《欧几里得12》…
…客观：观察事物的本来面目而不加上个人意见。独立于意识或精神而存在。
词义：1.属性词。在意识之外，不依赖主观意识而存在的：～存在。～事物。～规律。
2.按照事物的本来面目去考察，不加个人偏见的：他看问题比较～…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…真：会意。小篆（zhuàn）字形，从华（huà），从目，从乚（yǐn），从八。《说文》：“仙人变形而登天也。”匕，变化。目，眼睛。乚，隐藏。八，乘载的工具。本义：道家称存养本性或修真得道的人为真人。
字义：1.真实（跟“假、伪”相对）：～心诚意。千～万确。去伪存～。这幅宋人的水墨画是～的。
2.的确；实在：时间过得～快！
3.人的肖像；事物的形象：写～。传～。
4.本性；本原：返璞（pú）归～…
（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…）
…真理：真理，是符合实际、永恒不变的、正确的道理，即客观事物及其规律。实践是检验真理的唯一标准…
“尽管戴德金的关于数学基本理论的许多重要思想在他生前并未被人们充分认识，但是，它们影响了现代数学的发展。
请看下集《欧几里得44、“戴德金分割”给出了无理数及连续性的纯算术定义》”
欧几里得44、“戴德金分割”给出了无理数及连续性的纯算术定义
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。现今数学上的许多命题和术语，如环、场、结构、截面、函数、定理、互换原理等，都是与他的名字联系在一起的。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
…算、术、算术，公、理、公理，系、统、系统，完、全、完全，归、纳、归纳，法、归纳法，原、原理，映、象、映象，结、构、结构，论、理论，结构理论，基、础、基础，代、数、代数，命题，定、定理：见《欧几里得1~43》…
戴德金于1916年2月12日在不伦瑞克去世。
…不伦瑞克：德国中北部城市…
尽管戴德金的关于数学基本理论的许多重要思想在他生前并未被人们充分认识，但是，它们影响了现代数学的发展。
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
戴德金在数学上有很多新发现，不少概念和定理以他的名字命名。他的主要贡献之一是：在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术定义。
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…实、数、实数：见《欧几里得37》…
…连：会意字。从辵（chuò），从车。车初文即像古车之形，现代简化作车，繁体“连”遂写作简体“连”。
最早见于金文，本义是指人力拉的车。后引申为联合，又由此引申出连续、连累、姻亲等义。也可作介词，相当于“从”，也可与“也”“都”连用，以表强调。
字义：1.连接：心～心。骨肉相～。天～水，水～天。藕断丝～。这两句话～不起来。
2.连续；接续：～演一个多月。～打几枪。
3.包括在内：～我三个人。～皮三十斤。～根拔。
4.军队的编制单位，隶属于营，下辖若干排。
5.表示强调某一词或某一词组（下文多有“也、都”等跟它呼应），含有“甚而至于”的意思：～爷爷都笑了。她臊（sào）得～脖子都红了。你怎么～他也不认识？～下棋也不会。～一天都没休息…
（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…会意字：用会意造字法造出的汉字…）
…续：形声。从糸（mì），卖（yù）声。本义：连接起来，接上。
字义：1.接连不断：继～。连～。陆～。
2.接在原有的后头：～编。～集。狗尾～貂。这条绳子太短，再～上一截儿吧。
3.添；加：壶里的水是刚～的。炉子该～煤…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…连续：1.一个接一个：～不断。～十年无事故。这个车间～创造了高产纪录。
2.在数学中，连续是函数的一种属性。直观上说，连续的函数，就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃、甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…连续性：当流体在密闭导管中作稳定流动，且无流体的增减或漏失时，则单位时间通过导管每一截面的流体质量均相等，此种现象称为流体流动的连续性…
函数的连续性是什么意思？——网友提问
2019-09-14，U爱浪的浪子回答：对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。简单地说，如果一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。
…无、无理数：见《欧几里得27》…
…纯：形声。从糸（mì）；屯（tún）声。从“糸”，表示与线丝有关。本义：蚕丝。
字义：1.纯净；不含杂质：～金。水质很～。
2.纯粹；单纯：～白。动机不～。
3.纯熟：功夫不～，还得练…
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…无理数的纯算术定义：？…
“欧多克斯曾给出无理数的几何定义（见《欧几里得28~30》）——欧多克斯曾从几何角度回答了‘无理数是什么’这个问题，”中学生说。
“这里，戴德金给出了无理数的算术定义，”中学生接着说，“戴德金用‘戴德金分割’，从算术角度，回答了‘无理数是什么’这个问题。”
““由于发明数学符号的人常用英语，所以他们用英文单词简洁的表达数学知识，”另一位中学生说，“我们作为汉藏语系的人，将来要是有出息了，可以发明一些汉语符号，简洁的表示自然科学中，新发现的知识、规律。”
请看下集《欧几里得45、元、素、元素，数学符号和语言的关系，人类对“简洁”的喜爱》”
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。现今数学上的许多命题和术语，如环、场、结构、截面、函数、定理、互换原理等，都是与他的名字联系在一起的。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35、36》…
…算、术、算术，公、理、公理，系、统、系统，完、全、完全，归、纳、归纳，法、归纳法，原、原理，映、象、映象，结、构、结构，论、理论，结构理论，基、础、基础，代、数、代数，命题，定、定理：见《欧几里得1~43》…
戴德金于1916年2月12日在不伦瑞克去世。
…不伦瑞克：德国中北部城市…
尽管戴德金的关于数学基本理论的许多重要思想在他生前并未被人们充分认识，但是，它们影响了现代数学的发展。
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
戴德金在数学上有很多新发现，不少概念和定理以他的名字命名。他的主要贡献之一是：在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术定义。
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…实、数、实数：见《欧几里得37》…
…连：会意字。从辵（chuò），从车。车初文即像古车之形，现代简化作车，繁体“连”遂写作简体“连”。
最早见于金文，本义是指人力拉的车。后引申为联合，又由此引申出连续、连累、姻亲等义。也可作介词，相当于“从”，也可与“也”“都”连用，以表强调。
字义：1.连接：心～心。骨肉相～。天～水，水～天。藕断丝～。这两句话～不起来。
2.连续；接续：～演一个多月。～打几枪。
3.包括在内：～我三个人。～皮三十斤。～根拔。
4.军队的编制单位，隶属于营，下辖若干排。
5.表示强调某一词或某一词组（下文多有“也、都”等跟它呼应），含有“甚而至于”的意思：～爷爷都笑了。她臊（sào）得～脖子都红了。你怎么～他也不认识？～下棋也不会。～一天都没休息…
（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…会意字：用会意造字法造出的汉字…）
…续：形声。从糸（mì），卖（yù）声。本义：连接起来，接上。
字义：1.接连不断：继～。连～。陆～。
2.接在原有的后头：～编。～集。狗尾～貂。这条绳子太短，再～上一截儿吧。
3.添；加：壶里的水是刚～的。炉子该～煤…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…连续：1.一个接一个：～不断。～十年无事故。这个车间～创造了高产纪录。
2.在数学中，连续是函数的一种属性。直观上说，连续的函数，就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃、甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…连续性：当流体在密闭导管中作稳定流动，且无流体的增减或漏失时，则单位时间通过导管每一截面的流体质量均相等，此种现象称为流体流动的连续性…
函数的连续性是什么意思？——网友提问
2019-09-14，U爱浪的浪子回答：对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。简单地说，如果一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。
…无、无理数：见《欧几里得27》…
…纯：形声。从糸（mì）；屯（tún）声。从“糸”，表示与线丝有关。本义：蚕丝。
字义：1.纯净；不含杂质：～金。水质很～。
2.纯粹；单纯：～白。动机不～。
3.纯熟：功夫不～，还得练…
…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…无理数的纯算术定义：？…
“欧多克斯曾给出无理数的几何定义（见《欧几里得28~30》）——欧多克斯曾从几何角度回答了‘无理数是什么’这个问题，”中学生说。
“这里，戴德金给出了无理数的算术定义，”中学生接着说，“戴德金用‘戴德金分割’，从算术角度，回答了‘无理数是什么’这个问题。”
““由于发明数学符号的人常用英语，所以他们用英文单词简洁的表达数学知识，”另一位中学生说，“我们作为汉藏语系的人，将来要是有出息了，可以发明一些汉语符号，简洁的表示自然科学中，新发现的知识、规律。”
请看下集《欧几里得45、元、素、元素，数学符号和语言的关系，人类对“简洁”的喜爱》”
欧几里得45、元、素、元素，数学符号和语言的关系，人类对“简洁”的喜爱
【戴德金分割】
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B。A中的每一个元素都小于B中的每一个元素。任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…
…集、合、集合：见《欧几里得31》…
“人类都在用阿拉伯数字，而不是自己语言中的数字，也是这个道理。”中学生接着说。
…
“人类喜欢简洁。”中学生最后说。
“A有一个最大元素a，这个‘最大元素a’，可以写作‘a（max）’，”第一位中学生说，“B没有最小元素…”
“就是说，集合A包含a（max）及所有小于a（max）的有理数，集合B包含所有大于a（max）的有理数，”中学生接着说，“例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。”
““这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’，”中学生说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数。”
请看下集《欧几里得46、戴德金分割》”
【戴德金分割】
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B。A中的每一个元素都小于B中的每一个元素。任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…
…集、合、集合：见《欧几里得31》…
“人类都在用阿拉伯数字，而不是自己语言中的数字，也是这个道理。”中学生接着说。
…
“人类喜欢简洁。”中学生最后说。
“A有一个最大元素a，这个‘最大元素a’，可以写作‘a（max）’，”第一位中学生说，“B没有最小元素…”
“就是说，集合A包含a（max）及所有小于a（max）的有理数，集合B包含所有大于a（max）的有理数，”中学生接着说，“例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。”
““这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’，”中学生说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数。”
请看下集《欧几里得46、戴德金分割》”
欧几里得46、戴德金分割
“平方等于2的数是分界点，”中学生说。
“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数，”中学生接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得34》中已做过详细叙述。”
…
“分割的第3种可能，可以简略的叙述为：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有＜√2的有理数，B是所有＞√2的有理数。”中学生最后说。
【戴德金分割】6
A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。显然，集合A和集合B合并起来（简称“A和B的并集”）是所有的有理数（因为平方等于2的数不是有理数）。
平方等于2的数不是有理数，但它又确确实实是一个数。
…
戴德金称第3种分割定义了一个无理数，或者简单的说，这个分割就是一个无理数。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…无、无理数：见《欧几里得27》…
前面2个分割是有理数。
这样，所有可能的分割（既有有理数，又有无理数）构成了数轴上的每一个点。
数轴上的点，统称实数。
“前提是实数和直线上的点有着一一对应关系。”戴德金说。
【戴德金分割】7
思考题：
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B， A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…
戴德金分割的第4种可能：A有最大元素a，B有最小元素b，例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
有没有这种可能？
思考题简略版：A有a（max），B有b（min），例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
有没有这种可能？
“这是不可能的。因为这样就会出现不存在于A、B两个集合中的有理数（例如上面例子中，1和1.1之间的有理数：1.01，1.001…），这与‘A和B的并集是所有有理数’矛盾。”中学生说。
【戴德金分割】8
“这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’，”中学生说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数。”
“这样的话，这个分割，既不是有理数，也不是无理数，”中学生接着说，“这种分割不是一个数。”
“这种分割是一个单纯的分割——比如，我们把1，2，3，4，5分成{1，2，3}、{4，5}两个集合，就是这样的分割。”中学生继续说。
“存在这样的分割吗？”中学生最后说，“其实，这样的分割是不存在的…”
“问题的关键点在于‘1.000…1’，”中学生说。
“‘1.000…1’是什么？”中学生接着说，“根据大前提，它是有理数——即‘比1稍大的有理数’。可有理数是能准确写出来的数（如整数、分数）。”
…前、提、前提：见《欧几里得13》…
“我们无法准确写出‘比1稍大的有理数’，”中学生继续说，“我们知道‘比1稍大的有理数’存在，但是却不能准确写出它。”
‘比1稍大的有理数’，其实是无理数。”中学生最后说。
“‘1.000…1’是一个无理数，那么，戴德金分割的第4种可能里，有理数的两个集合就变成：≤1的有理数和＞1的有理数。”中学生说。
“‘≤1的有理数和＞1的有理数’，这，其实是戴德金分割的第1种可能（见《欧几里得45》）。”中学生最后说。
“汇知园：我觉得这部分内容，包括上确界、下确界这些东西，初中生是完全可以理解的。
请看下集《欧几里得47、上确界、下确界这些东西，初中生是完全可以理解的》”
“平方等于2的数是分界点，”中学生说。
“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数，”中学生接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得34》中已做过详细叙述。”
…
“分割的第3种可能，可以简略的叙述为：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有＜√2的有理数，B是所有＞√2的有理数。”中学生最后说。
【戴德金分割】6
A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。显然，集合A和集合B合并起来（简称“A和B的并集”）是所有的有理数（因为平方等于2的数不是有理数）。
平方等于2的数不是有理数，但它又确确实实是一个数。
…
戴德金称第3种分割定义了一个无理数，或者简单的说，这个分割就是一个无理数。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…无、无理数：见《欧几里得27》…
前面2个分割是有理数。
这样，所有可能的分割（既有有理数，又有无理数）构成了数轴上的每一个点。
数轴上的点，统称实数。
“前提是实数和直线上的点有着一一对应关系。”戴德金说。
【戴德金分割】7
思考题：
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B， A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…
戴德金分割的第4种可能：A有最大元素a，B有最小元素b，例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
有没有这种可能？
思考题简略版：A有a（max），B有b（min），例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
有没有这种可能？
“这是不可能的。因为这样就会出现不存在于A、B两个集合中的有理数（例如上面例子中，1和1.1之间的有理数：1.01，1.001…），这与‘A和B的并集是所有有理数’矛盾。”中学生说。
【戴德金分割】8
“这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’，”中学生说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数。”
“这样的话，这个分割，既不是有理数，也不是无理数，”中学生接着说，“这种分割不是一个数。”
“这种分割是一个单纯的分割——比如，我们把1，2，3，4，5分成{1，2，3}、{4，5}两个集合，就是这样的分割。”中学生继续说。
“存在这样的分割吗？”中学生最后说，“其实，这样的分割是不存在的…”
“问题的关键点在于‘1.000…1’，”中学生说。
“‘1.000…1’是什么？”中学生接着说，“根据大前提，它是有理数——即‘比1稍大的有理数’。可有理数是能准确写出来的数（如整数、分数）。”
…前、提、前提：见《欧几里得13》…
“我们无法准确写出‘比1稍大的有理数’，”中学生继续说，“我们知道‘比1稍大的有理数’存在，但是却不能准确写出它。”
‘比1稍大的有理数’，其实是无理数。”中学生最后说。
“‘1.000…1’是一个无理数，那么，戴德金分割的第4种可能里，有理数的两个集合就变成：≤1的有理数和＞1的有理数。”中学生说。
“‘≤1的有理数和＞1的有理数’，这，其实是戴德金分割的第1种可能（见《欧几里得45》）。”中学生最后说。
“汇知园：我觉得这部分内容，包括上确界、下确界这些东西，初中生是完全可以理解的。
请看下集《欧几里得47、上确界、下确界这些东西，初中生是完全可以理解的》”
欧几里得47、上确界、下确界这些东西，初中生是完全可以理解的
对于戴德金分割，网友“汇知园”有自己的思考。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…
…戴德金分割：见《欧几里得45、46》…
…汇：1.河流会合——～为巨川。2.聚集——～总…
…知：知识…
…园：园子（种蔬菜、花果、树木的地方）…
…汇知园：聚集知识的园子…
界：从田、介声。阡（qiān）陌（mò）纵横之种禾之地是田的意思。人与人形体分别相背之际是介的意思。田、介叠加。田地范围分际区别线是界的意思。
本义：边境，一个区域的边限。如：界石（标志地界的石碑或石块）、界标、界址、界线（①两个地区分界的线；②不同事物的分界；③某些事物的边缘）、界限（①不同事物的分界；②尽头处，限度）、地界。
衍（yǎn）义：引申指“范围”。如：眼界、世界、自然界。
衍义：引申指“按职业或性别等所划的人群范围”。如：教育界、科学界、各界人士。
衍义：引申指“大自然中动物、植物、矿物等的最大的类别”。如：无机界、有机界。
字义：1.界限：地～。边～。省～。国～。山西和陕（shǎn）西以黄河为～。
2.一定的范围：眼～。
3.职业、工作或性别等相同的一些社会成员的总体：文艺～。科学～。妇女～。各～人士。
4.生物分类系统中的最高一级，如动物界、植物界、真菌界。界以下是门。
5.地层系统分类单位的第二级，界以上为宇，如显生宇分为古生界、中生界和新生界，界以下为系。跟界相应的地质年代分期叫做代。
…阡：形声。从阜（fù），从千，千亦声。“阜”指土堆、土埂（gěng）。“千”字从人、从一，本义为“人从一起步”。“阜”与“千”联合起来表示“南北方向的田埂”。本义：南北向的田埂。
字义：1.田地中间南北方向的小路：～陌。
2.通往坟墓的道路…
…陌：田间东西方向的道路，泛指田间小路。
字义：1、阡陌、陌上、陌头（路边）、陌路。
2、生疏、不熟悉：陌生。
〖例句〗我第一次从乡村来到大城市，这里的一切对于我来说都是陌生的…
…衍：见《欧几里得25》…
…
…上界：上面的界限；上面的范围…
““我选择n、m表示数字，不是因为我懒，而是因为——我看到n、m，就会想到number（数字）,”一位数学家说，“这叫‘直线思维’。”
…
“你永远无法理解直线思维的美。”数学家最后说。
请看下集《欧几里得48、不食人间烟火的数学家与直线思维的美》”
对于戴德金分割，网友“汇知园”有自己的思考。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…
…戴德金分割：见《欧几里得45、46》…
…汇：1.河流会合——～为巨川。2.聚集——～总…
…知：知识…
…园：园子（种蔬菜、花果、树木的地方）…
…汇知园：聚集知识的园子…
界：从田、介声。阡（qiān）陌（mò）纵横之种禾之地是田的意思。人与人形体分别相背之际是介的意思。田、介叠加。田地范围分际区别线是界的意思。
本义：边境，一个区域的边限。如：界石（标志地界的石碑或石块）、界标、界址、界线（①两个地区分界的线；②不同事物的分界；③某些事物的边缘）、界限（①不同事物的分界；②尽头处，限度）、地界。
衍（yǎn）义：引申指“范围”。如：眼界、世界、自然界。
衍义：引申指“按职业或性别等所划的人群范围”。如：教育界、科学界、各界人士。
衍义：引申指“大自然中动物、植物、矿物等的最大的类别”。如：无机界、有机界。
字义：1.界限：地～。边～。省～。国～。山西和陕（shǎn）西以黄河为～。
2.一定的范围：眼～。
3.职业、工作或性别等相同的一些社会成员的总体：文艺～。科学～。妇女～。各～人士。
4.生物分类系统中的最高一级，如动物界、植物界、真菌界。界以下是门。
5.地层系统分类单位的第二级，界以上为宇，如显生宇分为古生界、中生界和新生界，界以下为系。跟界相应的地质年代分期叫做代。
…阡：形声。从阜（fù），从千，千亦声。“阜”指土堆、土埂（gěng）。“千”字从人、从一，本义为“人从一起步”。“阜”与“千”联合起来表示“南北方向的田埂”。本义：南北向的田埂。
字义：1.田地中间南北方向的小路：～陌。
2.通往坟墓的道路…
…陌：田间东西方向的道路，泛指田间小路。
字义：1、阡陌、陌上、陌头（路边）、陌路。
2、生疏、不熟悉：陌生。
〖例句〗我第一次从乡村来到大城市，这里的一切对于我来说都是陌生的…
…衍：见《欧几里得25》…
…
…上界：上面的界限；上面的范围…
““我选择n、m表示数字，不是因为我懒，而是因为——我看到n、m，就会想到number（数字）,”一位数学家说，“这叫‘直线思维’。”
…
“你永远无法理解直线思维的美。”数学家最后说。
请看下集《欧几里得48、不食人间烟火的数学家与直线思维的美》”
欧几里得48、不食人间烟火的数学家与直线思维的美
数学上的“上界”是什么意思？——网友提问
“一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界。”网友陈健聪smile回答。
…集、合、集合：见《欧几里得31》…
…实、数、实数：见《欧几里得37》…
…smile（英语）：v.（动词）微笑；笑；微笑着说；微笑地表示；现出（笑容）
n.（名词）微笑；笑容…
…陈健聪：可能是网友的真名…
…陈健聪smile：陈健聪的微笑；微笑的陈健聪…
详细解释下陈健聪smile的回答：
一个实数集合M。
“‘一个实数集合M’，这是什么意思呢？”中学生说，“我们一点一点理解…”
“‘实数’的英语是real number，”中学生接着说，“‘real’意思是‘真实的；实际存在的’，‘number’意思是数字。”
…real：adj.（形容词）真实的；实际存在的；非凭空想象的；真的；正宗的；非假冒的；非人工的；真正的；确实的
adv.（副词）非常；很
n.实在；现实；实数…
…number：n.数字；数；数量；编号；序数；（电话、传真等的）号码
v.标号；给…编号；总计；共计；数以…计；把…算作；（被）归入…
…real number：n.实数…
“‘real number’合起来，意思是‘真实的数字，实际存在的数字’。”中学生最后说。
“‘集合M’，这又是什么意思？”中学生问。
“说起来，数学家非常懒：他们喜欢就地取材；他们从来不愿多想一下…”中学生说。
“在数学的历史中，人们需要用字母表示数字，”中学生接着说，“奇懒无比的数学家，便用number里的字母表示数字…”
“n和m，是他们最常用的，表示数字的字母…”中学生继续说。
[“我选择n、m表示数字，不是因为我懒，而是因为——我看到n、m，就会想到number（数字）,”一位数学家说，“这叫‘直线思维’。”
…
“你永远无法理解直线思维的美。”数学家最后说。]
“数学家用m表示数字。”中学生最后说。
“随着时代发展，人们需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’…”中学生说，“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家。”
“奇懒无比的的数学家，再次懒出天际…”中学生接着说，“他们用大写m（即M）表示‘数的集合’。”
“解决‘表示【数的集合】’需求时，数学家甚至不愿去找其它字母，”中学生继续说，“这只是‘多思考一下’的劳动量，不需要花费时间、精力、钱，但数学家们就是不愿意。”
“数学家们，真是懒死了。”中学生最后说。
一个实数S。
“这个没啥好解释的，一个实数S就是一个实数S，”中学生说。
（“这里，‘S’表示某个实数，”中学生说。）
M中任何数都不超过S。
“M是一个实数集合，例如{1，2，3，4，5}。”中学生说。
“M里的任何数都不能大于S，满足这个条件的S有很多…”中学生接着说，“我们还用刚才的例子说明。”
“对于{1，2，3，4，5}来说，S可以是5、6、7、8…”中学生继续说，“1，2，3，4，5这五个数，都没能大于5…”
“它们也没能大于6、没能大于7、没能大于8…”中学生最后说。
“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，5、6、7、8…都是符合条件的S，”中学生说，“称S是M的一个上界。”
“5是{1，2，3，4，5}的一个上界，6是{1，2，3，4，5}的一个上界，7是{1，2，3，4，5}的一个上界…等等。”中学生接着说。
“‘一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界’，现在你理解这句话了吧？”中学生问。
“如果还不理解…我以后会用更通俗的话…讲这个知识点。”中学生最后说。
“在所有这些上界中，如果有一个最小的上界，就称它为M的上确界。”网友陈健聪smile说。
…上、确、界：见《欧几里得47》…
…上界：上面的界限；上面的范围…
…上确界：（直译）上面确定的界限…
“陈健聪smile说的什么意思呢？我们继续用前面的例子说明…”中学生说。
“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，S可以是5、6、7、8…”中学生继续说，“在5、6、7、8…这些上界中，5是最小的上界。”
“5就是M的上确界。”中学生最后说。
“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个，”陈健聪smile说。
…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
“我们还是用前面的例子说明…”中学生说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集。”
“{1，2，3，4，5}这个集合的上界是：5，6，7，8…”中学生接着说，“就是说，{1，2，3，4，5}有无数个上界。”
“{1，2，3，4，5}虽然有无数个上界，但是它的上确界只有一个，就是5。”中学生继续说。
“‘一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个’，就是这个意思。”中学生最后说。
“理解了‘上确界’，便能理解‘下确界’。”中学生说。
“实数理论中，有一条叫‘确界原理’的公理。”陈健聪smile说。
…陈健聪smile：网友名字。见《欧几里得48》…
…实、数、实数：见《欧几里得37》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…确、界：见《欧几里得47》…
…原、理、原理：见《欧几里得41》…
确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
确界原理的另一种表达：有上界的非空数集必存在上确界；有下界的非空数集必存在下确界。
…数集：数的集合…
（…集、合、集合：见《欧几里得31》…）
…空集：空的集合（不含任何元素的集合）…
…非空集合：至少含有一个元素的集合…
…非空数集：至少含有一个数的数集…
…
…公、公理：见《欧几里得1、2》…
“汇知园：虽然是放在大学部分，其实其内容非常容易理解。只是大学很多教材写的不是很清楚。
（大学教材）基本都是用希腊字母做证明，而没有图示。这种确界，其实都是集合理论，而集合理论，小学生都是可以理解的。
请看下集《欧几里得49、集合理论，小学生都是可以理解的》”
数学上的“上界”是什么意思？——网友提问
“一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界。”网友陈健聪smile回答。
…集、合、集合：见《欧几里得31》…
…实、数、实数：见《欧几里得37》…
…smile（英语）：v.（动词）微笑；笑；微笑着说；微笑地表示；现出（笑容）
n.（名词）微笑；笑容…
…陈健聪：可能是网友的真名…
…陈健聪smile：陈健聪的微笑；微笑的陈健聪…
详细解释下陈健聪smile的回答：
一个实数集合M。
“‘一个实数集合M’，这是什么意思呢？”中学生说，“我们一点一点理解…”
“‘实数’的英语是real number，”中学生接着说，“‘real’意思是‘真实的；实际存在的’，‘number’意思是数字。”
…real：adj.（形容词）真实的；实际存在的；非凭空想象的；真的；正宗的；非假冒的；非人工的；真正的；确实的
adv.（副词）非常；很
n.实在；现实；实数…
…number：n.数字；数；数量；编号；序数；（电话、传真等的）号码
v.标号；给…编号；总计；共计；数以…计；把…算作；（被）归入…
…real number：n.实数…
“‘real number’合起来，意思是‘真实的数字，实际存在的数字’。”中学生最后说。
“‘集合M’，这又是什么意思？”中学生问。
“说起来，数学家非常懒：他们喜欢就地取材；他们从来不愿多想一下…”中学生说。
“在数学的历史中，人们需要用字母表示数字，”中学生接着说，“奇懒无比的数学家，便用number里的字母表示数字…”
“n和m，是他们最常用的，表示数字的字母…”中学生继续说。
[“我选择n、m表示数字，不是因为我懒，而是因为——我看到n、m，就会想到number（数字）,”一位数学家说，“这叫‘直线思维’。”
…
“你永远无法理解直线思维的美。”数学家最后说。]
“数学家用m表示数字。”中学生最后说。
“随着时代发展，人们需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’…”中学生说，“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家。”
“奇懒无比的的数学家，再次懒出天际…”中学生接着说，“他们用大写m（即M）表示‘数的集合’。”
“解决‘表示【数的集合】’需求时，数学家甚至不愿去找其它字母，”中学生继续说，“这只是‘多思考一下’的劳动量，不需要花费时间、精力、钱，但数学家们就是不愿意。”
“数学家们，真是懒死了。”中学生最后说。
一个实数S。
“这个没啥好解释的，一个实数S就是一个实数S，”中学生说。
（“这里，‘S’表示某个实数，”中学生说。）
M中任何数都不超过S。
“M是一个实数集合，例如{1，2，3，4，5}。”中学生说。
“M里的任何数都不能大于S，满足这个条件的S有很多…”中学生接着说，“我们还用刚才的例子说明。”
“对于{1，2，3，4，5}来说，S可以是5、6、7、8…”中学生继续说，“1，2，3，4，5这五个数，都没能大于5…”
“它们也没能大于6、没能大于7、没能大于8…”中学生最后说。
“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，5、6、7、8…都是符合条件的S，”中学生说，“称S是M的一个上界。”
“5是{1，2，3，4，5}的一个上界，6是{1，2，3，4，5}的一个上界，7是{1，2，3，4，5}的一个上界…等等。”中学生接着说。
“‘一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界’，现在你理解这句话了吧？”中学生问。
“如果还不理解…我以后会用更通俗的话…讲这个知识点。”中学生最后说。
“在所有这些上界中，如果有一个最小的上界，就称它为M的上确界。”网友陈健聪smile说。
…上、确、界：见《欧几里得47》…
…上界：上面的界限；上面的范围…
…上确界：（直译）上面确定的界限…
“陈健聪smile说的什么意思呢？我们继续用前面的例子说明…”中学生说。
“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，S可以是5、6、7、8…”中学生继续说，“在5、6、7、8…这些上界中，5是最小的上界。”
“5就是M的上确界。”中学生最后说。
“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个，”陈健聪smile说。
…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
“我们还是用前面的例子说明…”中学生说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集。”
“{1，2，3，4，5}这个集合的上界是：5，6，7，8…”中学生接着说，“就是说，{1，2，3，4，5}有无数个上界。”
“{1，2，3，4，5}虽然有无数个上界，但是它的上确界只有一个，就是5。”中学生继续说。
“‘一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个’，就是这个意思。”中学生最后说。
“理解了‘上确界’，便能理解‘下确界’。”中学生说。
“实数理论中，有一条叫‘确界原理’的公理。”陈健聪smile说。
…陈健聪smile：网友名字。见《欧几里得48》…
…实、数、实数：见《欧几里得37》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…确、界：见《欧几里得47》…
…原、理、原理：见《欧几里得41》…
确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
确界原理的另一种表达：有上界的非空数集必存在上确界；有下界的非空数集必存在下确界。
…数集：数的集合…
（…集、合、集合：见《欧几里得31》…）
…空集：空的集合（不含任何元素的集合）…
…非空集合：至少含有一个元素的集合…
…非空数集：至少含有一个数的数集…
…
…公、公理：见《欧几里得1、2》…
“汇知园：虽然是放在大学部分，其实其内容非常容易理解。只是大学很多教材写的不是很清楚。
（大学教材）基本都是用希腊字母做证明，而没有图示。这种确界，其实都是集合理论，而集合理论，小学生都是可以理解的。
请看下集《欧几里得49、集合理论，小学生都是可以理解的》”
欧几里得49、集合理论，小学生都是可以理解的
对于戴德金分割，网友“汇知园”有自己的思考。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…
…戴德金分割：见《欧几里得45、46》…
…汇、知、园、汇知园：见《欧几里得47》…
数学分析的主要内容是微积分，微积分的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。
微积分学是微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus）的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。
…differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差
adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的…
…calculus：n.微积分…
…differential Calculus：n.微分学…
…integral：adj.必需的；不可或缺的；作为组成部分的；完整的；完备的
n.整体；积分…
…Integral Calculus：积分学…
后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis），或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。
…Analysis：n.（对事物的）分析，分析结果；（对物质的）分析…
早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题。但是，由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，微积分在很长的一段时间内得不到发展。有很多数学家对这个理论持怀疑态度。
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为微积分理论基础的极限理论，摆脱了“要多小有多小”“无限趋向”等模糊性的描述。柯西和魏尔斯特拉斯使用精确的数学语言描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科。
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
微积分被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”。
…mathematics：n.数学；运算；计算…
…Mathematical Analysis：数学分析；数学解析…
（…解析：拆解分析…）
“函数：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f（x）来表示。其中x叫做自变量，y叫做因变量。
请看下集《欧几里得50、函、数、函数，观、点》”
对于戴德金分割，网友“汇知园”有自己的思考。
…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…
…戴德金分割：见《欧几里得45、46》…
…汇、知、园、汇知园：见《欧几里得47》…
数学分析的主要内容是微积分，微积分的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。
微积分学是微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus）的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。
…differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差
adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的…
…calculus：n.微积分…
…differential Calculus：n.微分学…
…integral：adj.必需的；不可或缺的；作为组成部分的；完整的；完备的
n.整体；积分…
…Integral Calculus：积分学…
后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis），或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。
…Analysis：n.（对事物的）分析，分析结果；（对物质的）分析…
早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题。但是，由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，微积分在很长的一段时间内得不到发展。有很多数学家对这个理论持怀疑态度。
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为微积分理论基础的极限理论，摆脱了“要多小有多小”“无限趋向”等模糊性的描述。柯西和魏尔斯特拉斯使用精确的数学语言描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科。
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
微积分被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”。
…mathematics：n.数学；运算；计算…
…Mathematical Analysis：数学分析；数学解析…
（…解析：拆解分析…）
“函数：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f（x）来表示。其中x叫做自变量，y叫做因变量。
请看下集《欧几里得50、函、数、函数，观、点》”
欧几里得50、函、数、函数，观、点
实数最重要的特征是连续性。有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系（即微积分理论体系）。
…实、数、实数：见《欧几里得37》…
…特、征、特征：见《欧几里得32》…
…连、续、连续、连续性：见《欧几里得44》…
…点：会意兼形声字。繁体和篆（zhuàn）文“点”（图A）字由“黑”和“占”（图A2）构成。“黑”作意符，“占”字表示占ト用的龟甲兽骨上有文字，整个字的意思是东西上有像字那么大的黑东西，由此产生黑点的含义。“点”字以小篆的形体为基文发展成隶书（图B）和楷书（图C）的“点”。现在，又根据宋元俗字以“局部删除”法把“点（繁体）”字简化为的简体“点”字（图D）。
字义：1.液体的小滴：雨～儿。
2.小的痕迹：墨～儿。斑～。
3.汉字的笔画，形状是“、”。
4.几何学上指没有大小（即没有长、宽、高）而只有位置，不可分割的图形。如两直线的相交处、线段的两端都是点。
5.小数点，如432.5读作四三二点儿五或四百三十二点儿五。
6.表示少量：一～儿小事。吃～儿东西再走。
7.用于事项：两～意见。
8.一定的地点或程度的标志：起～。终～。冰～。沸～。据～。先突破一～。
9.事物的方面或部分：优～。重～。特～。
10.旧时夜间计时用更点，一更分五点：五更三～。
11.时间单位，一昼夜的二十四分之一。
12.规定的钟点：误～。到～了。
13.点心：茶～。早～。糕～…
（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…形声字：用形声造字法造出来的字…）
“观点：从一定的立场或角度出发，对事物或问题所持的看法。
请看下集《欧几里得51、观点，看、法、看法，想、想法，认、识、认识》”
实数最重要的特征是连续性。有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系（即微积分理论体系）。
…实、数、实数：见《欧几里得37》…
…特、征、特征：见《欧几里得32》…
…连、续、连续、连续性：见《欧几里得44》…
…点：会意兼形声字。繁体和篆（zhuàn）文“点”（图A）字由“黑”和“占”（图A2）构成。“黑”作意符，“占”字表示占ト用的龟甲兽骨上有文字，整个字的意思是东西上有像字那么大的黑东西，由此产生黑点的含义。“点”字以小篆的形体为基文发展成隶书（图B）和楷书（图C）的“点”。现在，又根据宋元俗字以“局部删除”法把“点（繁体）”字简化为的简体“点”字（图D）。
字义：1.液体的小滴：雨～儿。
2.小的痕迹：墨～儿。斑～。
3.汉字的笔画，形状是“、”。
4.几何学上指没有大小（即没有长、宽、高）而只有位置，不可分割的图形。如两直线的相交处、线段的两端都是点。
5.小数点，如432.5读作四三二点儿五或四百三十二点儿五。
6.表示少量：一～儿小事。吃～儿东西再走。
7.用于事项：两～意见。
8.一定的地点或程度的标志：起～。终～。冰～。沸～。据～。先突破一～。
9.事物的方面或部分：优～。重～。特～。
10.旧时夜间计时用更点，一更分五点：五更三～。
11.时间单位，一昼夜的二十四分之一。
12.规定的钟点：误～。到～了。
13.点心：茶～。早～。糕～…
（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…形声字：用形声造字法造出来的字…）
“观点：从一定的立场或角度出发，对事物或问题所持的看法。
请看下集《欧几里得51、观点，看、法、看法，想、想法，认、识、认识》”
欧几里得51、观点，看、法、看法，想、想法，认、识、认识
…观、点：见《欧几里得50》…
观点：从一定的立场或角度出发，对事物或问题所持的看法。
…立场：观察事物时所处的位置…
…看：会意。小篆（zhuàn）字形，上面是“手”字的变形，下面是“目”，意思是用手遮住眼睛远望。本义：用手加额遮目而远望。
本义：用手加额遮目而远望。
引申义：估量。
字义：[kàn]
1.使视线接触人或物：～书。～电影。～了他一眼。
2.观察并加以判断：我～他是个可靠的人。你～这个办法好不好。
3.访问：～望。～朋友。
4.对待：～待。另眼相～。别拿我当外人～。
5.诊治：王大夫把我的病～好了。
6.照料：照～。
7.用在表示动作或变化的词或词组前面，表示预见到某种变化趋势，或者提醒对方注意可能发生或将要发生的某种不好的事情或情况：行情～涨。别跑！～摔着。～饭快凉了，快吃吧。
8.用在动词或动词结构后面，表示试一试（前面的动词常用重叠式）：想想～。找找～。等一等～。评评理～。先做几天～。
[kān]
1.守护照料：～门。～自行车。一个工人可以～好几台机器。
2.看押；监视：～犯人。～俘虏…
（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
“‘观’是近看，‘看’是远望。”中学生说。）
…法：见《欧几里得3》…
看法（百度百科）：对人或事的想法。
…认：从讠（yán）、人声。讠、人叠加，听其言观其人是认的意思。本义：分辨、识别。如：认得、辨认。 衍（yǎn）义：表示同意、接受。如：认可、认帐。
字义：1.认识；分辨：～字。～清是非。自己的东西，自己来～。
2.跟本来没有关系的人建立某种关系：～了一门亲。～老师。
3.表示同意；承认：公～。否～。～可。～输。～错儿。
4.认吃亏（后面要带“了”）：你不用管，这事我～了…
（…衍：见《欧几里得25》…）
…识：见《欧几里得5》…
…认识：1.能够确定某一人或事物是这个人或事物而不是别的：我～他。他不～这种草药。
2.指人的头脑对客观世界的反映：感性～。理性～…
“讹（é）变：指在汉字发展过程中，由于字体的变迁、传抄的错误等原因产生了一些错别字，后人继续袭用这些错别字，以讹传讹、习非成是，由此错别字就逐渐取代了原来的字体的一种现象。
请看下集《欧几里得52、函数，讹、讹变，映、射、映射》”
…观、点：见《欧几里得50》…
观点：从一定的立场或角度出发，对事物或问题所持的看法。
…立场：观察事物时所处的位置…
…看：会意。小篆（zhuàn）字形，上面是“手”字的变形，下面是“目”，意思是用手遮住眼睛远望。本义：用手加额遮目而远望。
本义：用手加额遮目而远望。
引申义：估量。
字义：[kàn]
1.使视线接触人或物：～书。～电影。～了他一眼。
2.观察并加以判断：我～他是个可靠的人。你～这个办法好不好。
3.访问：～望。～朋友。
4.对待：～待。另眼相～。别拿我当外人～。
5.诊治：王大夫把我的病～好了。
6.照料：照～。
7.用在表示动作或变化的词或词组前面，表示预见到某种变化趋势，或者提醒对方注意可能发生或将要发生的某种不好的事情或情况：行情～涨。别跑！～摔着。～饭快凉了，快吃吧。
8.用在动词或动词结构后面，表示试一试（前面的动词常用重叠式）：想想～。找找～。等一等～。评评理～。先做几天～。
[kān]
1.守护照料：～门。～自行车。一个工人可以～好几台机器。
2.看押；监视：～犯人。～俘虏…
（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
“‘观’是近看，‘看’是远望。”中学生说。）
…法：见《欧几里得3》…
看法（百度百科）：对人或事的想法。
…认：从讠（yán）、人声。讠、人叠加，听其言观其人是认的意思。本义：分辨、识别。如：认得、辨认。 衍（yǎn）义：表示同意、接受。如：认可、认帐。
字义：1.认识；分辨：～字。～清是非。自己的东西，自己来～。
2.跟本来没有关系的人建立某种关系：～了一门亲。～老师。
3.表示同意；承认：公～。否～。～可。～输。～错儿。
4.认吃亏（后面要带“了”）：你不用管，这事我～了…
（…衍：见《欧几里得25》…）
…识：见《欧几里得5》…
…认识：1.能够确定某一人或事物是这个人或事物而不是别的：我～他。他不～这种草药。
2.指人的头脑对客观世界的反映：感性～。理性～…
“讹（é）变：指在汉字发展过程中，由于字体的变迁、传抄的错误等原因产生了一些错别字，后人继续袭用这些错别字，以讹传讹、习非成是，由此错别字就逐渐取代了原来的字体的一种现象。
请看下集《欧几里得52、函数，讹、讹变，映、射、映射》”
欧几里得52、函数，讹、讹变，映、射、映射
…函、数：见《欧几里得50》…
函数：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f（x）来表示。其中x叫做自变量，y叫做因变量。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同。传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
…概、念、概念：见《欧几里得21~23》…
…观、点、观点：见《欧几里得50、51》…
…集、合、集合：见《欧几里得31》…
…映：见《欧几里得22》…
…数集：数的集合…
…特、征、特征：见《欧几里得32》…
““普通人看不懂希腊字母，所以看不懂大学教材，”中学生说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母，他们就能读懂大学教材，哪怕他们只有小学文化水平。”
请看下集《欧几里得53、从本质上说，小学生都能理解大学教材》”
…函、数：见《欧几里得50》…
函数：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f（x）来表示。其中x叫做自变量，y叫做因变量。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同。传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
…概、念、概念：见《欧几里得21~23》…
…观、点、观点：见《欧几里得50、51》…
…集、合、集合：见《欧几里得31》…
…映：见《欧几里得22》…
…数集：数的集合…
…特、征、特征：见《欧几里得32》…
““普通人看不懂希腊字母，所以看不懂大学教材，”中学生说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母，他们就能读懂大学教材，哪怕他们只有小学文化水平。”
请看下集《欧几里得53、从本质上说，小学生都能理解大学教材》”
欧几里得53、从本质上说，小学生都能理解大学教材
实数最重要的特征是连续性。有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系（即微积分理论体系）。
…实、数、实数：见《欧几里得37》…
…特、征、特征：见《欧几里得32》…
…连、续、连续，性，连续性：见《欧几里得44》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…合：见《欧几里得31》…
…法：见《欧几里得3》…
…合法：符合法律规定…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
合法性：在英文中，合法性（Legitimacy）是一个词，而在中文中，其主要部分由“合”与“法”组成，单从字面意思讲，中文的合法性暗含的意思是“对某一个‘法’的符合程度”，所以许多中国人在讨论这个词时常会先提出一个疑问：“‘合法性’中的‘法’是指哪个特指某一个“法律”或“法规”。
中文“合法”（对应于英文中的Legal）一词被用来描述某件事物没有触犯法律。
…legitimacy：n.（名词）合法性；正统；正统性；嫡（dí）系…
…legal：adj.（形容词）与法律有关的；法律的；法律允许的；合法的；法律要求的…
…
““即便我们有大学文化，但在日常生活中，我们更像小学生，”另一位中学生说，“日常生活中，我们只做10以内的加减运算，只看一下就能看懂的电影，只说大白话…”
请看下集《欧几里得54、人的懒惰天性与大学教育的真相》”
实数最重要的特征是连续性。有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系（即微积分理论体系）。
…实、数、实数：见《欧几里得37》…
…特、征、特征：见《欧几里得32》…
…连、续、连续，性，连续性：见《欧几里得44》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…合：见《欧几里得31》…
…法：见《欧几里得3》…
…合法：符合法律规定…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
合法性：在英文中，合法性（Legitimacy）是一个词，而在中文中，其主要部分由“合”与“法”组成，单从字面意思讲，中文的合法性暗含的意思是“对某一个‘法’的符合程度”，所以许多中国人在讨论这个词时常会先提出一个疑问：“‘合法性’中的‘法’是指哪个特指某一个“法律”或“法规”。
中文“合法”（对应于英文中的Legal）一词被用来描述某件事物没有触犯法律。
…legitimacy：n.（名词）合法性；正统；正统性；嫡（dí）系…
…legal：adj.（形容词）与法律有关的；法律的；法律允许的；合法的；法律要求的…
…
““即便我们有大学文化，但在日常生活中，我们更像小学生，”另一位中学生说，“日常生活中，我们只做10以内的加减运算，只看一下就能看懂的电影，只说大白话…”
请看下集《欧几里得54、人的懒惰天性与大学教育的真相》”
欧几里得54、人的懒惰天性与大学教育的真相
“普通人看不懂希腊字母，所以看不懂大学教材，”中学生说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母，他们就能读懂大学教材，哪怕他们只有小学文化水平。”
…才：商代甲骨文作字形1，西周金文作字形4，均像草木自“一”（象征地面）钻出之形。甲骨文上面一横表示土地，下面像草木的茎（嫩芽）刚刚出土而枝叶尚未出土的样子。为便于锲（qiè）刻，甲骨文将其轮廓化，写作字形2、字形3。其中字形3的写法在先秦文字中最为常见，逐渐演变为后世的楷书。
才，草木初生的样子。由“丨”向上面贯穿“一”，表示草木发芽抽苗将生枝叶；“一”，表示地面。
“才”，本义指草木初生。《说文（说文解字）》：“才，草木之初也。”引申指才质。
又指才能。汉·王充《论衡·实知》：“人才有高下，知物由学，学之乃知，不问不识。”
又指有才能的人。《礼记·文王世子》：“必取贤敛（liǎn）才焉（yān）。”
从本义引申，又指刚刚（表示时间）。
又指仅仅（表示程度）。
字义：1.才能：德～兼备。多～多艺。这人很有～。
2.有才能的人：干～。奇～。
3.表示以前不久：你怎么～来就要走？
4.表示事情发生得晚或结束得晚：他说星期三动身，到星期五～走。大风到晚上～住了。
5.表示只有在某种条件下然后怎样（前面常常用“只有、必须”或含有这类意思）：只有依靠群众，～能把工作做好。
6.表示发生新情况，本来并不如此：经他解释之后，我～明白是怎么回事。
7.表示数量小，次数少，能力差，程度低等等：这个工厂开办时～几十个工人。别人一天干的活儿他三天～干完。
8.表示强调所说的事（句尾常用“呢”字）：麦子长得～好呢。我～不信呢！…
“2018-12-30，187*****301：天才就是像我这样的人
请看下集《欧几里得55、天才是什么？》”
“普通人看不懂希腊字母，所以看不懂大学教材，”中学生说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母，他们就能读懂大学教材，哪怕他们只有小学文化水平。”
…才：商代甲骨文作字形1，西周金文作字形4，均像草木自“一”（象征地面）钻出之形。甲骨文上面一横表示土地，下面像草木的茎（嫩芽）刚刚出土而枝叶尚未出土的样子。为便于锲（qiè）刻，甲骨文将其轮廓化，写作字形2、字形3。其中字形3的写法在先秦文字中最为常见，逐渐演变为后世的楷书。
才，草木初生的样子。由“丨”向上面贯穿“一”，表示草木发芽抽苗将生枝叶；“一”，表示地面。
“才”，本义指草木初生。《说文（说文解字）》：“才，草木之初也。”引申指才质。
又指才能。汉·王充《论衡·实知》：“人才有高下，知物由学，学之乃知，不问不识。”
又指有才能的人。《礼记·文王世子》：“必取贤敛（liǎn）才焉（yān）。”
从本义引申，又指刚刚（表示时间）。
又指仅仅（表示程度）。
字义：1.才能：德～兼备。多～多艺。这人很有～。
2.有才能的人：干～。奇～。
3.表示以前不久：你怎么～来就要走？
4.表示事情发生得晚或结束得晚：他说星期三动身，到星期五～走。大风到晚上～住了。
5.表示只有在某种条件下然后怎样（前面常常用“只有、必须”或含有这类意思）：只有依靠群众，～能把工作做好。
6.表示发生新情况，本来并不如此：经他解释之后，我～明白是怎么回事。
7.表示数量小，次数少，能力差，程度低等等：这个工厂开办时～几十个工人。别人一天干的活儿他三天～干完。
8.表示强调所说的事（句尾常用“呢”字）：麦子长得～好呢。我～不信呢！…
“2018-12-30，187*****301：天才就是像我这样的人
请看下集《欧几里得55、天才是什么？》”
欧几里得55、天才是什么？
…天、才：见《欧几里得54》…
天才（百度百科）：指人拥有一定的天赋，在某一个领域做出突出贡献。例如：爱因斯坦在理论物理上是天才，牛顿在经典物理上是天才。
…赋：形声。从贝，从武，武亦声。“贝”指钱财。“武”指“用兵”、“国防”、“军事”。“贝”与“武”联合起来表示“与用兵有关的钱财”。本义：国防税。引申义：征收（国防税）。再引申义：征收。
字义：1.（上对下）交给：～予。
2.旧时指农业税：田～。～税。
3.征收（赋税）：～以重税。
4.我国古代文体，盛行于汉魏六朝，是韵文和散文的综合体，通常用来写景叙事，也有以较短的篇幅抒情说理的。
5.做（诗、词）：～诗一首…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…天赋：成长之前就已经具备的成长特性。在某些的事物或领域具备天生擅长的能力，而使其可以在同样经验甚至没有经验的情况下以高于其它人的速度成长起来。
词义：1.自然赋予；生来就具备：～机谋。
2.天资：有～。～高…
（…特、性、特性：见《欧几里得23》…）
天才（百度汉语）2：天赋的才能；超出一般人的聪明智慧：艺术～。～的创作。
天才是什么？——网友提问
2018-12-30，151******75：天才，是指人拥有一定的天赋（即天分：不是可以学到的东西），包括卓绝的创造力、想象力；拥有天然资质的人（如：体质；嗓音等）…
“人们对‘牛顿、莫扎特有突出成就，自己没有突出成就’的解释是：牛顿、莫扎特努力了，自己没有努力。”中学生接着说。
“根据这种解释，人们认为：只要自己付出努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就。”中学生继续说，“于是，人们付出了持续不断、积年累月的努力。”
“结果和人们预期的不一样，”中学生最后说，“结果是：多数人，虽然他们很努力，但是，他们没能取得成就。”
…预期：预先期待；事先的期望…
““天才理论很好的解释了这个世界：有的人聪明有的人傻；有的人成绩好有的人成绩一般；聪明的人一直很聪明，傻瓜无论怎么努力，都不能变聪明；成绩不好的学生，无论怎么努力，都不能提高学习成绩…”中学生说。
请看下集《欧几里得56、人类为什么会去解释事物？》”
…天、才：见《欧几里得54》…
天才（百度百科）：指人拥有一定的天赋，在某一个领域做出突出贡献。例如：爱因斯坦在理论物理上是天才，牛顿在经典物理上是天才。
…赋：形声。从贝，从武，武亦声。“贝”指钱财。“武”指“用兵”、“国防”、“军事”。“贝”与“武”联合起来表示“与用兵有关的钱财”。本义：国防税。引申义：征收（国防税）。再引申义：征收。
字义：1.（上对下）交给：～予。
2.旧时指农业税：田～。～税。
3.征收（赋税）：～以重税。
4.我国古代文体，盛行于汉魏六朝，是韵文和散文的综合体，通常用来写景叙事，也有以较短的篇幅抒情说理的。
5.做（诗、词）：～诗一首…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…天赋：成长之前就已经具备的成长特性。在某些的事物或领域具备天生擅长的能力，而使其可以在同样经验甚至没有经验的情况下以高于其它人的速度成长起来。
词义：1.自然赋予；生来就具备：～机谋。
2.天资：有～。～高…
（…特、性、特性：见《欧几里得23》…）
天才（百度汉语）2：天赋的才能；超出一般人的聪明智慧：艺术～。～的创作。
天才是什么？——网友提问
2018-12-30，151******75：天才，是指人拥有一定的天赋（即天分：不是可以学到的东西），包括卓绝的创造力、想象力；拥有天然资质的人（如：体质；嗓音等）…
“人们对‘牛顿、莫扎特有突出成就，自己没有突出成就’的解释是：牛顿、莫扎特努力了，自己没有努力。”中学生接着说。
“根据这种解释，人们认为：只要自己付出努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就。”中学生继续说，“于是，人们付出了持续不断、积年累月的努力。”
“结果和人们预期的不一样，”中学生最后说，“结果是：多数人，虽然他们很努力，但是，他们没能取得成就。”
…预期：预先期待；事先的期望…
““天才理论很好的解释了这个世界：有的人聪明有的人傻；有的人成绩好有的人成绩一般；聪明的人一直很聪明，傻瓜无论怎么努力，都不能变聪明；成绩不好的学生，无论怎么努力，都不能提高学习成绩…”中学生说。
请看下集《欧几里得56、人类为什么会去解释事物？》”
欧几里得56、人类为什么会去解释事物？
“人的想法不会轻易改变，”中学生说，“即便很多人付出努力后，没能取得成就，人们还是执着的相信：只要付出努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就。”
““虽然天才理论非常流行，但是…没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的。”中学生说。
请看下集《欧几里得57、没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的》”
“人的想法不会轻易改变，”中学生说，“即便很多人付出努力后，没能取得成就，人们还是执着的相信：只要付出努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就。”
““虽然天才理论非常流行，但是…没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的。”中学生说。
请看下集《欧几里得57、没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的》”
欧几里得57、没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的
“天才的才能真是上天赋予的吗？”中学生问。
“虽然天才理论非常流行，但是…没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的。”中学生说。
…天、才、天才：见《欧几里得54、55》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…天才理论：见《欧几里得56》…
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…证：见《欧几里得12》…
…据：形声。本义：手靠着；靠着。
字义：1.占据：～为己有。
2.凭借；依靠：～点。～险固守。
3.按照；依据：～理力争。～实报告。～民歌改编。
4.可以用作证明的事物：凭～。证～。字～。论～。票～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
证据：1.能证明某事物的真实性的事实或材料。证明事实的根据。
2.能证明案件真实情况的一切事实。
…真：见《欧几里得43》…
…实：见《欧几里得7》…
…真实：与事实相符；不假：～情况。～的感情…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
“科学证据能够证明的，人出生之前就有的东西，是基因。”中学生接着说。
…基因：生物体携带和传递遗传信息的基本单位。主要存在于细胞核内的染色体上…
“基因支持着生命的基本构造和性能，储存着生命的种族、血型、孕育、生长、凋亡等过程的全部信息…”中学生继续说。
“环境和遗传的共同作用，促成了生命的繁衍、细胞分裂、蛋白质合成等重要生理过程。”中学生最后说。
…生理（生长繁殖之理）：生物体的机能。即整个生物体及其各个部分所表现的各种生命活动。详见《富田兴合苑业主的大事小事99》…
（…富田兴合苑业主的大事小事：小说名…）
…根：形声。从木，艮（gèn）声。本义：草木之根。
字义：1.高等植物的营养器官，能够把植物固定在土地上，吸收土壤里的水分和溶解在水中的养分，有的根还能贮（zhù）藏养料。
2.比喻子孙后代：这孩子是他们家的～。
3.（～儿）物体的下部或某部分和其他东西连着的地方：耳～。舌～。墙～。～基。～底。
4.事物的本原；人的出身底细：祸～。寻～。从～儿上解决问题。知～知底。
5.根本地；彻底：～究。～治。～绝。
6.依据；作为根本：～据。无～之谈。
7.用于细长的东西：两～筷子。一～无缝钢管。
8.方根的简称。
9.一元方程的解…
…本：见《欧几里得1》…
…根本：指基础或本质；比喻事物的本源、根基。
词义：1.事物的根源或最重要的部分：应当从～上考虑解决问题的方法。
2.属性词。主要的；重要的：～原因。不要回避最～的问题。
3.本来；从来：这话我～没说过。
4.从头到尾；始终；全然（多用于否定式）：他～就没想到这些问题。我～就不赞成这种做法。
5.彻底：问题已经～解决…
（…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…本、质、本质：见《欧几里得22》…）
“基因是人生来就有的…”中学生继续说，“从出生起，人的基因便无法改变…”
“基因在一定程度上，决定了人的身高、肤色、发色、嗓音…”中学生说。
“虽然基因决定的东西很多，但是，才能不是由基因决定的。”中学生最后说。
“‘才能不是由基因决定的’，这句话说得有点武断。”另一位中学生说。
…武断：1.只凭主观作判断：我对此事知之不详，不敢～。
2.形容言行主观片面：说话～。这样作决定，未免太～了…
“现在的确没找到‘基因决定才能’的证据，”中学生继续说，“‘才能不是由基因决定的’反而有许多例证：父母有本事，儿女很平庸；儿女有本事，父母很平庸…”
…例：见《欧几里得29》…
…例证：用来证明某一事实或理论的例子…
（…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…）
“另一方面，‘龙生龙，凤生凤，老鼠生来会打洞’的情况也有很多：父母有本事，子女也有本事；父母很平庸，子女也很平庸…”中学生最后说。
““根据数量众多的例证，人有没有才能，和父母没有关系（人有没有才能，和基因没有关系）…”中学生最后说，“根据数量众多的例证，人有没有才能，是个概率事件：可能有，也可能没有。”
请看下集《欧几里得58、才能不是由基因决定的》”
“天才的才能真是上天赋予的吗？”中学生问。
“虽然天才理论非常流行，但是…没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的。”中学生说。
…天、才、天才：见《欧几里得54、55》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…天才理论：见《欧几里得56》…
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…证：见《欧几里得12》…
…据：形声。本义：手靠着；靠着。
字义：1.占据：～为己有。
2.凭借；依靠：～点。～险固守。
3.按照；依据：～理力争。～实报告。～民歌改编。
4.可以用作证明的事物：凭～。证～。字～。论～。票～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
证据：1.能证明某事物的真实性的事实或材料。证明事实的根据。
2.能证明案件真实情况的一切事实。
…真：见《欧几里得43》…
…实：见《欧几里得7》…
…真实：与事实相符；不假：～情况。～的感情…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
“科学证据能够证明的，人出生之前就有的东西，是基因。”中学生接着说。
…基因：生物体携带和传递遗传信息的基本单位。主要存在于细胞核内的染色体上…
“基因支持着生命的基本构造和性能，储存着生命的种族、血型、孕育、生长、凋亡等过程的全部信息…”中学生继续说。
“环境和遗传的共同作用，促成了生命的繁衍、细胞分裂、蛋白质合成等重要生理过程。”中学生最后说。
…生理（生长繁殖之理）：生物体的机能。即整个生物体及其各个部分所表现的各种生命活动。详见《富田兴合苑业主的大事小事99》…
（…富田兴合苑业主的大事小事：小说名…）
…根：形声。从木，艮（gèn）声。本义：草木之根。
字义：1.高等植物的营养器官，能够把植物固定在土地上，吸收土壤里的水分和溶解在水中的养分，有的根还能贮（zhù）藏养料。
2.比喻子孙后代：这孩子是他们家的～。
3.（～儿）物体的下部或某部分和其他东西连着的地方：耳～。舌～。墙～。～基。～底。
4.事物的本原；人的出身底细：祸～。寻～。从～儿上解决问题。知～知底。
5.根本地；彻底：～究。～治。～绝。
6.依据；作为根本：～据。无～之谈。
7.用于细长的东西：两～筷子。一～无缝钢管。
8.方根的简称。
9.一元方程的解…
…本：见《欧几里得1》…
…根本：指基础或本质；比喻事物的本源、根基。
词义：1.事物的根源或最重要的部分：应当从～上考虑解决问题的方法。
2.属性词。主要的；重要的：～原因。不要回避最～的问题。
3.本来；从来：这话我～没说过。
4.从头到尾；始终；全然（多用于否定式）：他～就没想到这些问题。我～就不赞成这种做法。
5.彻底：问题已经～解决…
（…基、础、基础：见《欧几里得37》…
…本、质、本质：见《欧几里得22》…）
“基因是人生来就有的…”中学生继续说，“从出生起，人的基因便无法改变…”
“基因在一定程度上，决定了人的身高、肤色、发色、嗓音…”中学生说。
“虽然基因决定的东西很多，但是，才能不是由基因决定的。”中学生最后说。
“‘才能不是由基因决定的’，这句话说得有点武断。”另一位中学生说。
…武断：1.只凭主观作判断：我对此事知之不详，不敢～。
2.形容言行主观片面：说话～。这样作决定，未免太～了…
“现在的确没找到‘基因决定才能’的证据，”中学生继续说，“‘才能不是由基因决定的’反而有许多例证：父母有本事，儿女很平庸；儿女有本事，父母很平庸…”
…例：见《欧几里得29》…
…例证：用来证明某一事实或理论的例子…
（…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…）
“另一方面，‘龙生龙，凤生凤，老鼠生来会打洞’的情况也有很多：父母有本事，子女也有本事；父母很平庸，子女也很平庸…”中学生最后说。
““根据数量众多的例证，人有没有才能，和父母没有关系（人有没有才能，和基因没有关系）…”中学生最后说，“根据数量众多的例证，人有没有才能，是个概率事件：可能有，也可能没有。”
请看下集《欧几里得58、才能不是由基因决定的》”
欧几里得58、才能不是由基因决定的
“基因来自父母，”中学生说。
…基因：生物体携带和传递遗传信息的基本单位。主要存在于细胞核内的染色体上…
“父母通过遗传，将基因传递给子女。”中学生接着说。
遗传：父母性状通过繁殖传递给后代，从而使后代获得父母遗传信息的现象。
…性状（百度汉语）：性质和形状：土壤的理化～…
…性状（百度百科）2：指生物可遗传的、能观察到的特征…
（…特、征、特征：见《欧几里得32》…）
“任何生物都有许许多多性状，有的是形态特征（如豌豆种子的颜色，形状），有的是生理特征（如人的ABO血型，植物的抗病性，耐寒性），等等…”生物学家说。
…形：见《欧几里得13》…
…态、形态：见《欧几里得14》…
…生理（生长繁殖之理）：生物体的机能。即整个生物体及其各个部分所表现的各种生命活动。详见《富田兴合苑业主的大事小事99》…
（…富田兴合苑业主的大事小事：小说名…）
（图）
请简述基因和性状的关系。——网友提问。
2015-01-22，网友回答：基因决定性状。
生物体都由细胞组成，而细胞的细胞核中有携带遗传物质的结构——染色体，染色体上的遗传物质是DNA，每个DNA上有多个基因，基因是控制性状（特征）的基本单位。
生物的性状是由基因决定的，基因决定性状的表达，一个基因对应一个性状。基因能通过生殖遗传下去，性状不能遗传，性状的遗传实质上是亲代通过生殖细胞把基因传递给了子代。在有性生殖过程中，精子与卵细胞就是基因在亲子代间传递的桥梁，只是把控制性状的基因遗传下去了。
（图）
“根据数量众多的例证，人有没有才能，和父母没有关系（人有没有才能，和基因没有关系）…”中学生最后说，“根据数量众多的例证，人有没有才能，是个概率事件：可能有，也可能没有。”
…数量众多的例证：父母有本事，儿女很平庸；儿女有本事，父母很平庸。
龙生龙，凤生凤，老鼠生来会打洞。
父母有本事，子女也有本事；父母很平庸，子女也很平庸…这些例证见《欧几里得57》…
…概：见《欧几里得21》…
（图）
…率：象形。甲骨文字形，象捕鸟的丝网。本义：捕鸟的丝网。
字义：[lǜ]
〈名〉
1.法令；条例。
2.规格；标准
3.两个相关的数在一定条件下的比值。如出勤率是某一单位或个人在某一时期内实际出勤日数和规定应出勤日数的比值。
〈动〉
[按某种标准]计算…
（…象形：造字法之一。指描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…）
…概率：某种事件在同一条件下可能发生也可能不发生，表示发生的可能性大小的量叫做概率。例如在一般情况下，一个鸡蛋孵出的小鸡是雌性或雄性的概率都是1/2…
“观察数量众多的例证，能得出一些结论：努力的人不一定有才能；不努力的人一定没有才能；有才能的人一定是努力的人…”中学生说。
“人们对‘努力’的理解不同，所以，很多人认为牛顿、莫扎特不需要特别努力，就能取得非凡成就…”中学生接着说，“这是人们认为他们是天才的原因之一。”
…天、才、天才：见《欧几里得54、55》…
…理：见《欧几里得1》…
…解：见《欧几里得36》…
…理解：1.顺着脉理或条理进行剖（pōu）析。
2.从道理上了解。
3.懂；了解：互相～。加深～。～文件精神。你的意思我完全～…
（图）
…剖：形声。从刀，从咅（pǒu），咅亦声。“咅”本意为“拥护或反对”，引申为“正向或反向”，转义为“打开或合拢”。“咅”与“刀”联合起来表示“用刀划开物体后将其分开”。本义：破开，中分。
本义：破开。如：剖开、解剖、剖面、剖腹。
衍（yǎn）义：引申指“分析、分辩”。如：剖白、剖解、剖析…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…衍：见《欧几里得25》…]
…析：见《欧几里得36》…
…剖析：分析：这篇文章～事理十分透彻…
“天才真的不需要特别努力吗？”中学生最后说，“想弄清这个问题，需先弄清‘努力’。”
“2019-12-21，秒懂心理学：努力的意义就是：不让贫穷跟卑微的自己让别人看不起
你也不放心、也不甘心这世界被看不起你的人来掌控着吧，要随时想到这么一点，你就会有无限动力了
请看下集《欧几里得59、努力是什么？（大道理你想听我也懒得说）》”
“基因来自父母，”中学生说。
…基因：生物体携带和传递遗传信息的基本单位。主要存在于细胞核内的染色体上…
“父母通过遗传，将基因传递给子女。”中学生接着说。
遗传：父母性状通过繁殖传递给后代，从而使后代获得父母遗传信息的现象。
…性状（百度汉语）：性质和形状：土壤的理化～…
…性状（百度百科）2：指生物可遗传的、能观察到的特征…
（…特、征、特征：见《欧几里得32》…）
“任何生物都有许许多多性状，有的是形态特征（如豌豆种子的颜色，形状），有的是生理特征（如人的ABO血型，植物的抗病性，耐寒性），等等…”生物学家说。
…形：见《欧几里得13》…
…态、形态：见《欧几里得14》…
…生理（生长繁殖之理）：生物体的机能。即整个生物体及其各个部分所表现的各种生命活动。详见《富田兴合苑业主的大事小事99》…
（…富田兴合苑业主的大事小事：小说名…）
（图）
请简述基因和性状的关系。——网友提问。
2015-01-22，网友回答：基因决定性状。
生物体都由细胞组成，而细胞的细胞核中有携带遗传物质的结构——染色体，染色体上的遗传物质是DNA，每个DNA上有多个基因，基因是控制性状（特征）的基本单位。
生物的性状是由基因决定的，基因决定性状的表达，一个基因对应一个性状。基因能通过生殖遗传下去，性状不能遗传，性状的遗传实质上是亲代通过生殖细胞把基因传递给了子代。在有性生殖过程中，精子与卵细胞就是基因在亲子代间传递的桥梁，只是把控制性状的基因遗传下去了。
（图）
“根据数量众多的例证，人有没有才能，和父母没有关系（人有没有才能，和基因没有关系）…”中学生最后说，“根据数量众多的例证，人有没有才能，是个概率事件：可能有，也可能没有。”
…数量众多的例证：父母有本事，儿女很平庸；儿女有本事，父母很平庸。
龙生龙，凤生凤，老鼠生来会打洞。
父母有本事，子女也有本事；父母很平庸，子女也很平庸…这些例证见《欧几里得57》…
…概：见《欧几里得21》…
（图）
…率：象形。甲骨文字形，象捕鸟的丝网。本义：捕鸟的丝网。
字义：[lǜ]
〈名〉
1.法令；条例。
2.规格；标准
3.两个相关的数在一定条件下的比值。如出勤率是某一单位或个人在某一时期内实际出勤日数和规定应出勤日数的比值。
〈动〉
[按某种标准]计算…
（…象形：造字法之一。指描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…）
…概率：某种事件在同一条件下可能发生也可能不发生，表示发生的可能性大小的量叫做概率。例如在一般情况下，一个鸡蛋孵出的小鸡是雌性或雄性的概率都是1/2…
“观察数量众多的例证，能得出一些结论：努力的人不一定有才能；不努力的人一定没有才能；有才能的人一定是努力的人…”中学生说。
“人们对‘努力’的理解不同，所以，很多人认为牛顿、莫扎特不需要特别努力，就能取得非凡成就…”中学生接着说，“这是人们认为他们是天才的原因之一。”
…天、才、天才：见《欧几里得54、55》…
…理：见《欧几里得1》…
…解：见《欧几里得36》…
…理解：1.顺着脉理或条理进行剖（pōu）析。
2.从道理上了解。
3.懂；了解：互相～。加深～。～文件精神。你的意思我完全～…
（图）
…剖：形声。从刀，从咅（pǒu），咅亦声。“咅”本意为“拥护或反对”，引申为“正向或反向”，转义为“打开或合拢”。“咅”与“刀”联合起来表示“用刀划开物体后将其分开”。本义：破开，中分。
本义：破开。如：剖开、解剖、剖面、剖腹。
衍（yǎn）义：引申指“分析、分辩”。如：剖白、剖解、剖析…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…衍：见《欧几里得25》…]
…析：见《欧几里得36》…
…剖析：分析：这篇文章～事理十分透彻…
“天才真的不需要特别努力吗？”中学生最后说，“想弄清这个问题，需先弄清‘努力’。”
“2019-12-21，秒懂心理学：努力的意义就是：不让贫穷跟卑微的自己让别人看不起
你也不放心、也不甘心这世界被看不起你的人来掌控着吧，要随时想到这么一点，你就会有无限动力了
请看下集《欧几里得59、努力是什么？（大道理你想听我也懒得说）》”
欧几里得59、努力是什么？（大道理你想听我也懒得说）
“努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情；努力就是，你全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部；努力就是，即便不成功，以后想起来，也不后悔的纯粹
请看下集《欧几里得60、什么是努力？》”
“努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情；努力就是，你全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部；努力就是，即便不成功，以后想起来，也不后悔的纯粹
请看下集《欧几里得60、什么是努力？》”
欧几里得60、什么是努力？
什么是努力？——网友提问
2019-02-02，诸葛云帆：努力是为了以后能不过月光族的生活，为了给家人更优越的环境，为了能够有人疼有人爱，为了自己的孩子可以不过这种你认为没有意义的生活，也为了使自己的生活变得有意思。付出才会有收获，不劳而获是不切实际的，所以我们要努力
2019-01-15，从零开始1124：1、努力是一种积极的工作态度，花的精力多，下的功夫大；
2、你只是看起来很努力，并不是真正的努力，少壮不努力，老大徒伤悲；
3、想要的就要靠自己努力，努力不一定能够得到，但不努力是一定得不到的；
2019-11-12，159*****334：为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事
2019-01-15，130******51：就是尽可能的过上自己想要的生活。
2019-01-15，fjvfhe：就是能力有点不够但是继续坚持
2019-01-15，逗你玩的大姨子：努力应该是全身心地投入。
…姨：形声。从女，夷声。本义：妻子的姐妹。
字义：1.姨母，称母亲的姐妹。也用来尊称母亲一辈的女子。
2.妻子的姐妹：大～。小～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…大姨子：地方方言，北方好多地方管妻子的姐姐叫大姨子…
2019-01-15，艾克电缆科技企：就是做什么事情都全力以赴了
2019-01-15，zhongqinFf：加油
“一切要在自然中成就，急于想获得什么，急于想到达目标，都背离自然之道，“瓜熟蒂落，水到渠成”就是自然，强行，强为就背离自然。有意识地努力和顺其自然要结合起来，没有有意识地努力，必然会原地转圈走不出迷茫迷乱，没有顺其自然的心态和态度，必然会焦虑，必然会争，会有为，会欲速不达，会适得其反。
请看下集《欧几里得61、努力到底是什么？自然之道》”
什么是努力？——网友提问
2019-02-02，诸葛云帆：努力是为了以后能不过月光族的生活，为了给家人更优越的环境，为了能够有人疼有人爱，为了自己的孩子可以不过这种你认为没有意义的生活，也为了使自己的生活变得有意思。付出才会有收获，不劳而获是不切实际的，所以我们要努力
2019-01-15，从零开始1124：1、努力是一种积极的工作态度，花的精力多，下的功夫大；
2、你只是看起来很努力，并不是真正的努力，少壮不努力，老大徒伤悲；
3、想要的就要靠自己努力，努力不一定能够得到，但不努力是一定得不到的；
2019-11-12，159*****334：为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事
2019-01-15，130******51：就是尽可能的过上自己想要的生活。
2019-01-15，fjvfhe：就是能力有点不够但是继续坚持
2019-01-15，逗你玩的大姨子：努力应该是全身心地投入。
…姨：形声。从女，夷声。本义：妻子的姐妹。
字义：1.姨母，称母亲的姐妹。也用来尊称母亲一辈的女子。
2.妻子的姐妹：大～。小～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
…大姨子：地方方言，北方好多地方管妻子的姐姐叫大姨子…
2019-01-15，艾克电缆科技企：就是做什么事情都全力以赴了
2019-01-15，zhongqinFf：加油
“一切要在自然中成就，急于想获得什么，急于想到达目标，都背离自然之道，“瓜熟蒂落，水到渠成”就是自然，强行，强为就背离自然。有意识地努力和顺其自然要结合起来，没有有意识地努力，必然会原地转圈走不出迷茫迷乱，没有顺其自然的心态和态度，必然会焦虑，必然会争，会有为，会欲速不达，会适得其反。
请看下集《欧几里得61、努力到底是什么？自然之道》”
欧几里得61、努力到底是什么？自然之道
“所有的天赋中，刻苦可能是最容易被人忽略，而又最难以获得的。这代表着你要忍受经年累月的孤寂，连续几个甚至十几个小时集中注意力，面对着层出不穷的难题仍要保持旺盛的斗志，尤其是在你完全无法预知成败的情况下，面对那些可能到来的嗤（chī）笑、流言和冷眼仍然能够坚持自己的选择。真正的勤奋不是几百条打卡的微博，不是几个哭诉发奋的帖子，不是你每天迟迟不关的灯，不是你手机上凌晨四点这个城市的太阳。它是绝望，一种巨大的、深沉的、压抑的绝望，是命运给予你最沉重的考验。
请看下集《欧几里得62、努力与《挪威的森林》》”
“所有的天赋中，刻苦可能是最容易被人忽略，而又最难以获得的。这代表着你要忍受经年累月的孤寂，连续几个甚至十几个小时集中注意力，面对着层出不穷的难题仍要保持旺盛的斗志，尤其是在你完全无法预知成败的情况下，面对那些可能到来的嗤（chī）笑、流言和冷眼仍然能够坚持自己的选择。真正的勤奋不是几百条打卡的微博，不是几个哭诉发奋的帖子，不是你每天迟迟不关的灯，不是你手机上凌晨四点这个城市的太阳。它是绝望，一种巨大的、深沉的、压抑的绝望，是命运给予你最沉重的考验。
请看下集《欧几里得62、努力与《挪威的森林》》”
欧几里得62、努力与《挪威的森林》
努力是什么？——知乎网友
“看到许多怎样努力，为什么要努力，但，努力究竟是什么？个人感觉，是一种习惯”这是我原来的问题描述，如今刚刚步入社会，开始工作，可是生活还是和原来学生时代一样，在公司敲代码，回家敲代码，这算是努力吗？还是这只是我的兴趣、爱好而已。可为什么有时候觉得自己怎么这么努力。你，是否也有过这样的感觉 谢谢分享
“所以要相信坚持的力量，所以努力必须要持续，持续的努力才能看出效果。
请看下集《欧几里得63、卓越不是一种行为，而是一种习惯》”
努力是什么？——知乎网友
“看到许多怎样努力，为什么要努力，但，努力究竟是什么？个人感觉，是一种习惯”这是我原来的问题描述，如今刚刚步入社会，开始工作，可是生活还是和原来学生时代一样，在公司敲代码，回家敲代码，这算是努力吗？还是这只是我的兴趣、爱好而已。可为什么有时候觉得自己怎么这么努力。你，是否也有过这样的感觉 谢谢分享
“所以要相信坚持的力量，所以努力必须要持续，持续的努力才能看出效果。
请看下集《欧几里得63、卓越不是一种行为，而是一种习惯》”
欧几里得63、卓越不是一种行为，而是一种习惯
努力是什么？——知乎网友
“看到许多怎样努力，为什么要努力，但，努力究竟是什么？个人感觉，是一种习惯”这是我原来的问题描述，如今刚刚步入社会，开始工作，可是生活还是和原来学生时代一样，在公司敲代码，回家敲代码，这算是努力吗？还是这只是我的兴趣、爱好而已。可为什么有时候觉得自己怎么这么努力。你，是否也有过这样的感觉 谢谢分享
（图）
…
2014-06-17，匿名用户：
“Excellence is not an action, but a habit（卓越不是一种行为，而是一种习惯）。”
你已经回答你自己的问题了，一种习惯。
但我想补充一点自己的拙（zhuō）见。
要知道努力是什么，那你为什么要努力？
我想几乎所有人努力的做事进而达成目标的背后都有一个原因，称之为行为动机。然而你努力的程度取决于动机本身和自己的相关性，重要性，以及自己能从中得到多大的好处（利己）。
假设，你想通过制定健身计划，每周去健身房3－5次来让自己拥有结实的肌肉。但是你本身身体素质中下游。如果健身的动机只是看到现在流行韩国明星秀肌肉。那么，健身的效果自然可想而知。毕竟健身不是去按摩店，躺下舒舒服服的有人伺候。每次去健身房，看到有人面目狰狞的举哑铃练卧推，很明显肌肉不是那么好练的。这是个简单的例子。
一切努力的背后都有强大的意志去支撑。
这种意志的形成会受文化，价值观，宗教，性别，教育，社会风气以及很简单周围的环境的不同而不同。
PS ＋个人分享：我会尽量做一些自己开心的事情，这样努力起来不会太累。
（5 人赞同了该回答）
（图）
2019-04-29，阳光：以前的以前，还有以前，认为努力就是不停的、不断的去做好事情，除此之外，就不是努力；现在认为，努力就是一直坚持着做事情，然后在这个过程中，可以做一些其他的事情，比如谈个恋爱、比如吃一顿好吃的、比如去旅游；努力并不是只做一件事情，而是在这一段时间内，这件事情是个主心骨的事情，但是其他配角的事情也应该繁华的进行着
2017-01-01，李涵：努力就是有目标的拼尽全力的去做一件事情。
2016-04-22，Echo：
我理解的努力分为三层含义：
1，努力是认真，认真是一种态度。
认真代表着有计划有目标，有实践有反馈。如果一件事情你只是计划着去做了，却没有目标，要做到什么效果？要达到什么程度？没有这些，那么你的努力就是没有意义的。所以努力，不光是你去做了，还要知道做这件事你要有什么收获。
2，努力是坚持，坚持是一种习惯。
习惯具有最大的惯性。人一直坚持一件事情是很累的，但是当坚持成为你的一种习惯的时候，就不需要耗费太多心智力量了。
举个例子：我以前特别讨厌跑步，很累、胸口很疼、喘的厉害、又出很多汗，但是上大学之后身体出现各种小毛病，让我不得不去锻炼身体。我一开始挺不情愿。第一天回来，好累不想跑了T.T；
第二天，“今天还去不去？不想去”；
第三天，“今天风太大、呜呜、不想去”；
第五天，好像喘气好点了；
第十天，跑的时间比之前长了；
第二十天，好像耳朵不怎么发炎了；
后来，每到下午四点半，大脑第一反映，要出门跑步了，关电脑，换衣服，换鞋子，拿手机，拿耳机，拿钱，拿饭卡，出门！不会想今天不想去，外面风太大等等。后来就成了习惯，只要一天不下雨，二没有课，三没有其他重要的事情，就一定会习惯性的出～门～
跑步可以改变一个人很多，我觉得我学到很多，有意识的无意识的。
所以要相信坚持的力量，所以努力必须要持续，持续的努力才能看出效果，量变才能质变啊同志们！～
3，努力是优秀，优秀是一种品质。
认真，持续的努力，一定会有收获。我不说一定会有结果。努力不一定会有结果，但是一定会有收获。也许一个月两个月，也许一年两年，这种努力会让你变得越来越优秀。不信试试看。
这是我理解的努力，是不断经历思考总结反思的结果，并且，我也是这么去实践的。
…Echo：n.（名词）回响；回声；回音；映现；暗示；启示；反响；共鸣；附和；重复…
2016-01-05，猪沉思：努力，是一种内心坚持着向美好发展的约束力。外在的会让别人在你身上看到希望。
努力就要对自己负责，爱自己。关心自己内心的需要并积极去实现。
2016-01-03，悟空家的小怪兽（自我介绍：一只每天为五斗米折腰的狗）：你问努力是什么？
努力的样子有很多。平凡人奔波生计养家糊口，他们很努力；学生刷题背书的时候也很努力。
说白了，努力就是我们向着想要的生活奔跑的时候的模样。
2015-12-08，匿名用户：我只努力我自己需要的
2015-09-24，轮回：很难讲，但肯定和忙碌不一样。
2015-03-04，匿名用户：大概是做了会累，不做又会不甘心
““人们用‘痛苦’识别努力：痛苦了…说明努力了；不痛苦…说明没有努力…”中学生接着说，“由于天才‘玩着玩着就成功了’…没有经历痛苦…人们认为他们没有努力…”
请看下集《欧几里得64、努力一定伴随着痛苦吗？》”
努力是什么？——知乎网友
“看到许多怎样努力，为什么要努力，但，努力究竟是什么？个人感觉，是一种习惯”这是我原来的问题描述，如今刚刚步入社会，开始工作，可是生活还是和原来学生时代一样，在公司敲代码，回家敲代码，这算是努力吗？还是这只是我的兴趣、爱好而已。可为什么有时候觉得自己怎么这么努力。你，是否也有过这样的感觉 谢谢分享
（图）
…
2014-06-17，匿名用户：
“Excellence is not an action, but a habit（卓越不是一种行为，而是一种习惯）。”
你已经回答你自己的问题了，一种习惯。
但我想补充一点自己的拙（zhuō）见。
要知道努力是什么，那你为什么要努力？
我想几乎所有人努力的做事进而达成目标的背后都有一个原因，称之为行为动机。然而你努力的程度取决于动机本身和自己的相关性，重要性，以及自己能从中得到多大的好处（利己）。
假设，你想通过制定健身计划，每周去健身房3－5次来让自己拥有结实的肌肉。但是你本身身体素质中下游。如果健身的动机只是看到现在流行韩国明星秀肌肉。那么，健身的效果自然可想而知。毕竟健身不是去按摩店，躺下舒舒服服的有人伺候。每次去健身房，看到有人面目狰狞的举哑铃练卧推，很明显肌肉不是那么好练的。这是个简单的例子。
一切努力的背后都有强大的意志去支撑。
这种意志的形成会受文化，价值观，宗教，性别，教育，社会风气以及很简单周围的环境的不同而不同。
PS ＋个人分享：我会尽量做一些自己开心的事情，这样努力起来不会太累。
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（图）
2019-04-29，阳光：以前的以前，还有以前，认为努力就是不停的、不断的去做好事情，除此之外，就不是努力；现在认为，努力就是一直坚持着做事情，然后在这个过程中，可以做一些其他的事情，比如谈个恋爱、比如吃一顿好吃的、比如去旅游；努力并不是只做一件事情，而是在这一段时间内，这件事情是个主心骨的事情，但是其他配角的事情也应该繁华的进行着
2017-01-01，李涵：努力就是有目标的拼尽全力的去做一件事情。
2016-04-22，Echo：
我理解的努力分为三层含义：
1，努力是认真，认真是一种态度。
认真代表着有计划有目标，有实践有反馈。如果一件事情你只是计划着去做了，却没有目标，要做到什么效果？要达到什么程度？没有这些，那么你的努力就是没有意义的。所以努力，不光是你去做了，还要知道做这件事你要有什么收获。
2，努力是坚持，坚持是一种习惯。
习惯具有最大的惯性。人一直坚持一件事情是很累的，但是当坚持成为你的一种习惯的时候，就不需要耗费太多心智力量了。
举个例子：我以前特别讨厌跑步，很累、胸口很疼、喘的厉害、又出很多汗，但是上大学之后身体出现各种小毛病，让我不得不去锻炼身体。我一开始挺不情愿。第一天回来，好累不想跑了T.T；
第二天，“今天还去不去？不想去”；
第三天，“今天风太大、呜呜、不想去”；
第五天，好像喘气好点了；
第十天，跑的时间比之前长了；
第二十天，好像耳朵不怎么发炎了；
后来，每到下午四点半，大脑第一反映，要出门跑步了，关电脑，换衣服，换鞋子，拿手机，拿耳机，拿钱，拿饭卡，出门！不会想今天不想去，外面风太大等等。后来就成了习惯，只要一天不下雨，二没有课，三没有其他重要的事情，就一定会习惯性的出～门～
跑步可以改变一个人很多，我觉得我学到很多，有意识的无意识的。
所以要相信坚持的力量，所以努力必须要持续，持续的努力才能看出效果，量变才能质变啊同志们！～
3，努力是优秀，优秀是一种品质。
认真，持续的努力，一定会有收获。我不说一定会有结果。努力不一定会有结果，但是一定会有收获。也许一个月两个月，也许一年两年，这种努力会让你变得越来越优秀。不信试试看。
这是我理解的努力，是不断经历思考总结反思的结果，并且，我也是这么去实践的。
…Echo：n.（名词）回响；回声；回音；映现；暗示；启示；反响；共鸣；附和；重复…
2016-01-05，猪沉思：努力，是一种内心坚持着向美好发展的约束力。外在的会让别人在你身上看到希望。
努力就要对自己负责，爱自己。关心自己内心的需要并积极去实现。
2016-01-03，悟空家的小怪兽（自我介绍：一只每天为五斗米折腰的狗）：你问努力是什么？
努力的样子有很多。平凡人奔波生计养家糊口，他们很努力；学生刷题背书的时候也很努力。
说白了，努力就是我们向着想要的生活奔跑的时候的模样。
2015-12-08，匿名用户：我只努力我自己需要的
2015-09-24，轮回：很难讲，但肯定和忙碌不一样。
2015-03-04，匿名用户：大概是做了会累，不做又会不甘心
““人们用‘痛苦’识别努力：痛苦了…说明努力了；不痛苦…说明没有努力…”中学生接着说，“由于天才‘玩着玩着就成功了’…没有经历痛苦…人们认为他们没有努力…”
请看下集《欧几里得64、努力一定伴随着痛苦吗？》”
欧几里得64、努力一定伴随着痛苦吗？
努力相关：
“尽自己最大的力量拼搏！只要自己认为自己尽力了就可以！不用太在意别人的看法！”网友“day凤迷”说。
“也许我们脑子笨，也许我们的做法在别人看来像笨蛋一样…但是，请不要在意！…因为别人的聪明办法我们学不来！”day凤迷接着说。
“每个人都是不同的…每个人的努力方式也都是不同的…”day凤迷继续说，“只要尽了最大力量…就是努力！”
“即便结果不尽人意，即便被批评‘方法不对’…也不要贬低自己的努力…”day凤迷最后说，“要为自己竭尽全力的样子感到自豪！”
“努力包括的范围很广…世间万物都因努力而存在…比如人学习、做事都是极积上进，争取更好…还有那些动物…”网友说，“为了生活，动物们到处去寻找食物来填饱肚子…”
“你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…”网友接着说，“人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现。”
“和自己比较，一次比一次好…当量变形成质变，就说明你够努力了…”网友“忆清梦兮（xī）”说。
“努力是心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进，遇到任何困难，都先去想更多的渠道和解决方法，不放弃…”网友“成吗成啊 ”说。
对于“努力是什么”，古人也有看法。
“努力是凿壁偷光。”古人1说。
“努力是头悬梁锥刺股。”古人2说。
（“我学习时就把头发绑到房梁上。”古人2说。）
“努力是卧薪尝胆。”古人3说。
“努力是持之以恒。”古人4说。
“天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能…”孟子说，“筋骨被劳…经常饿肚子…我认为经历过这些事的人，是努力的人。”
“虽然我不清楚啥是努力，但我知道验证努力的方法…”佛祖说，“那就是…让她经历九九八十一难，去取真经…”
“如果她能取得真经，说明她是努力的人…如果她不能取得真经，说明她还不够努力…”佛祖接着说。
“需要注意的是…九九八十一难，一难不能多，一难不能少…”佛祖最后说。
…志：“志”通常被认为是形声字。金文（图1、2）和小篆（zhuàn）（图3）的“志”字，下部的“心”字是形符，表示与人的心理和思想活动有关。上面的字形是“之”字，作声符。其实“之”字也有表意作用。“之”来源于表运动、活动之意的“止”。指明内心的趋向为志。
“志”本义为意念、心情。当某种意念、心情强化时，就成为愿望、志向，这是“志”意义的引申，也是“志”最常用的意义。“志”由“志向”又引申出许多意义：
第一，由名词转为动词，即“向慕”“有志于”“期望”；
第二，指神志。
第三，指德行，因为德行与志向是密切相关的。
第四，人有志向，就有了奋斗目标，好比射箭有了靶子，因此，“志”又指“目标”。
第五，“志”是一个人思想精神的集中表现，因此就成为表明某一特征的记号，即标记、标志。
“标记”又引申为“记”“记忆”，如博闻强志，即见闻广博，记忆力强。又引申为记载，记录，“志怪”即记述怪异之事，后在古典小说中形成了一个类别。
“志”又可作名词，指记事的文章、著作，如“日志”“杂志”“墓志”“县志”。
字义：1.志向；志愿：立～。得～。～同道合。
2.志气；意志：人穷～不短。
3.文字记录：杂～。县～。《三国～》。
4.记号：标～。
5.记：～喜。～哀。永～不忘…
…标志：生活中人们用来表明某一事物特征的记号。
词义：1.表明特征的记号：地图上有各种形式的～。这篇作品是作者在创作上日趋成熟的～。
2.表明某种特征：这条生产线的建成投产，～着工厂的生产能力提高到了一个新的水平。
3.（直译）树木末梢的记录；记号…
“两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，这个作为已证明的定理，揭示了本质，可以说是“永远成立”。
请看下集《欧几里得65、古人对“努力”的描述；判、定、判定，依、据、依据》”
努力相关：
“尽自己最大的力量拼搏！只要自己认为自己尽力了就可以！不用太在意别人的看法！”网友“day凤迷”说。
“也许我们脑子笨，也许我们的做法在别人看来像笨蛋一样…但是，请不要在意！…因为别人的聪明办法我们学不来！”day凤迷接着说。
“每个人都是不同的…每个人的努力方式也都是不同的…”day凤迷继续说，“只要尽了最大力量…就是努力！”
“即便结果不尽人意，即便被批评‘方法不对’…也不要贬低自己的努力…”day凤迷最后说，“要为自己竭尽全力的样子感到自豪！”
“努力包括的范围很广…世间万物都因努力而存在…比如人学习、做事都是极积上进，争取更好…还有那些动物…”网友说，“为了生活，动物们到处去寻找食物来填饱肚子…”
“你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…”网友接着说，“人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现。”
“和自己比较，一次比一次好…当量变形成质变，就说明你够努力了…”网友“忆清梦兮（xī）”说。
“努力是心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进，遇到任何困难，都先去想更多的渠道和解决方法，不放弃…”网友“成吗成啊 ”说。
对于“努力是什么”，古人也有看法。
“努力是凿壁偷光。”古人1说。
“努力是头悬梁锥刺股。”古人2说。
（“我学习时就把头发绑到房梁上。”古人2说。）
“努力是卧薪尝胆。”古人3说。
“努力是持之以恒。”古人4说。
“天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能…”孟子说，“筋骨被劳…经常饿肚子…我认为经历过这些事的人，是努力的人。”
“虽然我不清楚啥是努力，但我知道验证努力的方法…”佛祖说，“那就是…让她经历九九八十一难，去取真经…”
“如果她能取得真经，说明她是努力的人…如果她不能取得真经，说明她还不够努力…”佛祖接着说。
“需要注意的是…九九八十一难，一难不能多，一难不能少…”佛祖最后说。
…志：“志”通常被认为是形声字。金文（图1、2）和小篆（zhuàn）（图3）的“志”字，下部的“心”字是形符，表示与人的心理和思想活动有关。上面的字形是“之”字，作声符。其实“之”字也有表意作用。“之”来源于表运动、活动之意的“止”。指明内心的趋向为志。
“志”本义为意念、心情。当某种意念、心情强化时，就成为愿望、志向，这是“志”意义的引申，也是“志”最常用的意义。“志”由“志向”又引申出许多意义：
第一，由名词转为动词，即“向慕”“有志于”“期望”；
第二，指神志。
第三，指德行，因为德行与志向是密切相关的。
第四，人有志向，就有了奋斗目标，好比射箭有了靶子，因此，“志”又指“目标”。
第五，“志”是一个人思想精神的集中表现，因此就成为表明某一特征的记号，即标记、标志。
“标记”又引申为“记”“记忆”，如博闻强志，即见闻广博，记忆力强。又引申为记载，记录，“志怪”即记述怪异之事，后在古典小说中形成了一个类别。
“志”又可作名词，指记事的文章、著作，如“日志”“杂志”“墓志”“县志”。
字义：1.志向；志愿：立～。得～。～同道合。
2.志气；意志：人穷～不短。
3.文字记录：杂～。县～。《三国～》。
4.记号：标～。
5.记：～喜。～哀。永～不忘…
…标志：生活中人们用来表明某一事物特征的记号。
词义：1.表明特征的记号：地图上有各种形式的～。这篇作品是作者在创作上日趋成熟的～。
2.表明某种特征：这条生产线的建成投产，～着工厂的生产能力提高到了一个新的水平。
3.（直译）树木末梢的记录；记号…
“两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，这个作为已证明的定理，揭示了本质，可以说是“永远成立”。
请看下集《欧几里得65、古人对“努力”的描述；判、定、判定，依、据、依据》”
欧几里得65、古人对“努力”的描述；判、定、判定，依、据、依据
“前文中，我们围绕‘努力是什么’搜集了大量回答（见《欧几里得59~65》），”中学生说，“以下是描述努力痛苦的回答：”
描述努力痛苦的回答：
不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练；
严格自律，有恒心与毅力；
所有的天赋中，刻苦可能是最容易被人忽略，而又最难以获得的…；
身体累心不累；
每次去健身房，看到有人面目狰狞的举哑铃练卧推，很明显肌肉不是那么好练的…一切努力的背后都有强大的意志去支撑；
我会尽量做一些自己开心的事情，这样努力起来不会太累；
平凡人奔波生计养家糊口…学生刷题背书…；
人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波；
…
“大部分描述里没有‘痛苦’二字…”中学生说，“不过，从这些描述里，大多能感受到痛苦。”
“古人更是直接把‘痛苦’写了出来…”中学生接着说，“我第一时间想到的、那些家喻户晓的、古人描述‘努力’的文字，都提到了‘痛苦’…”
古人描述“努力”的文字：
凿壁偷光；
头悬梁锥刺股；
卧薪尝胆；
持之以恒；
天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能；
经历九九八十一难，去取真经；
…
“根据古人的看法，‘努力是痛苦的’简直就是真理…”中学生继续说。
…真、理、真理：见《欧几里得43》…
“根据人们的感受…努力伴随着痛苦…”中学生最后说，“即便不怎么努力的人（虽然很少，但是，这样的人还是有的），他们看到努力的人的样子，也会认为‘努力是痛苦的’…”
…努力的人的样子：头悬梁锥刺股；起早贪黑；寒窗十年…
“‘努力伴随着痛苦’，这点虽然没被精准证明，但是，这是人们自古以来的感受…”中学生说，“这种感受是事实。”
…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
“现在，我们讨论另一个问题：‘努力’中是不是只有痛苦？”中学生问。
“这个问题的答案很好推理…”中学生说。
“推理方法众多，我们用反证法推导一下…”中学生接着说。
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…依：《说文解字》：“依，倚（yǐ）也。从人、衣声。”人所倚以蔽体者是衣的意思。人、衣叠加。人所倚以为凭者是依的意思。
本义：靠，仗赖。如：依靠、依傍（a.依靠；b.摹仿，多指艺术、学问）、依恋、依偎、依存、依附、归依。
衍（yǎn）义：引申指“按照”。如：依照、依旧、依据、依次。
衍义：引申指“顺从，答应”。如：依从、依顺、依允。
形声。从人，衣声。甲骨文字形，人在衣中。本义：靠着。
字义：1.依靠：唇齿相～。
2.依从；答应：你只要答应一个条件，我就～你。
3.介词。按照：～次前进…
（…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）
…据：见《欧几里得57》…
…依据：基础，按照、根据；把某种事物作为依托或根据。也作为根据或依托的事物。出自《释名·释言语》：“基，据也。在下，物所依据也。”
词义：1.表示以某种事物作为论断的前提或言行的基础：～不同情况分别处理。～专家的鉴（jiàn）定，这是汉代的遗物。
2.作为论断前提或言行基础的事物：理论～。判断要有～。
3.以某种事物为依据：你这样说～什么？…
“狭义的逻辑学指：研究推理的科学，即只研究如何从前提必然推出结论的科学。
请看下集《欧几里得66、推、知、推知，结论，逻辑学，内、容、内容》”
“前文中，我们围绕‘努力是什么’搜集了大量回答（见《欧几里得59~65》），”中学生说，“以下是描述努力痛苦的回答：”
描述努力痛苦的回答：
不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练；
严格自律，有恒心与毅力；
所有的天赋中，刻苦可能是最容易被人忽略，而又最难以获得的…；
身体累心不累；
每次去健身房，看到有人面目狰狞的举哑铃练卧推，很明显肌肉不是那么好练的…一切努力的背后都有强大的意志去支撑；
我会尽量做一些自己开心的事情，这样努力起来不会太累；
平凡人奔波生计养家糊口…学生刷题背书…；
人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波；
…
“大部分描述里没有‘痛苦’二字…”中学生说，“不过，从这些描述里，大多能感受到痛苦。”
“古人更是直接把‘痛苦’写了出来…”中学生接着说，“我第一时间想到的、那些家喻户晓的、古人描述‘努力’的文字，都提到了‘痛苦’…”
古人描述“努力”的文字：
凿壁偷光；
头悬梁锥刺股；
卧薪尝胆；
持之以恒；
天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能；
经历九九八十一难，去取真经；
…
“根据古人的看法，‘努力是痛苦的’简直就是真理…”中学生继续说。
…真、理、真理：见《欧几里得43》…
“根据人们的感受…努力伴随着痛苦…”中学生最后说，“即便不怎么努力的人（虽然很少，但是，这样的人还是有的），他们看到努力的人的样子，也会认为‘努力是痛苦的’…”
…努力的人的样子：头悬梁锥刺股；起早贪黑；寒窗十年…
“‘努力伴随着痛苦’，这点虽然没被精准证明，但是，这是人们自古以来的感受…”中学生说，“这种感受是事实。”
…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
“现在，我们讨论另一个问题：‘努力’中是不是只有痛苦？”中学生问。
“这个问题的答案很好推理…”中学生说。
“推理方法众多，我们用反证法推导一下…”中学生接着说。
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…依：《说文解字》：“依，倚（yǐ）也。从人、衣声。”人所倚以蔽体者是衣的意思。人、衣叠加。人所倚以为凭者是依的意思。
本义：靠，仗赖。如：依靠、依傍（a.依靠；b.摹仿，多指艺术、学问）、依恋、依偎、依存、依附、归依。
衍（yǎn）义：引申指“按照”。如：依照、依旧、依据、依次。
衍义：引申指“顺从，答应”。如：依从、依顺、依允。
形声。从人，衣声。甲骨文字形，人在衣中。本义：靠着。
字义：1.依靠：唇齿相～。
2.依从；答应：你只要答应一个条件，我就～你。
3.介词。按照：～次前进…
（…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）
…据：见《欧几里得57》…
…依据：基础，按照、根据；把某种事物作为依托或根据。也作为根据或依托的事物。出自《释名·释言语》：“基，据也。在下，物所依据也。”
词义：1.表示以某种事物作为论断的前提或言行的基础：～不同情况分别处理。～专家的鉴（jiàn）定，这是汉代的遗物。
2.作为论断前提或言行基础的事物：理论～。判断要有～。
3.以某种事物为依据：你这样说～什么？…
“狭义的逻辑学指：研究推理的科学，即只研究如何从前提必然推出结论的科学。
请看下集《欧几里得66、推、知、推知，结论，逻辑学，内、容、内容》”
欧几里得66、推、知、推知，结论，逻辑学，内、容、内容
…判、定：见《欧几里得65》…
…容：“容”的构形，曾经有过不同的提法。有的说，容从宀（宝盖头），从谷。宀指房舍，谷指山谷。二者都有容纳的意思。
甲骨文外部是早期的“穴” 字，下部的“口”表示某些物品。洞穴中有物品，就是装、盛（chéng）、容纳的意思。从这个角度讲，容是会意字。战国文字承自甲骨文；上部变为“宀”，下部变为“公”；《说文解字》古文承自战国文字。篆（zhuàn）文由战国文字演变而来；“宀”下多出两笔，变为从宀、从谷，谷亦声，这种写法沿用至今。
本义：容纳。引申指对处在一起的人不排斥，能接纳。由此再引申指允许、让。另外，“容”也假借为人的外表，如容貌、仪容，引申指样子。
字义：1.容纳；包含：～量。无地自～。这个礼堂能～两千人。
2.宽容；原谅：～忍。大度～人。情理难～。
3.允许；让：～许。不～分说。～我再想想。
4.脸上的神情和气色：笑～。愁～。怒～。～光。病～。
5.相貌：～貌。～颜。仪～。整～。
6.比喻事物所呈现的景象、状态：军～。市～。阵～…
…内容：1.事物里面所包容的东西或意义：～丰富。
2.指事物内在因素的总和。与“形式”相对。世界上任何事物没有无形式的内容，也没有无内容的形式。内容决定形式，形式依赖内容，并随着内容的发展而改变。但形式又反作用于内容，影响内容，在一定条件下还可以对内容的发展起有力的促进作用…
“内容和形式：文学理论术语。文学作品的内容通常指反映在文学作品中的思想感情和社会生活现象，主要包括题材、主题、人物、事件等要素。文学作品的形式指具体表现作品内容的内部结构和表现手段，主要包括语言、结构、体裁、表现手法等要素。在一部具体的作品中，它们是相互依存、相互渗透、互为因果的。不能脱离内容谈形式，也不能脱离形式谈内容。美国理论家马克·肖勒则认为，“现代批评向我们表明，只谈内容本身决不是谈论艺术，而是在谈论经验；只有当我们论及完成的内容，也就是形式，也就是艺术品的本身时，我们才是批评家。内容（或经验）与完成的内容（或艺术）之间的差距便是技巧”（《技巧的探讨》）。
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…判、定：见《欧几里得65》…
…容：“容”的构形，曾经有过不同的提法。有的说，容从宀（宝盖头），从谷。宀指房舍，谷指山谷。二者都有容纳的意思。
甲骨文外部是早期的“穴” 字，下部的“口”表示某些物品。洞穴中有物品，就是装、盛（chéng）、容纳的意思。从这个角度讲，容是会意字。战国文字承自甲骨文；上部变为“宀”，下部变为“公”；《说文解字》古文承自战国文字。篆（zhuàn）文由战国文字演变而来；“宀”下多出两笔，变为从宀、从谷，谷亦声，这种写法沿用至今。
本义：容纳。引申指对处在一起的人不排斥，能接纳。由此再引申指允许、让。另外，“容”也假借为人的外表，如容貌、仪容，引申指样子。
字义：1.容纳；包含：～量。无地自～。这个礼堂能～两千人。
2.宽容；原谅：～忍。大度～人。情理难～。
3.允许；让：～许。不～分说。～我再想想。
4.脸上的神情和气色：笑～。愁～。怒～。～光。病～。
5.相貌：～貌。～颜。仪～。整～。
6.比喻事物所呈现的景象、状态：军～。市～。阵～…
…内容：1.事物里面所包容的东西或意义：～丰富。
2.指事物内在因素的总和。与“形式”相对。世界上任何事物没有无形式的内容，也没有无内容的形式。内容决定形式，形式依赖内容，并随着内容的发展而改变。但形式又反作用于内容，影响内容，在一定条件下还可以对内容的发展起有力的促进作用…
“内容和形式：文学理论术语。文学作品的内容通常指反映在文学作品中的思想感情和社会生活现象，主要包括题材、主题、人物、事件等要素。文学作品的形式指具体表现作品内容的内部结构和表现手段，主要包括语言、结构、体裁、表现手法等要素。在一部具体的作品中，它们是相互依存、相互渗透、互为因果的。不能脱离内容谈形式，也不能脱离形式谈内容。美国理论家马克·肖勒则认为，“现代批评向我们表明，只谈内容本身决不是谈论艺术，而是在谈论经验；只有当我们论及完成的内容，也就是形式，也就是艺术品的本身时，我们才是批评家。内容（或经验）与完成的内容（或艺术）之间的差距便是技巧”（《技巧的探讨》）。
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欧几里得67、内容和形式，术、语、术语，要、要素
逻辑学（百度百科）：逻辑学是研究思维的学科。所有思维都有内容和形式两个方面…
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
内容和形式：文学理论术语。文学作品的内容通常指反映在文学作品中的思想感情和社会生活现象，主要包括题材、主题、人物、事件等要素。文学作品的形式指具体表现作品内容的内部结构和表现手段，主要包括语言、结构、体裁、表现手法等要素。在一部具体的作品中，它们是相互依存、相互渗透、互为因果的。不能脱离内容谈形式，也不能脱离形式谈内容。美国理论家马克·肖勒则认为，“现代批评向我们表明，只谈内容本身决不是谈论艺术，而是在谈论经验；只有当我们论及完成的内容，也就是形式，也就是艺术品的本身时，我们才是批评家。内容（或经验）与完成的内容（或艺术）之间的差距便是技巧”（《技巧的探讨》）。
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…术：见《欧几里得29》…
…要：两手叉腰以示重大关节是要的意思。
要：yào
本义：重大，值得重视的。如：重要、要人、要领、纲要、要言不烦。
衍（yǎn）义：引申指“应该，必须”。如：须要。
衍义：表示选择。如：要么、要不、要不然。
衍义：引申指“索取”。如：要账、要价。
要：yāo
衍义：引申指“求，有所倚仗而强求”。如：要求、要挟。
衍义：古同“腰”。
象形。小篆（zhuàn）字形。中间象人形，两旁为两手形。表示两手叉腰。本义：人腰。
字义：[yào]
1.重要：主～。紧～。险～。～事。～道。
2.重要的内容：纲～。摘～。提～。择～记录。
3.希望得到；希望保持：他～一台电脑。这本书我还～呢！
4.因为希望得到或收回而有所表示；索取：～账。小弟弟跟姐姐～钢笔用。
5.请求：她～我替她写信。
6.助动词。表示做某件事的意志：他～学游泳。
7.助动词。须要；应该：路很滑，大家～小心！早点儿睡吧，明天还～起早呢！
8.需要：我做件上衣～多少布？由北京到天津坐汽车～两个小时。
9.助动词。将要：我们～出国旅游了。～下雨了。
10.助动词。表示估计，用于比较：夏天屋子里太热，树荫底下～凉快得多。
11.如果：明天～下雨，我就不去了。
12.要么：～就去打球，～就去溜冰，别再犹豫了。
[yāo]
1.求：～求。
2.强迫；威胁：～挟。
3.同“邀”。
4.又同“腰”…
（…象形：造字法之一。指描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）
…要素（百度百科）：指构成一个事物的存在并维持其运动的必要的最小单位，是构成事物必不可少的现象，又是组成系统的基本单元…
…要素（百度汉语）2：构成事物的必要因素：一般说来，每个汉字都有形、音、义三个～…
[…必要（必须要有，简称“必要”）：不可缺少；非这样不行：开展批评和自我批评是十分～的。为了集体的利益，～时可以牺牲个人的利益…]
“内容与形式：内容是事物一切内在要素的总和。形式是这些内在要素的结构和组织方式。
任何事物既有其内容，也有其形式，不存在无内容的形式，也没有无形式的内容，内容决定形式，形式服从内容，并随内容的变化而变化。
请看下集《欧几里得68、内容与形式，反、作、用、作用、反作用》”
逻辑学（百度百科）：逻辑学是研究思维的学科。所有思维都有内容和形式两个方面…
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
内容和形式：文学理论术语。文学作品的内容通常指反映在文学作品中的思想感情和社会生活现象，主要包括题材、主题、人物、事件等要素。文学作品的形式指具体表现作品内容的内部结构和表现手段，主要包括语言、结构、体裁、表现手法等要素。在一部具体的作品中，它们是相互依存、相互渗透、互为因果的。不能脱离内容谈形式，也不能脱离形式谈内容。美国理论家马克·肖勒则认为，“现代批评向我们表明，只谈内容本身决不是谈论艺术，而是在谈论经验；只有当我们论及完成的内容，也就是形式，也就是艺术品的本身时，我们才是批评家。内容（或经验）与完成的内容（或艺术）之间的差距便是技巧”（《技巧的探讨》）。
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
…术：见《欧几里得29》…
…要：两手叉腰以示重大关节是要的意思。
要：yào
本义：重大，值得重视的。如：重要、要人、要领、纲要、要言不烦。
衍（yǎn）义：引申指“应该，必须”。如：须要。
衍义：表示选择。如：要么、要不、要不然。
衍义：引申指“索取”。如：要账、要价。
要：yāo
衍义：引申指“求，有所倚仗而强求”。如：要求、要挟。
衍义：古同“腰”。
象形。小篆（zhuàn）字形。中间象人形，两旁为两手形。表示两手叉腰。本义：人腰。
字义：[yào]
1.重要：主～。紧～。险～。～事。～道。
2.重要的内容：纲～。摘～。提～。择～记录。
3.希望得到；希望保持：他～一台电脑。这本书我还～呢！
4.因为希望得到或收回而有所表示；索取：～账。小弟弟跟姐姐～钢笔用。
5.请求：她～我替她写信。
6.助动词。表示做某件事的意志：他～学游泳。
7.助动词。须要；应该：路很滑，大家～小心！早点儿睡吧，明天还～起早呢！
8.需要：我做件上衣～多少布？由北京到天津坐汽车～两个小时。
9.助动词。将要：我们～出国旅游了。～下雨了。
10.助动词。表示估计，用于比较：夏天屋子里太热，树荫底下～凉快得多。
11.如果：明天～下雨，我就不去了。
12.要么：～就去打球，～就去溜冰，别再犹豫了。
[yāo]
1.求：～求。
2.强迫；威胁：～挟。
3.同“邀”。
4.又同“腰”…
（…象形：造字法之一。指描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）
…要素（百度百科）：指构成一个事物的存在并维持其运动的必要的最小单位，是构成事物必不可少的现象，又是组成系统的基本单元…
…要素（百度汉语）2：构成事物的必要因素：一般说来，每个汉字都有形、音、义三个～…
[…必要（必须要有，简称“必要”）：不可缺少；非这样不行：开展批评和自我批评是十分～的。为了集体的利益，～时可以牺牲个人的利益…]
“内容与形式：内容是事物一切内在要素的总和。形式是这些内在要素的结构和组织方式。
任何事物既有其内容，也有其形式，不存在无内容的形式，也没有无形式的内容，内容决定形式，形式服从内容，并随内容的变化而变化。
请看下集《欧几里得68、内容与形式，反、作、用、作用、反作用》”
欧几里得68、内容与形式，反、作、用、作用、反作用
内容与形式：内容是事物一切内在要素的总和。形式是这些内在要素的结构和组织方式。
任何事物既有内容，也有形式，不存在无内容的形式，也没有无形式的内容，内容决定形式，形式服从内容，并随内容的变化而变化。
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…要、素、要素：见《欧几里得67》…
形式对内容又有反作用。形式适合内容，就促进内容的发展，形式不适合内容，则阻碍内容的发展。
…反：见《欧几里得22》…
…用：象形字。商代甲骨文作桶形，是“桶”的初文。桶可使用，故借桶形表用。最初用的基本形体是以三竖表示组合桶的木板，用横线表示把木板串连起来箍（gū）成桶。横线多寡、排列不同，形成桶的繁简体。繁者如“A”，简者如“B”，介于中间者如“C”、“D”等，西周时基本上统一作“E”，与后代小篆相同。春秋战国虽有变化，但大体不出此框架结构。隶变后楷书作“用”。《说文（说文解字）》中，用本义为“可施行”，即使人、物发挥功能。《孙子兵法·军争篇》：“故善用兵者，避其锐气，击其惰（duò）归。”
又引申特指任用，聘任。《荀（xún）子·王霸》：“故汤用伊尹，文王用吕尚。”
又引申指采纳。
用作敬辞，指请享受，或泛指吃喝。《韩非子·外储（chǔ）说左下》：“孔子侍坐于鲁哀公，哀公赐之桃与黍（shǔ）。哀公曰：‘请用。’”
用作名词，引申指效果，功能，能力。又泛指资财，花费。《论语·学而》：“敬事而信，节用而爱人，使民以时。”
甲骨文字形象桶形。桶可用，故引申为用。本义：使用，采用。
始见于商代甲骨文。《说文（说文解字）》本义为施行、行用、使用。引申指任用、治理等。
字义：1.使用：～力。～兵。公～。大材小～。
2.费用：家～。
3.用处：功～。多少总会有点～。
4.需要（多用于否定式）：天还很亮，不～开灯。东西都准备好了，您不～操心了。
5.吃、喝（含恭敬意）：～饭。请～茶。
6.引进动作、行为所凭借的工具、手段等：～笔写字。～老眼光看人…
（…象形：描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
…象形字：用象形造字法造出来的字…）
…作用：某种对象在某个时间、某个空间的某个过程中，作为手段、工具，最终达成的效果。
词义：1.对事物产生影响：外界的事物～于我们的感觉器官，在我们的头脑中形成形象。
2.对事物产生某种影响的活动：同化～。消化～。光合～。
3.对事物产生的影响；效果；效用：副～。起～。积极～…
…反作用：1.承受作用力的物体对于施力的物体的作用。反作用力和作用力的大小相等，方向相反，并在同一条直线上。
2.相反的作用：填鸭式的教学方法只能起～。
秦牧 《潇洒自然之美》：“任何事情，过犹不及，过度了，就产生反作用。”
3.反过来影响。
《管桦（huà）小说选·代自序》：“文学艺术是由社会经济基础产生的，它又反作用于这个经济基础。”
4.用相反的力使其无效…
““你和别人一样到了年纪就结婚、生子，装成幸福家庭的样子…”中学生说，“‘幸福’是内容，‘幸福家庭的样子’是形式…”
“‘幸福家庭的样子’是形式…它可以指‘幸福’，也可以指‘假装幸福’…‘幸福家庭的样子’并不是幸福的内容…”中学生接着说。
“由于把形式和内容混淆…人们认为…只要有‘幸福家庭的样子’，就算得到了幸福…”中学生继续说。
“但是…幸不幸福，只有你自己知道…”中学生最后说。
请看下集《欧几里得69、“形式”是给别人看的，自己感受到的，才是内容》”
内容与形式：内容是事物一切内在要素的总和。形式是这些内在要素的结构和组织方式。
任何事物既有内容，也有形式，不存在无内容的形式，也没有无形式的内容，内容决定形式，形式服从内容，并随内容的变化而变化。
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…要、素、要素：见《欧几里得67》…
形式对内容又有反作用。形式适合内容，就促进内容的发展，形式不适合内容，则阻碍内容的发展。
…反：见《欧几里得22》…
…用：象形字。商代甲骨文作桶形，是“桶”的初文。桶可使用，故借桶形表用。最初用的基本形体是以三竖表示组合桶的木板，用横线表示把木板串连起来箍（gū）成桶。横线多寡、排列不同，形成桶的繁简体。繁者如“A”，简者如“B”，介于中间者如“C”、“D”等，西周时基本上统一作“E”，与后代小篆相同。春秋战国虽有变化，但大体不出此框架结构。隶变后楷书作“用”。《说文（说文解字）》中，用本义为“可施行”，即使人、物发挥功能。《孙子兵法·军争篇》：“故善用兵者，避其锐气，击其惰（duò）归。”
又引申特指任用，聘任。《荀（xún）子·王霸》：“故汤用伊尹，文王用吕尚。”
又引申指采纳。
用作敬辞，指请享受，或泛指吃喝。《韩非子·外储（chǔ）说左下》：“孔子侍坐于鲁哀公，哀公赐之桃与黍（shǔ）。哀公曰：‘请用。’”
用作名词，引申指效果，功能，能力。又泛指资财，花费。《论语·学而》：“敬事而信，节用而爱人，使民以时。”
甲骨文字形象桶形。桶可用，故引申为用。本义：使用，采用。
始见于商代甲骨文。《说文（说文解字）》本义为施行、行用、使用。引申指任用、治理等。
字义：1.使用：～力。～兵。公～。大材小～。
2.费用：家～。
3.用处：功～。多少总会有点～。
4.需要（多用于否定式）：天还很亮，不～开灯。东西都准备好了，您不～操心了。
5.吃、喝（含恭敬意）：～饭。请～茶。
6.引进动作、行为所凭借的工具、手段等：～笔写字。～老眼光看人…
（…象形：描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
…象形字：用象形造字法造出来的字…）
…作用：某种对象在某个时间、某个空间的某个过程中，作为手段、工具，最终达成的效果。
词义：1.对事物产生影响：外界的事物～于我们的感觉器官，在我们的头脑中形成形象。
2.对事物产生某种影响的活动：同化～。消化～。光合～。
3.对事物产生的影响；效果；效用：副～。起～。积极～…
…反作用：1.承受作用力的物体对于施力的物体的作用。反作用力和作用力的大小相等，方向相反，并在同一条直线上。
2.相反的作用：填鸭式的教学方法只能起～。
秦牧 《潇洒自然之美》：“任何事情，过犹不及，过度了，就产生反作用。”
3.反过来影响。
《管桦（huà）小说选·代自序》：“文学艺术是由社会经济基础产生的，它又反作用于这个经济基础。”
4.用相反的力使其无效…
““你和别人一样到了年纪就结婚、生子，装成幸福家庭的样子…”中学生说，“‘幸福’是内容，‘幸福家庭的样子’是形式…”
“‘幸福家庭的样子’是形式…它可以指‘幸福’，也可以指‘假装幸福’…‘幸福家庭的样子’并不是幸福的内容…”中学生接着说。
“由于把形式和内容混淆…人们认为…只要有‘幸福家庭的样子’，就算得到了幸福…”中学生继续说。
“但是…幸不幸福，只有你自己知道…”中学生最后说。
请看下集《欧几里得69、“形式”是给别人看的，自己感受到的，才是内容》”
欧几里得69、“形式”是给别人看的，自己感受到的，才是内容
内容与形式：内容是事物一切内在要素的总和。形式是这些内在要素的结构和组织方式。
任何事物既有内容，也有形式，不存在无内容的形式，也没有无形式的内容，内容决定形式，形式服从内容，并随内容的变化而变化。
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…要、素、要素：见《欧几里得67》…
形式对内容又有反作用。形式适合内容，就促进内容的发展，形式不适合内容，则阻碍内容的发展。
…反、作、用、作用、反作用：见《欧几里得68》…
内容和形式之间存在着矛盾。内容是经常变化的，形式相对稳定，形式往往落后于内容，从而造成新内容与旧形式之间的矛盾。
“判断：是对思维对象是否存在、是否具有某种属性以及事物之间是否具有某种关系的肯定或否定。
请看下集《欧几里得70、逻辑学，命、题、命题，结论，判、断、判断，定、断定》”
内容与形式：内容是事物一切内在要素的总和。形式是这些内在要素的结构和组织方式。
任何事物既有内容，也有形式，不存在无内容的形式，也没有无形式的内容，内容决定形式，形式服从内容，并随内容的变化而变化。
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…要、素、要素：见《欧几里得67》…
形式对内容又有反作用。形式适合内容，就促进内容的发展，形式不适合内容，则阻碍内容的发展。
…反、作、用、作用、反作用：见《欧几里得68》…
内容和形式之间存在着矛盾。内容是经常变化的，形式相对稳定，形式往往落后于内容，从而造成新内容与旧形式之间的矛盾。
“判断：是对思维对象是否存在、是否具有某种属性以及事物之间是否具有某种关系的肯定或否定。
请看下集《欧几里得70、逻辑学，命、题、命题，结论，判、断、判断，定、断定》”
欧几里得70、逻辑学，命、题、命题，结论，判、断、判断，定、断定
逻辑学（百度百科）：逻辑学是研究思维的学科。所有思维都有内容和形式两个方面。思维内容指思维所反映的对象及其属性；思维形式指用以反映对象及其属性的不同方式，即表达思维内容的不同方式。
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…学：见《欧几里得4》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…内容和形式：见《欧几里得67~69》…
…反、映、反映：见《欧几里得22》…
…对、象、对象：见《欧几里得39》…
…属、性、属性：见《欧几里得33》…
从逻辑学角度看，抽象思维的三种基本形式是概念，命题和推理。
…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…命：形声兼会意字。从口、从令，令亦声。在周代中期以前，“令”和“命”是同一个字。后来为了强调发号施令的原意，西周金文（图1）中多加一个“口”，构成了“命”字，命、令通用。“令”上部像个大屋顶或是一把大伞盖，下面是一个席地而坐或是半跪着的人，这个人似乎在规规矩矩地倾听别人对他发出指示，下达命令。也有人认为，这半跪着的人就是发布命令的人，其本义是命令。小篆（zhuàn）（图7）的字形由金文直接变来。战国文字中“命”出现了多种异体。
最早字形见于西周金文。甲骨文的“命”和“令“是同一个字，本义都是指发布命令，到了西周，“令”叠加“口”分化出“命”。毛公鼎：“膺（yīng）受大命”，“大命”即天命，铭义即接受上天的命令。由天命引申出命运义。由命运义引申指生命、寿命。
字义：1.动植物的生活能力：生～。救～。逃～。拼～。～脉。性～。相依为～。
2.迷信认为生来就注定的贫富、寿数等：天～。～相。～运（a.迷信指生死、贫富和一切遭遇；b.喻发展变化的趋向，如“市民一定能掌握自己的～～”）。
3.上级对下级的指示：奉～。遵～。～令。使～。
4.给予（名称等）：～名。～题。
5.指派，使用：朝廷～官…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…会意字：用会意造字法造出的汉字…
…膺：形声。从肉。本义:胸腔,胸。
字义：1.胸：义愤填～。
2.接受；承受：荣～战斗英雄称号…]
…题：形声。字从页（xié），从是，是亦声。“是”意为“正对”、“对准”，引申为“”、“基准面”。“页”指“人头”。“是”与“页”联合起来表示“人头的正面”。本义：人头的正面。特指：额。
字义：1、写作或讲演内容的总名目：～目、主～、话～、～材。
2、练习或考试时要求解答的问题：试～、问答～。
3、写上，签署（shǔ）：～名、～字、～壁、～诗、～辞、～画…
…命题：见《欧几里得2》…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
逻辑学有广义和狭义之分。狭义的逻辑学指：研究推理的科学，即只研究如何从前提必然推出结论的科学。广义的逻辑学指：研究思维形式，思维规律和思维的逻辑方法的科学。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…前、提、前提：见《欧几里得13》…
…结、论、结论：见《欧几里得66》…
…规、律、规律：见《欧几里得43》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
逻辑学（百度汉语）2：研究思维的形式和规律。旧称名学、辩学、论理学。
结论：从逻辑学来看，结论是从一定的前提推论得到的结果，对事物做出的总结性判断。
词义：1.指推理中由已知判断所推出的那个新判断。也就是推出的结果。
2.对人或事所下的论断。
3.从前提推论出来的判断，是三段论法结构中的最后一部分。
…逻辑学：见《欧几里得66~69》…
…推、论、推论：见《欧几里得66》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…判：见《欧几里得65》…
…断：见《欧几里得18》…
判断（百度百科）：是对思维对象是否存在、是否具有某种属性以及事物之间是否具有某种关系的肯定或否定。
判断是解释的基本思维形式。对于思维对象断定其内在联系。人们在实践的基础上形成许多概念，并用这些概念去断定事物的趋向和内在联系，例如经济活动是社会发展的基础，就是运用几个不同概念断定经济与社会的真实联系。
…定：见《欧几里得2》…
…断定：经判断而下结论：我敢～这事是他干的。这场比赛的结果，还难以～…
“判断这种思维方式通常表现为两个或更多概念之间的联系，当人们以判断形式确定概念之间的特定关系时，就是在进行断定。人们在认识过程中运用判断形式，把认识的结果固定下来，没有判断思维，人们就无法进行正常的解释活动。
请看下集《欧几里得71、判断，形式逻辑，结论，判定，矛、盾》”
逻辑学（百度百科）：逻辑学是研究思维的学科。所有思维都有内容和形式两个方面。思维内容指思维所反映的对象及其属性；思维形式指用以反映对象及其属性的不同方式，即表达思维内容的不同方式。
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…学：见《欧几里得4》…
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
…内容和形式：见《欧几里得67~69》…
…反、映、反映：见《欧几里得22》…
…对、象、对象：见《欧几里得39》…
…属、性、属性：见《欧几里得33》…
从逻辑学角度看，抽象思维的三种基本形式是概念，命题和推理。
…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…命：形声兼会意字。从口、从令，令亦声。在周代中期以前，“令”和“命”是同一个字。后来为了强调发号施令的原意，西周金文（图1）中多加一个“口”，构成了“命”字，命、令通用。“令”上部像个大屋顶或是一把大伞盖，下面是一个席地而坐或是半跪着的人，这个人似乎在规规矩矩地倾听别人对他发出指示，下达命令。也有人认为，这半跪着的人就是发布命令的人，其本义是命令。小篆（zhuàn）（图7）的字形由金文直接变来。战国文字中“命”出现了多种异体。
最早字形见于西周金文。甲骨文的“命”和“令“是同一个字，本义都是指发布命令，到了西周，“令”叠加“口”分化出“命”。毛公鼎：“膺（yīng）受大命”，“大命”即天命，铭义即接受上天的命令。由天命引申出命运义。由命运义引申指生命、寿命。
字义：1.动植物的生活能力：生～。救～。逃～。拼～。～脉。性～。相依为～。
2.迷信认为生来就注定的贫富、寿数等：天～。～相。～运（a.迷信指生死、贫富和一切遭遇；b.喻发展变化的趋向，如“市民一定能掌握自己的～～”）。
3.上级对下级的指示：奉～。遵～。～令。使～。
4.给予（名称等）：～名。～题。
5.指派，使用：朝廷～官…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思：来～…
…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
…会意字：用会意造字法造出的汉字…
…膺：形声。从肉。本义:胸腔,胸。
字义：1.胸：义愤填～。
2.接受；承受：荣～战斗英雄称号…]
…题：形声。字从页（xié），从是，是亦声。“是”意为“正对”、“对准”，引申为“”、“基准面”。“页”指“人头”。“是”与“页”联合起来表示“人头的正面”。本义：人头的正面。特指：额。
字义：1、写作或讲演内容的总名目：～目、主～、话～、～材。
2、练习或考试时要求解答的问题：试～、问答～。
3、写上，签署（shǔ）：～名、～字、～壁、～诗、～辞、～画…
…命题：见《欧几里得2》…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
逻辑学有广义和狭义之分。狭义的逻辑学指：研究推理的科学，即只研究如何从前提必然推出结论的科学。广义的逻辑学指：研究思维形式，思维规律和思维的逻辑方法的科学。
…科、学、科学：见《欧几里得4》…
…前、提、前提：见《欧几里得13》…
…结、论、结论：见《欧几里得66》…
…规、律、规律：见《欧几里得43》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
逻辑学（百度汉语）2：研究思维的形式和规律。旧称名学、辩学、论理学。
结论：从逻辑学来看，结论是从一定的前提推论得到的结果，对事物做出的总结性判断。
词义：1.指推理中由已知判断所推出的那个新判断。也就是推出的结果。
2.对人或事所下的论断。
3.从前提推论出来的判断，是三段论法结构中的最后一部分。
…逻辑学：见《欧几里得66~69》…
…推、论、推论：见《欧几里得66》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…判：见《欧几里得65》…
…断：见《欧几里得18》…
判断（百度百科）：是对思维对象是否存在、是否具有某种属性以及事物之间是否具有某种关系的肯定或否定。
判断是解释的基本思维形式。对于思维对象断定其内在联系。人们在实践的基础上形成许多概念，并用这些概念去断定事物的趋向和内在联系，例如经济活动是社会发展的基础，就是运用几个不同概念断定经济与社会的真实联系。
…定：见《欧几里得2》…
…断定：经判断而下结论：我敢～这事是他干的。这场比赛的结果，还难以～…
“判断这种思维方式通常表现为两个或更多概念之间的联系，当人们以判断形式确定概念之间的特定关系时，就是在进行断定。人们在认识过程中运用判断形式，把认识的结果固定下来，没有判断思维，人们就无法进行正常的解释活动。
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欧几里得71、判断，形式逻辑，结论，判定，矛、盾
…判、断：见《欧几里得70》…
判断（百度百科）：是对思维对象是否存在、是否有某种属性以及事物之间是否有某种关系的肯定或否定。
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…对、象、对象：见《欧几里得39》…
…属、性、属性：见《欧几里得33》…
判断是解释的基本思维形式。对于思维对象断定其内在联系。人们在实践的基础上形成许多概念，并用这些概念去断定事物的趋向和内在联系，例如经济活动是社会发展的基础，就是运用几个不同概念断定经济与社会的真实联系。
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…定、断定：见《欧几里得70》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…础、基础：见《欧几里得37》…
判断这种思维方式通常表现为两个或更多概念之间的联系，当人们以判断形式确定概念之间的特定关系时，就是在进行断定。人们在认识过程中运用判断形式，把认识的结果固定下来，没有判断思维，人们就无法进行正常的解释活动。
…方、式、方式：见《欧几里得57》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
判断（百度汉语）2：1.思维的基本形式之一，就是肯定或否定某种事物的存在，或指明它是否具有某种属性的思维过程。在形式逻辑上用一个命题表达出来。
2.断定：你～得很正确。正确的～。
3.判决（案件）。
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
形式逻辑：研究思维的形式结构及其规律。撇开具体的思维内容，研究概念、判断和推理及其联系的规律和规则；反映事物最简单、最普遍、最常见的联系，表达最初步的但很重要的思维规律。基本规律有：同一律、矛盾律和排中律。
形式逻辑的对象是事物的质，形式逻辑靠概念、判断、推理反映事物的质。
…结、构、结构：见《欧几里得41》…
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…形式和内容：见《欧几里得67~69》
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…质：见《欧几里得15》…
…反、映、反映：见《欧几里得22》…
…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
…结、论：见《欧几里得66》…
结论：从逻辑学来看，结论是从一定的前提推论得到的结果，对事物做出的总结性判断。
词义：1.指推理中由已知判断所推出的那个新判断。也就是推出的结果。
2.对人或事所下的论断。
3.从前提推论出来的判断，是三段论法结构中的最后一部分。
…逻辑学：见《欧几里得66~69》…
…推、论、推论：见《欧几里得66》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…判断：见《欧几里得70、71》…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…前、提、前提：见《欧几里得13》…
…论、推论：见《欧几里得66》…
…三段论：见《欧几里得7》…
…法：见《欧几里得3》…
…结、构、结构：见《欧几里得41》…
…
…判、定：见《欧几里得65》…
论题：也叫论点。指在证明过程中，其真实性需要加以确定的那个判断，即证明的对象。
词义：
1.诗文的题目；议论的题目。
2.逻辑学上指真实性需要证明的命题。
…真、实、真实：见《欧几里得57》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…学：见《欧几里得4》…
…逻辑学：见《欧几里得66~69》…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
“矛和盾是古代两种作用不同的武器。古代故事传说，有一个人卖矛和盾，夸他的盾最坚固，什么东西也戳（chuō）不破；又夸他的矛最锐利，什么东西都能刺进去。旁人问他，“拿你的矛来刺你的盾怎么样？”那人没法回答了（见于《韩非子·难一》）。后来“矛盾”连用，比喻言语或行为自相抵触的现象：～百出。他的观点前后有～。
请看下集《欧几里得72、矛、盾、矛盾，反论题，反证法的论证过程，排、中、律、排中律》”
…判、断：见《欧几里得70》…
判断（百度百科）：是对思维对象是否存在、是否有某种属性以及事物之间是否有某种关系的肯定或否定。
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…对、象、对象：见《欧几里得39》…
…属、性、属性：见《欧几里得33》…
判断是解释的基本思维形式。对于思维对象断定其内在联系。人们在实践的基础上形成许多概念，并用这些概念去断定事物的趋向和内在联系，例如经济活动是社会发展的基础，就是运用几个不同概念断定经济与社会的真实联系。
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…定、断定：见《欧几里得70》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…础、基础：见《欧几里得37》…
判断这种思维方式通常表现为两个或更多概念之间的联系，当人们以判断形式确定概念之间的特定关系时，就是在进行断定。人们在认识过程中运用判断形式，把认识的结果固定下来，没有判断思维，人们就无法进行正常的解释活动。
…方、式、方式：见《欧几里得57》…
…形、式、形式：见《欧几里得13》…
判断（百度汉语）2：1.思维的基本形式之一，就是肯定或否定某种事物的存在，或指明它是否具有某种属性的思维过程。在形式逻辑上用一个命题表达出来。
2.断定：你～得很正确。正确的～。
3.判决（案件）。
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
形式逻辑：研究思维的形式结构及其规律。撇开具体的思维内容，研究概念、判断和推理及其联系的规律和规则；反映事物最简单、最普遍、最常见的联系，表达最初步的但很重要的思维规律。基本规律有：同一律、矛盾律和排中律。
形式逻辑的对象是事物的质，形式逻辑靠概念、判断、推理反映事物的质。
…结、构、结构：见《欧几里得41》…
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
…形式和内容：见《欧几里得67~69》
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…质：见《欧几里得15》…
…反、映、反映：见《欧几里得22》…
…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
…结、论：见《欧几里得66》…
结论：从逻辑学来看，结论是从一定的前提推论得到的结果，对事物做出的总结性判断。
词义：1.指推理中由已知判断所推出的那个新判断。也就是推出的结果。
2.对人或事所下的论断。
3.从前提推论出来的判断，是三段论法结构中的最后一部分。
…逻辑学：见《欧几里得66~69》…
…推、论、推论：见《欧几里得66》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…判断：见《欧几里得70、71》…
…推、理、推理：见《欧几里得12》…
…前、提、前提：见《欧几里得13》…
…论、推论：见《欧几里得66》…
…三段论：见《欧几里得7》…
…法：见《欧几里得3》…
…结、构、结构：见《欧几里得41》…
…
…判、定：见《欧几里得65》…
论题：也叫论点。指在证明过程中，其真实性需要加以确定的那个判断，即证明的对象。
词义：
1.诗文的题目；议论的题目。
2.逻辑学上指真实性需要证明的命题。
…真、实、真实：见《欧几里得57》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…学：见《欧几里得4》…
…逻辑学：见《欧几里得66~69》…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
“矛和盾是古代两种作用不同的武器。古代故事传说，有一个人卖矛和盾，夸他的盾最坚固，什么东西也戳（chuō）不破；又夸他的矛最锐利，什么东西都能刺进去。旁人问他，“拿你的矛来刺你的盾怎么样？”那人没法回答了（见于《韩非子·难一》）。后来“矛盾”连用，比喻言语或行为自相抵触的现象：～百出。他的观点前后有～。
请看下集《欧几里得72、矛、盾、矛盾，反论题，反证法的论证过程，排、中、律、排中律》”
欧几里得72、矛、盾、矛盾，反论题，反证法的论证过程，排、中、律、排中律
…反：见《欧几里得22》…
…证：见《欧几里得12》…
…法：见《欧几里得3》…
反证法：通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立命题的真实性的证明方法。
…断、定、断定，论、题、论题：见《欧几里得71》…
…中：甲骨文字形象旗杆，上下有旌（jīng）旗和飘带，旗杆正中竖立。本义：中心；当中，指一定范围内部适中的位置。
字义：[ zhōng ]
1.方位词。跟四周的距离相等；中心：～央。华～。居～。
2.指中国：～文。古今～外。
3.方位词。范围内；内部：家～。水～。山～。心～。队伍～。
4.位置在两端之间的：～指。～锋。～年。～秋。～途。
5.不偏不倚（yǐ）：～庸。适～。
6.适于；合于：～用。～看。～听。
7.成；行；好：～不～？这办法～。饭这就～了…
…律：见《欧几里得42》…
排中律：形式逻辑的基本规律之一。指在肯定、否定之间必须选其一，不能都不选。也就是对同一问题做的两个互相矛盾的判断中，必有一个是真的，非此即彼，不能都否定。如在“甲是乙”和“甲不是乙”这两个判断中，必须肯定一个，否定一个，没有第三种可能。违反这条规律，就会犯模棱两可的错误。
…模棱（léng）：含糊，不明确，不肯定…
…两可：这样也可以，那样也可以…
…模棱两可（百度汉语）：对问题或事物正反两方面，持既不肯定、也不否定的态度…
…模棱两可（百度百科）2：指不表示明确的态度，或没有明确的主张，对问题正反两面态度模糊…
比如有一块空地可以种庄稼，甲、乙两人讨论这块地该种什么庄稼好。甲一会儿说应该种玉米，一会儿又说不应该种玉米。
针对甲的说法，乙说：“你的两种意见，我都不同意。”
在这里，甲的说法就违反了矛盾律的要求，犯了“自相矛盾”的错误，因为他同时肯定了这块空地“应该种玉米”和“不应该种玉米”这两个相互矛盾的判断。
而针对甲的说法，乙的说法就违反了排中律的要求，因为排中律认为两个互相矛盾的判断不能同假，而乙恰好断定上述两个判断都是假的。
也就是说：这块地要不就是应该种玉米，要不就是不应该种玉米，二者必有其一。
…矛盾律：见下集…
“矛盾律：对同一个问题作的两个相反的判断，不能都是真的。如对“甲是乙”和“甲不是乙”两个判断，不能都加以肯定，至少要否定一个。违反这条规律，就会犯自相矛盾的错误。
请看下集《欧几里得73、矛盾律，假，不，否、否定，真实，不真实》”
…反：见《欧几里得22》…
…证：见《欧几里得12》…
…法：见《欧几里得3》…
反证法：通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立命题的真实性的证明方法。
…断、定、断定，论、题、论题：见《欧几里得71》…
…中：甲骨文字形象旗杆，上下有旌（jīng）旗和飘带，旗杆正中竖立。本义：中心；当中，指一定范围内部适中的位置。
字义：[ zhōng ]
1.方位词。跟四周的距离相等；中心：～央。华～。居～。
2.指中国：～文。古今～外。
3.方位词。范围内；内部：家～。水～。山～。心～。队伍～。
4.位置在两端之间的：～指。～锋。～年。～秋。～途。
5.不偏不倚（yǐ）：～庸。适～。
6.适于；合于：～用。～看。～听。
7.成；行；好：～不～？这办法～。饭这就～了…
…律：见《欧几里得42》…
排中律：形式逻辑的基本规律之一。指在肯定、否定之间必须选其一，不能都不选。也就是对同一问题做的两个互相矛盾的判断中，必有一个是真的，非此即彼，不能都否定。如在“甲是乙”和“甲不是乙”这两个判断中，必须肯定一个，否定一个，没有第三种可能。违反这条规律，就会犯模棱两可的错误。
…模棱（léng）：含糊，不明确，不肯定…
…两可：这样也可以，那样也可以…
…模棱两可（百度汉语）：对问题或事物正反两方面，持既不肯定、也不否定的态度…
…模棱两可（百度百科）2：指不表示明确的态度，或没有明确的主张，对问题正反两面态度模糊…
比如有一块空地可以种庄稼，甲、乙两人讨论这块地该种什么庄稼好。甲一会儿说应该种玉米，一会儿又说不应该种玉米。
针对甲的说法，乙说：“你的两种意见，我都不同意。”
在这里，甲的说法就违反了矛盾律的要求，犯了“自相矛盾”的错误，因为他同时肯定了这块空地“应该种玉米”和“不应该种玉米”这两个相互矛盾的判断。
而针对甲的说法，乙的说法就违反了排中律的要求，因为排中律认为两个互相矛盾的判断不能同假，而乙恰好断定上述两个判断都是假的。
也就是说：这块地要不就是应该种玉米，要不就是不应该种玉米，二者必有其一。
…矛盾律：见下集…
“矛盾律：对同一个问题作的两个相反的判断，不能都是真的。如对“甲是乙”和“甲不是乙”两个判断，不能都加以肯定，至少要否定一个。违反这条规律，就会犯自相矛盾的错误。
请看下集《欧几里得73、矛盾律，假，不，否、否定，真实，不真实》”
欧几里得73、矛盾律，假，不，否、否定，真实，不真实
…矛、盾、矛盾，律：见《欧几里得72》…
…否：从金文到楷书，否字字形都是从口、不声。口是指说话的动作；不字兼表义，除表示声读外，也表示对事情的否定。
《说文解字》：“否，不也。从口从不。”
字义：[fǒu]
1.不是这样，表示不同意。
2.否定：～决。～认。
3.“是否”“可否”等表示“是不是”“可不可”等意思…
…否定：用来否认一个事实的成立、存在或真实性。
对事物的存在或事物的真实性、合理性不予承认（跟“肯定”相对）：事实是否定不了的。
词义：1.不承认事物的存在或事物的真实性：成绩不容～。
2.逻辑学名词。表示否认的；反面的。与“肯定”相对。如“否定判断”…
（…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
…真实：与事实相符；不假：～情况。～的感情…见《欧几里得57》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…逻辑学：见《欧几里得66~69》…
…判断：见《欧几里得70、71》…）
…
…不真实：不符合事实…
“‘真实’是‘符合事实’，‘不真实’就是‘不符合事实’。”中学生说。
矛盾律要求对同一对象不能同时作出两个矛盾的判断，即不能既肯定它，又否定它。如不能说“水是物质”同时又说“水不是物质”，“水是物质”“水不是物质”这两个判断中必有一个是假的。
…对、象、对象：见《欧几里得39》…
矛盾律要求思想前后一贯，不能自相矛盾。公式是：“A必不非A（A一定不是非A）”或“A不既B又非B（A不能既是B又不是B）”。
“对于两个不同的思想，如果也认为不能同时否定，就属于排中律的误用。这种错误可以称为“非黑即白”的谬误。显然，在黑与白这两个概念之外还存在其他选择。
请看下集《欧几里得74、“非黑即白”的谬误；排中律和矛盾律，有哪些本质区别？》”
…矛、盾、矛盾，律：见《欧几里得72》…
…否：从金文到楷书，否字字形都是从口、不声。口是指说话的动作；不字兼表义，除表示声读外，也表示对事情的否定。
《说文解字》：“否，不也。从口从不。”
字义：[fǒu]
1.不是这样，表示不同意。
2.否定：～决。～认。
3.“是否”“可否”等表示“是不是”“可不可”等意思…
…否定：用来否认一个事实的成立、存在或真实性。
对事物的存在或事物的真实性、合理性不予承认（跟“肯定”相对）：事实是否定不了的。
词义：1.不承认事物的存在或事物的真实性：成绩不容～。
2.逻辑学名词。表示否认的；反面的。与“肯定”相对。如“否定判断”…
（…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
…真实：与事实相符；不假：～情况。～的感情…见《欧几里得57》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…逻辑学：见《欧几里得66~69》…
…判断：见《欧几里得70、71》…）
…
…不真实：不符合事实…
“‘真实’是‘符合事实’，‘不真实’就是‘不符合事实’。”中学生说。
矛盾律要求对同一对象不能同时作出两个矛盾的判断，即不能既肯定它，又否定它。如不能说“水是物质”同时又说“水不是物质”，“水是物质”“水不是物质”这两个判断中必有一个是假的。
…对、象、对象：见《欧几里得39》…
矛盾律要求思想前后一贯，不能自相矛盾。公式是：“A必不非A（A一定不是非A）”或“A不既B又非B（A不能既是B又不是B）”。
“对于两个不同的思想，如果也认为不能同时否定，就属于排中律的误用。这种错误可以称为“非黑即白”的谬误。显然，在黑与白这两个概念之外还存在其他选择。
请看下集《欧几里得74、“非黑即白”的谬误；排中律和矛盾律，有哪些本质区别？》”
欧几里得74、“非黑即白”的谬误；排中律和矛盾律，有哪些本质区别？
…排、中、律、排中律：见《欧几里得72》…
排中律指：任何判断或者为真、或者为假。也可以表述为，两个相互矛盾的判断不可能同时为假，其中必有一真。
…真：真实…见《欧几里得16》…
…真实：与事实相符；不假：～情况。～的感情…见《欧几里得57》…
…
…假：不真实的；伪造的；人造的（跟“真”相对）：～话。～发。～山。～证件。～仁～义…见《欧几里得73》…
…不真实：不符合事实…
“‘真实’是‘符合事实’，‘不真实’就是‘不符合事实’。”中学生说。
“真，可以简单的理解为‘符合事实’；假，可以简单的理解为‘不符合事实’。”中学生接着说。
在逻辑中，命题的真值只有两个：真和假。任何一个命题的真值都必居其一，或者为真，或者为假，不可能既是真的，又是假的。
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
…值：形声。从人，直声。字本作“直”。本义：放置。
字义：1.价钱：币～。价～。
2.相当；值得：这支笔～五元。不～一提。
3.碰到；遇上：正～佳节。
4.担任轮到的职务：～班。～日。
5.数学上按照数学式演算所得的结果：比～。函数～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
排中律要求不能同时否定两个不可同假的命题。命题之间的矛盾关系是一种既不可同真又不可同假的关系。例如，“这个杯子是金属的”和“这个杯子是非金属的”不可能都假，如果对两者都加以否定，就会违反排中律。
排中律要求保持思想的明确性。一个思想如果被认为既不真又不假（既不符合事实，又符合事实），就会令人难以理解、不知所云。
违反排中律的逻辑错误是模棱两不可。
对于两个不同的思想，如果也认为不能同时否定，就属于排中律的误用。这种错误可以称为“非黑即白”的谬误。显然，在黑与白这两个概念之外还存在其他选择。
排中律在法律工作中的应用：法律用语不容模棱两不可
案情认定是不容含糊的，或者A，或者非A，不能既不是A又不是非A。例如，某被害人死亡，或者是自杀，或者非自杀，二者必居其一。如果否定是自然死亡，就要肯定是非自然死亡，反之亦然。
排中律为什么叫排中？——网友提问
2019-11-28，百情稽（jī）凌春：排中的意思就是说两个当中必须有一个是对的，或者在肯定和否定当中，必须有一个是对的。
“反证法是数学家最精当的武器之一。——牛顿
请看下集《欧几里得75、反证法，关、系、关系，真（符合事实）、假（不符合事实）》”
…排、中、律、排中律：见《欧几里得72》…
排中律指：任何判断或者为真、或者为假。也可以表述为，两个相互矛盾的判断不可能同时为假，其中必有一真。
…真：真实…见《欧几里得16》…
…真实：与事实相符；不假：～情况。～的感情…见《欧几里得57》…
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…假：不真实的；伪造的；人造的（跟“真”相对）：～话。～发。～山。～证件。～仁～义…见《欧几里得73》…
…不真实：不符合事实…
“‘真实’是‘符合事实’，‘不真实’就是‘不符合事实’。”中学生说。
“真，可以简单的理解为‘符合事实’；假，可以简单的理解为‘不符合事实’。”中学生接着说。
在逻辑中，命题的真值只有两个：真和假。任何一个命题的真值都必居其一，或者为真，或者为假，不可能既是真的，又是假的。
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
…值：形声。从人，直声。字本作“直”。本义：放置。
字义：1.价钱：币～。价～。
2.相当；值得：这支笔～五元。不～一提。
3.碰到；遇上：正～佳节。
4.担任轮到的职务：～班。～日。
5.数学上按照数学式演算所得的结果：比～。函数～…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
排中律要求不能同时否定两个不可同假的命题。命题之间的矛盾关系是一种既不可同真又不可同假的关系。例如，“这个杯子是金属的”和“这个杯子是非金属的”不可能都假，如果对两者都加以否定，就会违反排中律。
排中律要求保持思想的明确性。一个思想如果被认为既不真又不假（既不符合事实，又符合事实），就会令人难以理解、不知所云。
违反排中律的逻辑错误是模棱两不可。
对于两个不同的思想，如果也认为不能同时否定，就属于排中律的误用。这种错误可以称为“非黑即白”的谬误。显然，在黑与白这两个概念之外还存在其他选择。
排中律在法律工作中的应用：法律用语不容模棱两不可
案情认定是不容含糊的，或者A，或者非A，不能既不是A又不是非A。例如，某被害人死亡，或者是自杀，或者非自杀，二者必居其一。如果否定是自然死亡，就要肯定是非自然死亡，反之亦然。
排中律为什么叫排中？——网友提问
2019-11-28，百情稽（jī）凌春：排中的意思就是说两个当中必须有一个是对的，或者在肯定和否定当中，必须有一个是对的。
“反证法是数学家最精当的武器之一。——牛顿
请看下集《欧几里得75、反证法，关、系、关系，真（符合事实）、假（不符合事实）》”