欧几里得

　　欧几里得75、反证法，关、系、关系，真（符合事实）、假（不符合事实）

　　反证法的论证过程如下：
　　先提出论题；
　　然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；
　　最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。
　　…反、证、法、反证法：见《欧几里得72》…
　　…论、题、论题：见《欧几里得71》…

　　反论题：与原论题具有矛盾关系的论题。如果原论题为判断“p”，那么，反论题就是判断“非p”。在论证中，可以设立反论题，通过确定反论题的虚假来论证原论题的真实性。
　　“这里运用了排中律，”中学生说，“根据排中律，互相矛盾的两论题必有一真。”
　　“反论题为假，那么原论题为真。”中学生最后说。
　　…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…

　　

　　…
　　…推、理、推理：见《欧几里得12》…
　　…演、推演：见《欧几里得14》…
　　…排、中、律、排中律：见《欧几里得72、74》…

　　在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作反论题。
　　反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬（miù）法。
　　…判、断、判断：见《欧几里得70、71》…
　　…归谬法：一种反驳方法。先假定被反驳的观点是正确的，再从它推出明显荒谬的结论，从而证明它是错误的…

　　反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。

　　牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。”反证法常用来证明正面证明有困难，而命题的否定比较浅显的题目，（对这种题目使用反证法）问题可能解决得十分干脆。

　　“欧几里德（Euclid Alexandra）：生活在亚历山大城，约前330～约前275，是古希腊最享有盛名的数学家。
　　请看下集《欧几里得76、数学逻辑体系的起点，逻辑关系，反证法是可信的》”

　　欧几里得75、反证法，关、系、关系，真（符合事实）、假（不符合事实）

　　反证法的论证过程如下：
　　先提出论题；
　　然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；
　　最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。
　　…反、证、法、反证法：见《欧几里得72》…
　　…论、题、论题：见《欧几里得71》…

　　反论题：与原论题具有矛盾关系的论题。如果原论题为判断“p”，那么，反论题就是判断“非p”。在论证中，可以设立反论题，通过确定反论题的虚假来论证原论题的真实性。
　　“这里运用了排中律，”中学生说，“根据排中律，互相矛盾的两论题必有一真。”
　　“反论题为假，那么原论题为真。”中学生最后说。
　　…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…

　　

　　…
　　…推、理、推理：见《欧几里得12》…
　　…演、推演：见《欧几里得14》…
　　…排、中、律、排中律：见《欧几里得72、74》…

　　在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作反论题。
　　反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬（miù）法。
　　…判、断、判断：见《欧几里得70、71》…
　　…归谬法：一种反驳方法。先假定被反驳的观点是正确的，再从它推出明显荒谬的结论，从而证明它是错误的…

　　反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。

　　牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。”反证法常用来证明正面证明有困难，而命题的否定比较浅显的题目，（对这种题目使用反证法）问题可能解决得十分干脆。

　　“欧几里德（Euclid Alexandra）：生活在亚历山大城，约前330～约前275，是古希腊最享有盛名的数学家。
　　请看下集《欧几里得76、数学逻辑体系的起点，逻辑关系，反证法是可信的》”

　　欧几里得76、数学逻辑体系的起点，逻辑关系，反证法是可信的

　　只能用反证法证明的命题，有以下几类：
　　…反证法：见《欧几里得72~75》…
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…
　　…命、题、命题：见《欧几里得70》…

　　1.有关纯数字划分的问题很多命题都只能借助反证法得证。这类问题通常都是直接作为定理或常用推论来使用的，比如根号2是无理数。
　　…定、理、定理：见《欧几里得2》…
　　…推、论、推论：见《欧几里得66》…

　　2.对许多直接建立在定义和公理之上的一级定理：
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…

　　由于这些定理可使用的证明条件太少，只能用反证法才能证明。而建立在定义、公理与一级定理之上的二级定理，以及在逻辑链中更靠后的三级定理、四级定理等等，由于已被证明的定理数目越来越多，因此对于逻辑链中更靠后的定理，有更多的证明条件可以使用，常常不必使用反证法就可以得证。而公理本身是不证自明的，它们是数学逻辑体系的起点（基石），这已经是数学知识的底线了。如果你不接受它们，你认同的所有数学命题都不成立。
　　…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
　　…体、系、体系：见《欧几里得27》…

　　


　　“雷恩是首个以符号“∴”表示“所以”（therefore）的人（“主要是因为写字母太麻烦了…”雷恩说。），他于1659年的一本代数书中以“∴”及“∴”两种符号表示“所以”，其中以“∴”用得较多。
　　请看下集《欧几里得77、最、简、最简分数，分子，母、分母，互、互质，数学符号∵∴》”

　　欧几里得77、最、简、最简分数，分子，母、分母，互、互质，数学符号∵∴

　　反证法范例2：证明√2（根号2）是无理数
　　…反证法：见《欧几里得72~75》…
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…
　　…无理数：见《欧几里得27》…

　　设命题不真，则√2（根号2）为有理数
　　…命、题、命题：见《欧几里得70》…
　　…真：符合事实…见《欧几里得75》…
　　…不真：不符合事实…
　　…有、理、有理、有理数：见《欧几里得25》…

　　设√2=n/m，即最简分数的形式。则（n/m）2=2

　　

　　“这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽。（百度百科语）
　　请看下集《欧几里得78、证明√2（根号2）是无理数，假、定、假定，假设》”

　　欧几里得78、证明√2（根号2）是无理数，假、定、假定，假设

　　反证法范例2：证明√2（根号2）是无理数
　　…反证法：见《欧几里得72~75》…
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…
　　…无理数：见《欧几里得27》…

　　设命题不真，则√2（根号2）为有理数
　　…命、题、命题：见《欧几里得70》…
　　…真：符合事实…见《欧几里得75》…
　　…不真：不符合事实…
　　…有、理、有理、有理数：见《欧几里得25》…

　　设√2=n/m，即最简分数的形式。则（n/m）2=2
　　（“整数相当于分母是1的分数，所有任何有理数都能写成分数。”中学生说。）
　　…最、简，分、数、分数，最简分数：见《欧几里得77》…
　　…形、式、形式：见《欧几里得13》…
　　…（n/m）2=2：（n/m）的平方=2…

　　∵ （n/m）2=2
　　∴ 2m2=n2（2×m的平方=n的平方）
　　…∵：数学符号“因为”…见《欧几里得77》…
　　…∴：数学符号“所以”…见《欧几里得77》…

　　∴ n2（n的平方）=m2/2（m的平方/2）
　　∴ n2（n的平方）为偶数
　　∴ n为偶数（奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数）

　　n可表示为2x

　　∵ 2m2=n2（2×m的平方=n的平方），n2=2x（n的平方=2x）
　　∴ 2m2=n2=（2x）2[（2x）的平方]=4x2（4·x的平方）
　　∴ m2=2x2（m的平方=2·x的平方）

　　∵ 奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数
　　∴ m 也为偶数
　　∴ m和n有公因数2，这与n/m为最简分数矛盾

　　根据矛盾律（互相矛盾的两命题必有一假），“m和n有公因数2”“n/m为最简分数”必有一假
　　…矛盾律：见《欧几里得73》…
　　…命、题、命题：见《欧几里得70》…
　　…假：不符合事实…见《欧几里得75》…

　　根据排中律（命题不可能既真又假），“n/m为最简分数”真，所以“m和n有公因数2”必为假
　　…排中律：见《欧几里得72~74》…

　　根据逻辑关系（证明方法正确，原命题为真、推论为真，原命题为假、推论为假），原命题“√2（根号2）为有理数”为假
　　…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
　　…关、系、关系：见《欧几里得75》…
　　…逻辑关系：见《欧几里得76》…

　　∴ 原命题的反命题为真
　　∴ “√2（根号2）为无理数”为真
　　∴ √2（根号2）为无理数

　　这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽。

　　

　　…设：会意。从言，从殳（shū）。本义：摆设；陈列。
　　字义：1.设立；布置：～防。～宴。总部～在北京。
　　2.筹划：～计。想方～法。
　　3.假设：～想。～x=1。～长方形的宽是x米…
　　（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
　　…意：意思：来～…
　　…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…）
　　…假设：1.虚构：故事情节是～的。
　　2.科学研究上对客观事物的假定的说明，假设要根据事实提出。经过实践证明是正确的，就成为理论…
　　（…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
　　…理、论、理论：见《欧几里得5》…）

　　…
　　…归、谬、归谬，法，归谬法：见《欧几里得76》…

　　““以前，人们用‘痛苦’识别努力：痛苦了…说明努力了；不痛苦…说明没有努力…”中学生说，“经过我们的证明…我们认识到：努力也可以是快乐的…”
　　“那些看起来没经历痛苦、快快乐乐就成功的人（虽然很少，但是…这样的人还是有的）…也可能是‘努力的人’…”中学生最后说。
　　请看下集《欧几里得79、人能快快乐乐的成功吗？》”

　　欧几里得79、人能快快乐乐的成功吗？

　　

　　“‘努力伴随着痛苦’，这点虽然没被精准证明，但是，这是人们自古以来的感受…”中学生说，“这种感受是事实。”
　　…人们自古以来的感受：见《欧几里得65》…
　　…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
　　“现在，我们讨论另一个问题：‘努力’中是不是只有痛苦？”中学生问。
　　“这个问题的答案很好推理…”中学生说。
　　…推、理、推理：见《欧几里得12》…

　　“推理方法众多，我们用反证法推导一下…”中学生说。
　　…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
　　…反证法：见《欧几里得65~78》…
　　…推、导、推导：见《欧几里得7》…

　　“假设‘努力中只有痛苦’…痛苦对自己有害…根据趋利避害定律，人会远离对自己有害的事物…”中学生接着说，“所以人会远离‘努力’…”
　　…趋利避害（百度百科）：汉语成语，意思是趋向有利的一面，避开有害的一面…
　　…趋利避害（百度汉语）2：趋：奔向。奔向有利的一面，而避开有害的一面…

　　我们上初中生物课时，做过草履虫试验：把1粒盐放在培养皿中，培养皿里的草履虫会远离食盐…
　　生物会远离不利于自己的环境，生物学把这个规律叫趋利避害。
　　趋利避害是生物与生俱来的本能：只要是生物，就有这种本能。
　　人是生物，人也有趋利避害本能：我们面临两个选择时，会选择对自己有利的一个。
　　——《自然科学价值观》

　　…定：见《欧几里得2》…
　　…律：见《欧几里得42》…
　　…定律：定律是自然规律的统称，是解锁宇宙奥秘的钥匙。定律是了解宇宙的基石。是从亘（gèn）古到现代不曾改变的宇宙规律。
　　定律是为实践和事实所证明，反映事物在一定条件下发展变化的客观规律的命题。定律的特点是可证，而且已经被不断证明…
　　（…反、映、反映：见《欧几里得22》…
　　…命、题、命题：见《欧几里得70》…）

　　“人会远离努力…这和事实矛盾：几千年来，人们对‘努力’趋之若鹜（wù）。”中学生最后说。
　　…趋：形声。从走，刍（chú）声。本义：快步走。
　　字义：1.快走：～炎附势（奔走于权贵，依附有权势的人）。～之若鹜（像野鸭子一样成群地争着去，含贬义）。
　　2.归向，情势向着某方面发展：～向。～势。大势所～。
　　3.鹅或蛇伸头咬人。
　　4.追求，追逐：～时（追求时髦）。～利。～光性…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
　　…趋之若鹜：像鸭子一样成群地跑过去。比喻争相追逐不正当的事物。鹜（wù）：鸭子…

　　“‘努力中只有痛苦’‘几千年来，人们对努力趋之若鹜’矛盾，根据矛盾律（互相矛盾的两命题必有一假），这两个必有一假。”中学生说。
　　…矛盾律：见《欧几里得73》…
　　…假：不符合事实…见《欧几里得75》…
　　“根据排中律（命题不可能既真又假），‘几千年来，人们对努力趋之若鹜’为真，所以‘努力中只有痛苦’为假。”中学生接着说。
　　…排中律：见《欧几里得72~74》…
　　“所以努力中不只有痛苦…”中学生继续说。
　　“努力中还有其他东西…”中学生最后说。

　　“根据趋利避害定律，人会趋向对自己有利的东西…”中学生说，“所以，努力中有对人有利的东西…”
　　“这种东西对人有利，且大于努力带来的痛苦…所以，人们选择了努力…”中学生接着说。

　　“人感受到‘痛苦’，会表现出‘痛苦的样子’…”另一位中学生说，“人感受到‘快乐’，也会表现出‘快乐的样子’…”
　　…痛苦的样子：头悬梁锥刺股；凿壁偷光；卧薪尝胆…见《欧几里得65》…
　　…快乐的样子：小学生打游戏时happy的样子…等等…
　　[…happy（英文）：adj.（形容词）感到（或显得）快乐的；高兴的； 给予（或带来）快乐的；使人高兴的；幸福的；表示祝愿，如Happy Birthday生日快乐、Happy New Year新年好等…]

　　有一句话说得好。天才就是99%的努力加1%的天分…所谓的天才就是人们感觉这个人在某一方面才华特别突出，能力高出常人不是一两个等级。但这只是表面现象…真正的天才在人们的背后付出了巨大的努力，只不过由于这些努力是他本身的爱好兴趣所在，所以这些努力显得不是那么痛苦，好像玩着玩着就成功了。
　　——网友

　　“由于是本身的兴趣爱好…天才努力的时候显得不那么痛苦…”中学生继续说，“由于是本身的兴趣爱好…天才努力的时候显得很快乐…”
　　“人努力时，感受到的快乐大于痛苦…这种情况下，人会表现出‘快乐的样子’…”中学生说。
　　（“人不能同时表现出‘痛苦的样子’‘快乐的样子’…”中学生说，“在同一时刻，人只能表现出‘痛苦的样子’‘快乐的样子’当中的一个。”）
　　“就是说，努力也可以是快乐的…”中学生最后说。

　　“以前，人们用‘痛苦’识别努力：痛苦了…说明努力了；不痛苦…说明没有努力…”中学生说，“经过我们的证明…我们认识到：努力也可以是快乐的…”
　　“那些看起来没经历痛苦、快快乐乐就成功的人（虽然很少，但是…这样的人还是有的）…也可能是‘努力的人’…”中学生最后说。

　　““‘如何识别努力’，想弄清这个问题，需先弄清另一个问题：什么是努力？”中学生说。
　　请看下集《欧几里得80、“痛苦”没办法识别努力时，靠什么识别努力？》”

　　欧几里得80、“痛苦”没办法识别努力时，靠什么识别努力？

　　“既然‘痛苦’没法准确识别努力，那么…如何识别努力？”中学生问。

　　“‘如何识别努力’，想弄清这个问题，需先弄清另一个问题：什么是努力？”另一位中学生说。
　　“…我们需要给‘努力’下定义…”中学生接着说。
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　…下定义：见《欧几里得32》…

　　“当然，字典里已经有努力的定义…”中学生继续说，“我们前面也列出了这个定义（见《欧几里得59》）…”

　　“这里，我们用科学的方法，归纳一个用于实践的定义…”中学生最后说。
　　…科、学、科学：见《欧几里得4》…
　　…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
　　…归、纳、归纳：见《欧几里得38》…
　　…实、践、实践：见《欧几里得11》…

　　“前文中，我们围绕‘什么是努力’搜集了大量资料（见《欧几里得59~65》）…”中学生说，“资料如下：”

　　资料：
　　努力是“把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大”（汉语词典）；
　　努力是“用尽力气去做事情”（百度百科）；
　　努力是“心中有一个坚定的目标 并持之以恒”（网友“刁瀚海书舒”）；
　　努力是“花一定点心思来做你目前做的事情，或者想要做的事情。尽你最多的力量来完成它”（网友“linjiangman”）；
　　努力是一种人生态度，努力去追求自己的事业，努力实现自己的价值，为自己的理想而努力（匿名网友）；

　　努力:1.朝自己的理想奋斗。
　　2.做好自己该做的事情。
　　努力学习：对在校学生来说，指学习校内课本。
　　对于工作中的人，指干好自己的工作。
　　对于在追梦的人，指尽全力实现这梦。
　　你每天都坚持在一定时间内学习，就是努力学习（网友“aiqicheng”）；

　　我想努力学习，就是自己用心能学多少是多少 。自己感觉行了 就行了（匿名网友）；
　　就是当你走在大学校园里的时候不会后悔（网友“幻剑飞龙”）；
　　就两个字：奋斗！（网友“草琦琦”）；
　　对于一件事情要尽力去做[网友“穰（ráng）巧丹觅松”]；

　　我认为之所以不知道努力、不会努力，不过是因为你没搞清楚自己究竟为什么努力。你不知道这样努力后能得到什么，你不确定这样的付出是否值得…你现在需要做的就是分析一下利弊。把你觉得这样做你可以获得的好处都想想，确定自己这样做不是做白工。做了之后会比不做好[网友“波濯（zhuó）裔（yì）琼（qióng）英”]；

　　1、努力是一种积极的工作态度，花的精力多，下的功夫大。2、你只是看起来很努力，并不是真正的努力（网友“从零开始1124”）；

　　为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事（网友“159*****334”）；
　　就是能力有点不够但是继续坚持（网友“fjvfhe”）；
　　努力应该是全身心地投入（网友“逗你玩的大姨子”）；
　　就是做什么事情都全力以赴了（网友“艾克电缆科技企”）；

　　努力是“加油”（网友“zhongqinFf”）；
　　努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好。这就是努力了（网友“快乐无限620”）；

　　努力是“不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练，不弄明白不罢休，不学会不罢休”（网友“莉莉1951”）；
　　努力是“不跟别人比。跟昨天的自己比。每天进步一点点”（网友“qq962334640”）；

　　努力是“坚持不懈地完成自己的目标与理想”（网友“135*****303”）；
　　努力是尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾（网友“米志威心”）；
　　努力是“每天的自己都比昨天的自己要优秀，自律且不断学习”（网友“假如我是两个人”）；
　　努力是“尽自己最大的力量拼搏！只要自己认为自己尽力了就可以！”（网友“day凤迷”）；

　　努力是“自己擅长或有兴趣的一头扎进去，只有一个想法，必须成功，没有失败的说。你的未来是光明的！”（网友“水瓶xysxys”）；
　　努力是“尽力完成每一件事呗~~”（网友“yn...6@sohu.com”）；
　　能把自己感动了就算努力了，哈哈哈（网友“迈克尔强哥111”）；
　　就是用尽一切去追求什么吧（匿名网友）；

　　个人认为有如下几点方可称得上努力
　　⒈要付出自身一定的价值去实现目标
　　⒉严格自律，有恒心与毅力（网友“魔笛民政局”）；

　　努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情；努力就是，你全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部；努力就是，即便不成功，以后想起来，也不后悔的纯粹（网友“哦安这”）；
　　努力是“每天都进步1%，我自身升值了”（网友“narsh”）；
　　努力是“朝着正确的方向 用尽正确的方式”[网友“愫（sù）睿（ruì）愫睿”]；

　　奋斗的前提得有个目标，并朝着这个目标去奋进，一步步向它靠近，最终得以实现。在这个过程中，也许你会遇到困难，你会有放弃的念头。如果你克服了这些困难，最后达到了你理想的殿堂。这就说明了你成功了，你努力了！如果你没有实现你的梦想，但在去实现梦想的过程中你获得了人生中很多宝贵的东西，这样你也努力了（网友“河西杰子”）；
　　努力是“上班，上网，上床，每天就这3样事”（网友“hohoazhu”）；

　　努力是“没闲着，做任何事情都是认真的”（网友“woxinbianbian”）；
　　努力是“做任何事尽自己最大能力”（网友“来临的审判”）；
　　努力是“加油”（网友“匿名用户”）；
　　加油的意思（网友“181*****683”）；

　　努力就是奋斗、拼搏
　　首先要有明确的奋斗目标，其次要有奋斗的强烈意愿，第三要排除任何可能的干扰，持续拥有奋斗的行动。祝你成功（网友“曹殿甲家”）；

　　

　　“努力是“凿壁偷光”“头悬梁锥刺股”“卧薪尝胆”“铁杵磨成针”（古人）；
　　请看下集《欧几里得81、围绕“什么是努力”搜集的大量资料》”

　　欧几里得81、围绕“什么是努力”搜集的大量资料

　　


　　““抽象就是总结规律。”现代百姓说。
　　“抽象就是找相同点。”网友说。
　　请看下集《欧几里得82、用“抽象”技术，抽离出“努力”的本质》”

　　欧几里得82、用“抽象”技术，抽离出“努力”的本质

　　“资料有了，现在我们用‘抽象’技术，从资料中抽离出‘努力’的本质。”中学生说。
　　…资料：努力的资料…见《欧几里得80、81》…
　　…抽、象、抽象，本、质、本质：见《欧几里得20~22》…

　　本质：事物本身所固有的根本属性；事物区别于其它事物的根本特点。
　　作用：1.可使人们脱离具体的形象进行创新活动。
　　如：人们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等。
　　2.可以知道事物在整个事件中的作用和运作规律。
　　如：人们知道了动物的本质是细胞构成物，那么也就知道了动物都有细胞的一般规律。
　　——《欧几里得22》

　　

　　…抽：1.把夹在中间的东西取出。2.从中取出一部分…见《欧几里得20》…
　　…象：形状；样子——景～，天～，气～，印～，万～更新…见《欧几里得20》…

　　…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象。
　　抽象是形成概念的一种方法…
　　“抽象就是总结规律。”现代百姓说。
　　“抽象就是找相同点。”网友说。
　　——《欧几里得21》

　　“抽象，简单来说就是‘总结规律’‘找相同点’…”中学生接着说，“现在，我们来找下相同点…”
　　（“找下人们对努力的描述的相同点。”中学生说。）

　　“汉语词典对努力的解释是‘把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大’（见《欧几里得80》）…”中学生说。
　　“百度百科对努力的解释是‘用尽力气去做事情’（见《欧几里得80》）…”中学生接着说。
　　“它们说的是同一个意思…”中学生继续说，“‘把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大’，归纳一下，就是‘竭尽全力’…”
　　…归、纳、归纳：见《欧几里得38》…

　　“努力的资料中，前两项都在说‘努力需要竭尽全力’，”中学生最后说，“‘竭尽全力’是努力的一个相同点。”

　　“现在，我们依次找下描写‘努力需要竭尽全力’的资料…看看有多少…”中学生说。

　　描写“努力需要竭尽全力”的资料：
　　努力是“把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大”（汉语词典）；
　　努力是“用尽力气去做事情”（百度百科）；
　　努力是“…尽你最多的力量来完成它”（网友“linjiangman”）；

　　努力:…对于在追梦的人，指尽全力实现这梦（网友“aiqicheng”）；
　　我想努力学习，就是自己用心能学多少是多少 。自己感觉行了 就行了（匿名网友）；
　　对于一件事情要尽力去做[网友“穰（ráng）巧丹觅松”]；
　　为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事（网友“159*****334”）；
　　努力应该是全身心地投入（网友“逗你玩的大姨子”）；
　　就是做什么事情都全力以赴了（网友“艾克电缆科技企”）；
　　努力是尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾（网友“米志威心”）；
　　努力是“尽自己最大的力量拼搏！只要自己认为自己尽力了就可以！”（网友“day凤迷”）；
　　努力是“尽力完成每一件事呗~~”（网友“yn...6@sohu.com”）；
　　就是用尽一切去追求什么吧（匿名网友）；

　　努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情；努力就是，你全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部（网友“哦安这”）；
　　努力是“朝着正确的方向 用尽正确的方式”[网友“愫（sù）睿（ruì）愫睿”]；
　　努力是“做任何事尽自己最大能力”（网友“来临的审判”）；
　　我认为努力是一种境界，对自己树立的目标，一直在一种状态之下，想尽一切方法，越来越接近，直至达到目标为止（网友“爱胖姑娘”）；

　　努力是“尽量去做”（网友“匿名网友”）；
　　努力是“尽力而为”（网友“156******36”）；
　　努力就是有目标的拼尽全力的去做一件事情（网友“李涵”）；

　　“以上是描写‘努力需要竭尽全力’的资料，共计20项…”中学生继续说。

　　“努力的第一个相同点是‘竭尽全力’，”中学生最后说，“现在，我们来找第二个相同点。”

　　““描写努力的资料，第三项是这么说的：心中有一个坚定的目标 并持之以恒…”中学生说。
　　请看下集《欧几里得83、努力的相同点：竭尽全力；持续》”

　　欧几里得83、努力的相同点：竭尽全力；持续

　　“以上是描写‘努力需要竭尽全力’的资料，共计20项…”中学生继续说。
　　…描写“努力需要竭尽全力”的资料：见《欧几里得82》…

　　“努力的第一个相同点是‘竭尽全力’。”中学生最后说。

　　“现在，我们来找第二个相同点。”中学生说。

　　“描写努力的资料，第三项是这么说的：心中有一个坚定的目标 并持之以恒…”中学生接着说。
　　…描写努力的资料：见《欧几里得80、81》…

　　“归纳一下。就是‘持续’…”中学生继续说，“现在，我们依次找下描写‘努力需要持续’的资料…”

　　描写“努力需要持续”的资料：

　　努力是“心中有一个坚定的目标 并持之以恒”（网友“刁瀚海书舒”）；

　　努力:…你每天都坚持在一定时间内学习，就是努力学习（网友“aiqicheng”）；
　　就是能力有点不够但是继续坚持（网友“fjvfhe”）；
　　努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好。这就是努力了（网友“快乐无限620”）；
　　努力是“不跟别人比。跟昨天的自己比。每天进步一点点”（网友“qq962334640”）；
　　努力是“坚持不懈地完成自己的目标与理想”（网友“135*****303”）；
　　努力是“每天的自己都比昨天的自己要优秀，自律且不断学习”（网友“假如我是两个人”）；

　　个人认为有如下几点方可称得上努力
　　⒈要付出自身一定的价值去实现目标
　　⒉严格自律，有恒心与毅力（网友“魔笛民政局”）；
　　努力是“每天都进步1%，我自身升值了”（网友“narsh”）；

　　奋斗的前提得有个目标，并朝着这个目标去奋进，一步步向它靠近，最终得以实现（网友“河西杰子”）；
　　努力是“上班，上网，上床，每天就这3样事”（网友“hohoazhu”）；

　　努力是“没闲着，做任何事情都是认真的”（网友“woxinbianbian”）；
　　努力就是奋斗、拼搏
　　首先要有明确的奋斗目标，其次要有奋斗的强烈意愿，第三要排除任何可能的干扰，持续拥有奋斗的行动（网友“曹殿甲家”）；

　　努力是“充实过好每一天”（网友“突然的自我然”）；
　　我认为努力是一种境界，对自己树立的目标，一直在一种状态之下，想尽一切方法，越来越接近，直至达到目标为止（网友“爱胖姑娘”）；

　　努力就是每天都会有进步（网友“中力健身学院”）；

　　努力是是一种习惯（知乎网友）；
　　努力是“经年累月的孤寂，连续几个甚至十几个小时集中注意力，面对着层出不穷的难题仍要保持旺盛的斗志，尤其是在你完全无法预知成败的情况下，面对那些可能到来的嗤（chī）笑、流言和冷眼仍然能够坚持自己的选择”（网友“火锅火锅火锅”）；

　　努力就是坚持自己想要的生活（网友“dreamer”）；

　　努力是“不停的、不断的去做好事情”（网友“阳光”）；

　　我理解的努力分为三层含义：
　　1，努力是认真，认真是一种态度。
　　认真代表着有计划有目标，有实践有反馈。如果一件事情你只是计划着去做了，却没有目标，要做到什么效果？要达到什么程度？没有这些，那么你的努力就是没有意义的。所以努力，不光是你去做了，还要知道做这件事你要有什么收获。
　　2，努力是坚持，坚持是一种习惯。
　　习惯具有最大的惯性。人一直坚持一件事情是很累的，但是当坚持成为你的一种习惯的时候，就不需要耗费太多心智力量了…努力必须要持续，持续的努力才能看出效果。
　　…
　　认真，持续的努力，一定会有收获。我不说一定会有结果。努力不一定会有结果，但是一定会有收获。也许一个月两个月，也许一年两年，这种努力会让你变得越来越优秀。不信试试看。
　　这是我理解的努力，是不断经历思考总结反思的结果，并且，我也是这么去实践的（网友“Echo”）；

　　努力包括的范围很广…世间万物都因努力而存在…比如人学习、做事都是极积上进，争取更好…还有那些动物…为了生活，动物们到处去寻找食物来填饱肚子…
　　你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现（匿名网友）；

　　和自己比较，一次比一次好…当量变形成质变，就说明你够努力了[网友“忆清梦兮（xī）”]；
　　努力是心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进，遇到任何困难，都先去想更多的渠道和解决方法，不放弃（网友“成吗成啊”）；

　　

　　努力是“铁杵磨成针”（古人）；

　　“以上是描写‘努力需要持续’的资料，共计24项…”中学生说。

　　“努力的第二个相同点是‘持续’。”中学生最后说。

　　“现在…我们继续找努力的相同点。”中学生说。

　　““以上是描写‘努力需要有目标’的资料，共计31项…”中学生说。
　　“努力的第三个相同点是‘有目标’。”中学生接着说。
　　请看下集《欧几里得84、努力的相同点：有目标》”

　　欧几里得84、努力的相同点：有目标

　　“以上是描写‘努力需要持续’的资料，共计24项…”中学生说。
　　…描写“努力需要持续”的资料：见《欧几里得83》…

　　“努力的第二个相同点是‘持续’。”中学生最后说。

　　“现在…我们继续找努力的相同点。”中学生说。

　　“描写努力的资料，第三项是这么说的：心中有一个坚定的目标 并持之以恒…”中学生接着说。

　　“除了持之以恒，努力还需要有目标…”中学生继续说。
　　“现在，我们依次找下描写‘努力需要有目标’的资料…”中学生最后说。

　　描写“努力需要有目标”的资料：
　　努力是“心中有一个坚定的目标 并持之以恒”（网友“刁瀚海书舒”）；
　　努力是“花一定点心思来做你目前做的事情，或者想要做的事情（网友“linjiangman”）；
　　努力是一种人生态度，努力去追求自己的事业，努力实现自己的价值，为自己的理想而努力（匿名网友）；

　　努力:朝自己的理想奋斗（网友“aiqicheng”）；
　　为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事（网友“159*****334”）；
　　努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好。这就是努力了（网友“快乐无限620”）；

　　努力是“不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练，不弄明白不罢休，不学会不罢休”（网友“莉莉1951”）；
　　努力是“不跟别人比。跟昨天的自己比。每天进步一点点”（网友“qq962334640”）；

　　努力是“坚持不懈地完成自己的目标与理想”（网友“135*****303”）；
　　努力是“每天的自己都比昨天的自己要优秀，自律且不断学习”（网友“假如我是两个人”）；

　　努力是“自己擅长或有兴趣的一头扎进去，只有一个想法，必须成功，没有失败的说。你的未来是光明的！”（网友“水瓶xysxys”）；

　　个人认为有如下几点方可称得上努力
　　⒈要付出自身一定的价值去实现目标…（网友“魔笛民政局”）；
　　努力是“每天都进步1%，我自身升值了”（网友“narsh”）；
　　努力是“朝着正确的方向 用尽正确的方式”[网友“愫（sù）睿（ruì）愫睿”]；

　　奋斗的前提得有个目标，并朝着这个目标去奋进，一步步向它靠近，最终得以实现。在这个过程中，也许你会遇到困难，你会有放弃的念头。如果你克服了这些困难，最后达到了你理想的殿堂。这就说明了你成功了，你努力了！如果你没有实现你的梦想，但在去实现梦想的过程中你获得了人生中很多宝贵的东西，这样你也努力了（网友“河西杰子”）；
　　首先要有明确的奋斗目标（网友“曹殿甲家”）；
　　努力是“把不可能实现的目标实现”（网友“走好每一步路”）；
　　我认为努力是一种境界，对自己树立的目标，一直在一种状态之下，想尽一切方法，越来越接近，直至达到目标为止（网友“爱胖姑娘”）；
　　努力是为了自己心里的目标加油奋斗（网友“相依待日落”）；

　　努力=既定目标+实际行动+拼博精神（网友“善良234840”）；
　　努力就是有一个目标并为之奋斗（匿名网友）；
　　有了目标才能努力（网友“shangui2006”）；

　　努力是“做那些对目标有促进作用的行动。只是努力了然后告诉你没用就够了嘛？那特么不叫努力，真正的努力应该是：我试过这个方法不行，总结出不行的原因，并且尝试更多的方法来做好这件事情，直到做成为止”（网友“树上的菜叶子”）；

　　努力是“主动而有目的的活动”（《挪威的森林》）；
　　努力就是有目标的拼尽全力的去做一件事情（网友“李涵”）；

　　努力就要对自己负责，爱自己。关心自己内心的需要并积极去实现（网友“猪沉思”）；

　　你问努力是什么？
　　努力的样子有很多。平凡人奔波生计养家糊口，他们很努力；学生刷题背书的时候也很努力。
　　说白了，努力就是我们向着想要的生活奔跑的时候的模样（网友“悟空家的小怪兽”）；

　　我只努力我自己需要的（匿名用户）；

　　努力包括的范围很广…世间万物都因努力而存在…比如人学习、做事都是极积上进，争取更好…还有那些动物…为了生活，动物们到处去寻找食物来填饱肚子…
　　你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现（匿名网友）；

　　和自己比较，一次比一次好…当量变形成质变，就说明你够努力了[网友“忆清梦兮（xī）”]；
　　努力是心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进，遇到任何困难，都先去想更多的渠道和解决方法，不放弃（网友“成吗成啊”）；
　　努力是“经历九九八十一难，去取真经”（佛祖）；

　　“以上是描写‘努力需要有目标’的资料，共计31项…”中学生说。

　　“努力的第三个相同点是‘有目标’。”中学生接着说。

　　

　　“现在…我们继续找努力的相同点。”中学生继续说。


　　““以上是描写‘努力需要做事’的资料，共计34项…”中学生继续说。

　　“努力的第四个相同点是‘做事’。”中学生最后说。
　　请看下集《欧几里得85、努力的相同点：做事》”

　　欧几里得85、努力的相同点：做事

　　“以上是描写‘努力需要有目标’的资料，共计31项…”中学生说。
　　…描写“努力需要有目标”的资料：见《欧几里得84》…

　　“努力的第三个相同点是‘有目标’。”中学生接着说。

　　“现在…我们继续找努力的相同点。”中学生继续说。

　　“百度百科对努力的解释是：用尽力气去做事情（见《欧几里得80》）…”中学生最后说。

　　“努力需要做事…”中学生说。

　　“现在，我们依次找下描写‘努力需要做事’的资料。”中学生接着说。

　　描写“努力需要做事”的资料：
　　努力是“用尽力气去做事情”（百度百科）；
　　努力是“花一定点心思来做你目前做的事情，或者想要做的事情。尽你最多的力量来完成它”（网友“linjiangman”）；
　　努力:…2.做好自己该做的事情。
　　努力学习：对在校学生来说，指学习校内课本。
　　对于工作中的人，指干好自己的工作。
　　对于在追梦的人，指尽全力实现这梦。
　　你每天都坚持在一定时间内学习，就是努力学习（网友“aiqicheng”）；

　　我想努力学习，就是自己用心能学多少是多少 。自己感觉行了 就行了（匿名网友）；
　　对于一件事情要尽力去做[网友“穰（ráng）巧丹觅松”]；
　　为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事（网友“159*****334”）；
　　就是做什么事情都全力以赴了（网友“艾克电缆科技企”）；

　　努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好。这就是努力了（网友“快乐无限620”）；

　　努力是“不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练，不弄明白不罢休，不学会不罢休”（网友“莉莉1951”）；

　　努力是“坚持不懈地完成自己的目标与理想”（网友“135*****303”）；
　　努力是尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾（网友“米志威心”）；
　　努力是“自己擅长或有兴趣的一头扎进去，只有一个想法，必须成功，没有失败的说。你的未来是光明的！”（网友“水瓶xysxys”）；
　　努力是“尽力完成每一件事呗~~”（网友“yn...6@sohu.com”）；

　　努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情（网友“哦安这”）；
　　努力是“朝着正确的方向 用尽正确的方式”[网友“愫（sù）睿（ruì）愫睿”]；

　　奋斗的前提得有个目标，并朝着这个目标去奋进，一步步向它靠近，最终得以实现。在这个过程中，也许你会遇到困难，你会有放弃的念头。如果你克服了这些困难，最后达到了你理想的殿堂。这就说明了你成功了，你努力了！如果你没有实现你的梦想，但在去实现梦想的过程中你获得了人生中很多宝贵的东西，这样你也努力了（网友“河西杰子”）；
　　努力是“上班，上网，上床，每天就这3样事”（网友“hohoazhu”）；

　　努力是“没闲着，做任何事情都是认真的”（网友“woxinbianbian”）；
　　努力是“做任何事尽自己最大能力”（网友“来临的审判”）；

　　努力就是奋斗、拼搏
　　首先要有明确的奋斗目标，其次要有奋斗的强烈意愿，第三要排除任何可能的干扰，持续拥有奋斗的行动。祝你成功（网友“曹殿甲家”）；

　　努力是“充实过好每一天”（网友“突然的自我然”）；
　　我认为努力是一种境界，对自己树立的目标，一直在一种状态之下，想尽一切方法，越来越接近，直至达到目标为止（网友“爱胖姑娘”）；

　　努力是“尽量去做”（网友“匿名网友”）；
　　努力是“尽力而为”（网友“156******36”）；

　　努力=既定目标+实际行动+拼博精神（网友“善良234840”）；
　　努力，就是脚踏实地的做好每一件事情（网友“中力健身学院”）；

　　努力是“做那些对目标有促进作用的行动。只是努力了然后告诉你没用就够了嘛？那特么不叫努力，真正的努力应该是：我试过这个方法不行，总结出不行的原因，并且尝试更多的方法来做好这件事情，直到做成为止”（网友“树上的菜叶子”）；

　　努力是“不停的、不断的去做好事情”（网友“阳光”）；
　　努力就是有目标的拼尽全力的去做一件事情（网友“李涵”）；

　　你问努力是什么？
　　努力的样子有很多。平凡人奔波生计养家糊口，他们很努力；学生刷题背书的时候也很努力。
　　说白了，努力就是我们向着想要的生活奔跑的时候的模样（网友“悟空家的小怪兽”）；

　　努力包括的范围很广…世间万物都因努力而存在…比如人学习、做事都是极积上进，争取更好…还有那些动物…为了生活，动物们到处去寻找食物来填饱肚子…
　　你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现（匿名网友）；

　　

　　努力是“凿壁偷光”“头悬梁锥刺股”“卧薪尝胆”“铁杵磨成针”（古人）；

　　“以上是描写‘努力需要做事’的资料，共计34项…”中学生继续说。

　　“努力的第四个相同点是‘做事’。”中学生最后说。

　　““把努力的相同点总结一下，便得到了努力的定义：努力是‘朝着目标，竭尽全力、持续的做事’…”中学生说。
　　请看下集《欧几里得86、努力的定义：朝着目标，竭尽全力、持续的做事》”

　　欧几里得86、努力的定义：朝着目标，竭尽全力、持续的做事

　　“从目前的资料中，很难找出努力的其他相同点了。”中学生说。
　　…目前的资料：努力的资料…见《欧几里得80、81》…

　　“我们之前找到的努力的四个相同点——竭尽全力、持续、有目标、做事，是努力的本质。”中学生接着说。
　　…本、质、本质：见《欧几里得22》…

　　本质：事物本身所固有的根本属性；事物区别于其它事物的根本特点。
　　作用：1.可使人们脱离具体的形象进行创新活动。
　　如：人们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等。
　　2.可以知道事物在整个事件中的作用和运作规律。
　　如：人们知道了动物的本质是细胞构成物，那么也就知道了动物都有细胞的一般规律。
　　——《欧几里得22》

　　“把努力的相同点总结一下，便得到了努力的定义：努力是‘朝着目标，竭尽全力、持续的做事’…”中学生继续说。

　　

　　“1665年，牛顿发现了广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学。在1665年，牛顿获得了学位，而大学为了预防伦敦大瘟（wēn）疫（yì）而关闭了。在此后两年里，牛顿在家中继续研究微积分学、光学和万有引力定律。
　　请看下集《欧几里得87、牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿无意于此》”

　　欧几里得87、牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿无意于此

　　“人们对‘努力’的理解不同，所以…很多人认为牛顿、莫扎特…不需要特别努力，就能取得非凡成就…”中学生最后说，“这是人们认为他们是天才的原因之一。”
　　…中学生最后说：之前也在说话（见《欧几里得86》）所以这里用“最后说”…

　　“结合努力的定义…用努力的定义进行判定…”中学生说，“可以发现…牛顿也好，莫扎特也好…他们是非常努力的人。”
　　…判、定、判定：见《欧几里得65》…
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　…努力的定义：朝着目标，竭尽全力、持续的做事…见《欧几里得86》…

　　艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）：英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》…

　　人物生平

　　1643年1月4日，艾萨克·牛顿出生于英格兰林肯郡乡下的一个小村落伍尔索普村的伍尔索普（Woolsthorpe）庄园。
　　1648年，牛顿被送去读书。
　　少年时的牛顿并不是神童。他成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等。
　　1654年，牛顿进了离家有十几公里的金格斯皇家中学读书。牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿本人却无意于此，而酷爱读书。
　　随着年龄的增大，牛顿越发爱好读书、沉思、做科学小实验。

　　

　　…疒：《说文解字》：“倚也。人有疾病，象倚箸之形。”人有疾病而倚箸之形是疒的意思。本义：1.倚，靠着。
　　2.病…
　　…
　　…瘟疫（百度百科）：恶性传染病。
　　从古至今，人类遭遇了无数的瘟疫，其中有些瘟疫特别严重。对人类后代的影响巨大的瘟疫有：非典、鼠疫、天花、流感、霍乱、疟（nüè）疾等。总的来说，瘟疫是由于一些强烈致病性物质，如细菌、病毒引起的传染病。一般是自然灾害后，环境卫生不好引起的…
　　…瘟疫（百度汉语）2：流行性急性传染病的总称。
　　中医指容易引起广泛流行的烈性传染病。如鼠疫、天花、霍乱等…

　　““你喜欢什么样的声音…用音符把它写出来…这样的话，别人也能听到。”莫扎特说。
　　请看下集《欧几里得88、沃尔夫冈·莫扎特，颠沛流离的莫扎特》”

　　欧几里得88、沃尔夫冈·莫扎特，颠沛流离的莫扎特

　　“人们对‘努力’的理解不同，所以…很多人认为牛顿、莫扎特…不需要特别努力，就能取得非凡成就…”中学生最后说，“这是人们认为他们是天才的原因之一。”
　　…中学生最后说：之前也在说话（见《欧几里得86》）所以这里用“最后说”…

　　“结合努力的定义…用努力的定义进行判定…”中学生说，“可以发现…牛顿也好，莫扎特也好…他们是非常努力的人。”
　　…判、定、判定：见《欧几里得65》…
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　…努力的定义：朝着目标，竭尽全力、持续的做事…见《欧几里得86》…

　　艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）：见《欧几里得87》。

　　沃尔夫冈·阿玛多伊斯·莫扎特（英语：Wolfgang Amadeus Mozart，1756年1月27日～1791年12月5日）：出生于萨尔兹堡，欧洲古典音乐作曲家。
　　…萨尔兹堡：奥地利城市…

　　莫扎特乐于接受传统曲式，并对其作巧妙的运用。他在音乐史上的重要性在于重塑并定义了古典音乐…不同于巴赫的均衡完美、贝多芬的桀（jié）骜（ào）不驯。莫扎特留下的重要作品总括当时所有的音乐类型，他谱出的协奏曲、交响曲、奏鸣曲、小夜曲、嬉游曲后来成为古典音乐的主要形式。
　　…形、式、形式：见《欧几里得13》…

　　莫扎特在短短的35年生活历程里完成了600余部（首）不同体裁与形式的音乐作品。
　　“平均每年完成18部…”中学生说。

　　莫扎特的音乐体现了古典主义时期的风格，完善了多种音乐体裁形式，并与海顿一起，确立了维也纳古典乐派。

　　人物生平

　　1756年1月27日，沃尔夫冈·阿玛多伊斯·莫扎特生于奥地利的萨尔茨（cí ）堡一位宫廷乐师的家庭。莫扎特的父亲列奥波尔得·莫扎特是那座城中宫廷天主教乐团的小提琴手，也是一位作曲家；母亲安娜·玛丽亚·莫扎特也热衷于音乐并会拉大提琴和小提琴。
　　1760年，父亲开始给予莫扎特最初的音乐教育，其中也包括一般性的文化基础教育。1761年，莫扎特首次作曲。
　　“你喜欢什么样的声音…用音符把它写出来…这样的话，别人也能听到。”莫扎特说。

　　

　　1762年，6岁的莫扎特在父亲的带领下到慕尼黑、维也纳、普雷斯堡作了一次试验性的巡回演出。
　　…普莱斯堡（德语：Pressburg）：即“布拉迪斯拉发”（Bratislava），是斯洛伐克共和国的首都和最大城市，面积368平方公里，人口43万（截至2019年3月底）…

　　1763年6月至1773年3月，莫扎特与父亲先后到德国、法国、英国、荷兰、意大利等国进行为期十年的旅行演出。这次演出让莫扎特对当时最先进的意大利歌剧、法国歌剧、德国器乐等体裁都有了认识。莫扎特还结识了J.C.巴赫、G.B.马蒂尼、G.B.萨马蒂尼等作曲家并学习到他们的作曲技术。
　　“莫扎特此时的作品，显示了他创作体裁的广泛性，和他对歌剧创作的兴趣…”中学生说。

　　1773年底，莫扎特与父亲返回萨尔茨堡。此时的莫扎特对自己卑微的奴仆乐师地位感到不满。为了争取人身与创作的自由，他经过激烈的斗争，终于在1777年9月获得大主教的同意，又随母亲进行了两年的旅行演出。

　　为了另谋职位，以便永远离开萨尔茨堡，莫扎特先后在慕尼黑和曼海姆教学、演出…这些经历进一步加深了莫扎特对不平等制度的认识和体会。
　　…曼海姆（Mannheim）：德国巴登-符腾堡州继斯图加特与卡尔斯鲁厄之后的第三大城市，人口约30万，面积144.96 平方千米…

　　在曼海姆时，莫扎特得到一些市民音乐家的帮助与同情，并接触到当时欧洲重要的曼海姆乐派…莫扎特听到了第一流管弦乐队的演奏。

　　1778年5月，莫扎特抵达巴黎。7月3日，莫扎特的母亲去世。
　　由于母亲病逝，加上未能谋到职位，莫扎特在1779年1月返回萨尔茨堡。
　　…
　　莫扎特在曼海姆创作了2首长笛协奏曲、1首双簧管协奏曲、7首钢琴小提琴奏鸣曲、3首钢琴奏鸣曲…这些作品反映了他受到曼海姆乐派的影响。
　　…
　　1780年，莫扎特完成歌剧《伊多梅纽》…莫扎特这一时期的作品，内容上反映了他当时受到狂飙（biāo）运动思潮的影响。
　　…飙：暴风…
　　…狂飙：急骤的暴风，比喻猛烈的潮流或力量…
　　…狂飙运动一般指狂飙突进运动…
　　…狂飙突进运动（德语：Sturm und Drang）：指1760年代晚期到1780年代早期德国新兴城市青年发动的一次文学解放运动，也是德国启蒙运动的第一次高潮。这个时期，是文艺形式从古典主义向浪漫主义过渡时的阶段，也可以说是幼稚时期的浪漫主义。
　　其名称来源于剧作家克林格的戏剧“狂飙突进”，但其中心代表人物是歌德和席勒，歌德的《少年维特的烦恼》是其典型代表作品，表达的是人类内心感情的冲突和奋进精神。
　　这次运动是由一批市民出身的青年德国作家发起的，他们受到启蒙时代影响，推崇天才，创造性的力量，并把其作为其美学观点的核心。
　　狂飙突进时期的作家受到当时启蒙运动的影响，特别是受到了卢梭哲学思想的影响，他们歌颂“天才”，主张“自由”、“个性解放”，提出了“返回自然”的口号。但另一方面这些年轻作家反对启蒙运动时期的社会关系，驳斥了过分强调理性的观点。这个运动持续了将近二十多年，从1765年到1795年，然后被成熟的浪漫主义运动所取代…

　　“1791年，莫扎特创作歌剧《蒂托的仁慈》但未获成功。9月，莫扎特完成他的最后一部歌剧《魔笛》。之后莫扎特开始创作大型宗教音乐作品《安魂曲》。
　　莫扎特于12月5日0时55分《安魂曲》还未完成时离奇死亡，享年35岁，入葬于维也纳。
　　请看下集《欧几里得89、莫扎特之死；天才就是努力的普通人》”

　　欧几里得89、莫扎特之死；天才就是努力的普通人

　　1781年6月，莫扎特再也无法忍受大主教的凌辱，毅然向大主教提出辞职（莫扎特成为欧洲历史上第一位公开摆脱宫廷束缚的音乐家），到维也纳谋生。之后他虽然名义上是一位自由作曲家，实际上仍然无力抗争封建社会对他的压迫。

　　生活的磨难对莫扎特的思想和创作产生了深刻的影响…在维也纳的10年，成为莫扎特创作中最重要的10年。

　　1782年7月，莫扎特创作的《后宫诱逃》在维也纳布尔格剧院首演。
　　1784年，莫扎特参加了共济会，对它所宣扬的自由、平等、博爱的思想有强烈共鸣，并在这种思想的启示下创作新型作品。
　　1785年，一度倒闭了的维也纳民俗歌剧院开始恢复，莫扎特有了从事歌剧创作的机会…莫扎特创作了喜剧型歌剧《剧院经理》。
　　1786年，莫扎特创作歌剧《费加罗的婚礼》。

　　1787年，莫扎特完成歌剧《唐璜（huáng）》。
　　…璜：古代一种玉器。半圆形…

　　1790年1月，莫扎特的歌剧《女人心》上演。

　　1791年，莫扎特创作歌剧《蒂托的仁慈》但未获成功。9月，莫扎特完成他的最后一部歌剧《魔笛》。之后莫扎特开始创作大型宗教音乐作品《安魂曲》。
　　莫扎特于12月5日0时55分《安魂曲》还未完成时离奇死亡，享年35岁，入葬于维也纳。

　　

　　“不过，人的资质差异众多…‘体质、身高、嗓音’只是其中很小的一部分…”中学生说。

　　“其实，世界上没有资质完全相同的人，正如世上没有完全相同的树叶一样…”中学生接着说，“我们谁都可以认为，自己天资迥异…”
　　“因为我们就是天资迥异。”中学生最后说。
　　（“我们从一出生，体质、身高、嗓音…就和别人不同。”中学生说。）

　　“天才的第三种解释是：在别人都放弃的时候不放弃，认清自己的目标，然后按部就班地前进（见《欧几里得55》）…”中学生说。
　　“由于努力的定义是‘朝着目标，竭尽全力、持续的做事’…第三种解释符合努力的定义…所以，第三种解释可以简单的说成‘天才就是努力的普通人’。”中学生最后说。

　　““根据天才的定义…世上并没有天才，所有人都是普通人…”中学生接着说，“过去被称为天才的人，只是努力的普通人。”
　　请看下集《欧几里得90、天才的真相：天才只是努力的普通人》”

　　欧几里得90、天才的真相：天才只是努力的普通人

　　“那么，天才们是如何看待‘什么是天才’这个问题的？”中学生问。
　　…天、才、天才：见《欧几里得54、55》…

　　“天才们认为自己是天才吗？”中学生接着问。

　　“以下是天才们的说法：”中学生说。

　　天才们的说法：
　　天才是1%的灵感加99%的汗水。——爱迪生
　　天才就是这样，终身劳动，便成天才！——门捷列夫

　　

　　天才就是最强有力的牛，他们一刻不停地一天工作十八小时。——勒南
　　…约瑟夫·欧纳斯特·勒南：法国宗教学家、作家、历史学家。勒南的主要成就是在历史上，著有“阿威罗伊和阿威罗伊学说”“耶稣生平”“以色列人的历史”等作品…

　　哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上。 ——鲁迅
　　我在科学方面所作出的任何成绩，都只是由于长期思索、忍耐和勤奋而获得的。——达尔文
　　在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。——爱因斯坦
　　天才不过是不断的思索，凡是有脑子的人，都有天才。——莫泊桑
　　划分天才和勤勉之别的界线迄今尚未能确定，以后也没法确定。——贝多芬
　　没有加倍的勤奋，就既没有才能，也没有天才。——门捷列夫
　　我是个拙笨的学艺者，没有充分的天才，全凭苦学。——梅兰芳
　　…

　　“天才们并不认为世上存在天才…天才们认为，是自己的勤奋，让自己成了世人眼中的天才。”中学生说。
　　…
　　“‘天才’的三种解释：一、拥有一定的天赋，在某一个领域做出突出贡献的人（见《欧几里得55》）。二、拥有天然资质的人（见《欧几里得55》）。三、在别人都放弃的时候不放弃，认清自己的目标，然后按部就班地前进（见《欧几里得55》）…”中学生说。

　　“前文中，我们证实：人的才能不是上天赋予的，是人通过努力获得的…”中学生接着说，“就是说…世上并没有拥有天赋的人。”
　　…证、实、证实：见《欧几里得89》…

　　“‘拥有天然资质的人’…”中学生继续说，“‘天然资质’指体质、嗓音、肤色、身高…”
　　“体质、嗓音、肤色、身高是人人都有的…”中学生说，“只是每个人的体质、嗓音、肤色、身高不同而已…”
　　“世上没有完全相同的树叶…世上没有天然资质完全相同的两个人。”中学生最后说。

　　“我们通过努力…在某方面达到了自己的巅峰…但是…由于天然资质不如人，我们输给了别人…”中学生说。
　　“这种时候，可以尝试其它方向，继续前进…”中学生接着说，“不断尝试…总能找到自己强过别人的天然资质…”
　　…
　　“每个人都拥有天然资质…”中学生最后说，“如果‘拥有天然资质的人’是天才的话，那么…每个人都是天才。”

　　“排除两种解释后，我们得到天才的最终解释：在别人都放弃的时候不放弃，认清自己的目标，然后按部就班地前进…”中学生说。
　　“由于努力的定义是‘朝着目标，竭尽全力、持续的做事’…第三种解释可以简单的说成‘天才就是努力的普通人’。”中学生接着说。
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　…努力的定义是“朝着目标，竭尽全力、持续的做事”：见《欧几里得86》…

　　“把人分为天才和普通人——人们过去曾这样做…”中学生说，“根据天才的定义…人并没有‘天才’‘普通人’的区分。”
　　“根据天才的定义…世上并没有天才，所有人都是普通人…”中学生接着说，“过去被称为天才的人，只是努力的普通人。”

　　““我们之所以认为‘越晦涩难懂的教育越优秀’，是因为…近代以来，我们接触的西方技术晦涩难懂…但是我们知道，它们很优秀…”中学生说。
　　请看下集《欧几里得91、严峻的大学教育：“越晦涩难懂越优秀”价值观》”

　　欧几里得91、严峻的大学教育：“越晦涩难懂越优秀”价值观

　　大学教材把人当成“能准确理解希腊字母的科学家”“一下就能看懂希腊字母的天才”“熟悉概念的人”“勤奋的人”…
　　——《欧几里得54》

　　…勤奋的人：见《欧几里得54》…
　　…天、才、天才：见《欧几里得54、55》…

　　“‘天才’的意思，我们探讨过了…‘一下就能看懂希腊字母的天才’，又是什么意思？”中学生问。
　　…希腊字母：？？？…
　　“这里指sin、cos、Δx、dy等数学符号及F（力）、a（加速度）、A（电流）等物理符号。当然，也可以指He（氦气）、Ne（氖气）、 Ar（氩气）等化学符号…”中学生说。
　　“‘希腊字母’在这里，泛指一切数理化生（数学、物理、化学、生物）字母。”中学生最后说。
　　…

　　“‘一下就能看懂希腊字母的天才’，我们可以这样理解：通常来说，人不能一下看懂希腊字母…但有些人理解很快…对于公式中出现的字母，她们一下就看懂了…”中学生说。
　　“这些一下能看懂的人，是天才…”中学生接着说。
　　“不可否认的是…有些人…在假装天才…”中学生继续说，“她们也无法一下看懂希腊字母…但是，她们预习了…”
　　“预习后…在课堂上…她们一下就看懂了希腊字母…就好像天才一样…”中学生说。
　　“这些人，其实是‘勤奋的人’。”中学生最后说。

　　“排除‘勤奋的人’，仍有部分人理解的很快…她们对数理化涵义敏感——她们能迅速理解数理化符号的涵义…”中学生说。

　　…涵：形声。从水，函（hán）声。本义：水泽众多。
　　字义：1.包容；包含：～义。
　　2.涵洞：桥～（桥和涵洞）…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

　　…义：见《欧几里得25》…
　　…涵义：基本意思是所包含的意义，意思；暗示，示意，也指带有某种意思，没有完全表露出来；或里面存在着一定意义，表面不清晰…

　　“虽然有这样的人，但是，她们数量很少…”中学生接着说。
　　“能迅速理解数理化符号的涵义，这样的学生很少…这意味着：老师在黑板上写的公式，多数学生看不懂。”中学生继续说。
　　“这也是大学教育的现况：教授在黑板上写的公式…少数大学生能一下看懂…大部分大学生和95%以上的社会人士看不懂。”中学生最后说。
　　（“‘95%以上’是我的估算。”中学生说。）

　　“现况已经如此严峻了，但是…人们正将现况朝更严峻的方向推动…”中学生说。
　　“我们认为越晦涩难懂的教育越优秀…所以…当今大学教育…把东西讲的越来越难懂…”中学生接着说。
　　…
　　“我们之所以认为‘越晦涩难懂的教育越优秀’，是因为…近代以来，我们接触的西方技术晦涩难懂…但是我们知道，它们很优秀…”中学生说。
　　“优秀技术给我们留下‘晦涩难懂’的印象，于是我们认为：优秀的技术都是晦涩难懂的；不晦涩难懂的技术不优秀；技术越晦涩难懂越优秀…”中学生接着说。
　　“这导致了‘越晦涩难懂越优秀’价值观的产生…”中学生继续说。
　　…价值观：辩定是非、优劣的标准…

　　“‘越晦涩难懂越优秀’，这种价值观渗透到生活的方方面面…”中学生最后说。

　　“‘越晦涩难懂越优秀’价值观在大学教育上的体现是：教授们正把东西讲的越来越难懂，并以此自豪…”中学生说。
　　“如果以‘越晦涩难懂越优秀’为标准，那么课程越晦涩难懂越好，越通俗易懂越差…”中学生继续说。
　　“这和人们内心的希望（课程越简洁易懂越好）背道而驰。”中学生最后说。

　　


　　““最初，人能掌握数学、物理、化学、生物、文学、历史、哲学、医学…等全部学问…”中学生说，“最初，人可以成为百科全书式的学者…”
　　请看下集《欧几里得92、价、值、价值，观，价值观，专、家、专家，隔行如隔山》”

　　欧几里得92、价、值、价值，观，价值观，专、家、专家，隔行如隔山

　　“‘越晦涩难懂越优秀’价值观在大学教育上的体现是：教授们正把东西讲的越来越难懂，并以此自豪…”中学生说。
　　…价：形声。从人，贾（jiǎ）声。本义：价格，价值。
　　字义：[jià]
　　1.价格：物～。调～。物美～廉。无～之宝。这个～可不贵。
　　2.价值：等～交换。
　　3.化合价的简称：氢是一～的元素…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
　　…值：见《欧几里得74》…
　　…价值（百度百科）：1、泛称物品的价格。
　　2、以各种等值标准或交换标准所表示的价值，如成本、重置成本、市价等。 
　　3、凡有助于促进道德上的善，便是价值。如以真、善、美为追求的理想，且持此以为衡量的准绳，则视为价值。
　　4、正面作用…
　　…价值（百度汉语）：用途或积极作用：这些资料很有参考～。粗制滥造的作品毫无～。探讨人生的～…
　　…观：见《欧几里得12》…
　　…价值观（百度百科）：认定事物、辩定是非的一种思维或取向…
　　（…思、维、思维：见《欧几里得22》…）
　　…价值观（百度汉语）2：关于价值的一定倾向、主张。起着行为取向、评价标准、评价原则和尺度的作用。一个人的价值观，受其所处历史、地位、教育水平等诸多因素的影响…
　　（“价值观，简单来说就是：辩定是非、优劣的标准。”高中生说。）

　　“如果以‘越晦涩难懂越优秀’为标准，那么课程越晦涩难懂越好，越通俗易懂越差…”中学生继续说。
　　“这和人们希望的‘课程越简洁易懂越好’背道而驰。”中学生最后说。

　　“为什么会发生这种事？”中学生问。
　　“浅谈下我的见解。”中学生说。
　　“最初，人能掌握数学、物理、化学、生物、文学、历史、哲学、医学…等全部学问…”中学生接着说，“最初，人可以成为百科全书式的学者…”
　　（“百科全书式的学者，能看懂、掌握、运用人类全部学问。”中学生说。）

　　“随着时间的推移，各学科的知识不断增加…人无法掌握人类全部学问…于是，诞生了掌握某一门学问的科学家，也就是‘专家’。”中学生继续说。
　　…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…

　　

　　““‘自己的技术，只有自己懂’，这是十分悲哀的。”中学生说。
　　请看下集《欧几里得93、“圈子”文化；不断缩小的圈子；走向穷途末路的人类学问》”

　　欧几里得93、“圈子”文化；不断缩小的圈子；走向穷途末路的人类学问

　　“随着时间推移，人类学问继续增加…当初的学科…继续分化…”中学生说。
　　…学问：学问是一个汉语词汇，解释为学习和询问，知识等。
　　词义：1.反映客观事物的系统知识：这是一门深奥的～。
　　2.知识；学识：有～。～很大…

　　…分：见《欧几里得24》…
　　…化：见《欧几里得54》…
　　…分化：1.事物向不同的方向发展、变化。
　　2.在生物个体发育的过程中，细胞向不同的方向发展，在构造和功能上，由一般变为特殊的现象，例如胚（pēi）胎时期的某些细胞分化成为肌细胞，另一些细胞分化成为结缔（dì）组织…

　　“例如，数学学科又逐渐分成几何、代数、数论，应用数学等学科…”中学生接着说。
　　“分化出的学科和当初的数学、物理、化学、历史、医学…一样：只有专门研究这门学问的人能看懂，其他人则很难看懂。”中学生继续说。
　　“就我们来说…我们可能是某门学问的专家…但对绝大多数学问来说…我们是普通人、门外汉…”中学生最后说，“这意味着：我们看不懂世界上绝大多数学问。”

　　“我们虽然看不懂，但是…我们知道那些学问很优秀。”中学生说。


　　“‘我们知道那些学问很优秀’，这个结论源于我们对人类文明的整体感知…”另一位中学生说。
　　…我们对人类文明的整体感知：人类文明发展的越来越精细、深奥。学 门学科的人很难看懂其他学科…
　　“从我们自身角度看，我们掌握着某门学问，但是外人看不懂…”中学生接着说，“另一方面，我们弄不懂飞机、高楼大厦、汽车…是怎么被做出来的…但我们知道，做出这些东西的人和她们的技术很优秀。”

　　“对人类文明的整体感知，及我们自身的经验…使我们认为：人看不懂其他学科很正常；很多技术…虽然它们晦涩难懂，但是它们很优秀…”中学生继续说。
　　“这促成了‘越晦涩难懂越优秀’价值观的产生…”中学生最后说。
　　…价、值、价值，观，价值观，“越晦（huì）涩难懂越优秀”价值观：见《欧几里得92》…

　　“学者、教授、科学家…最初，他们是能相互理解的：他们理解他们的学问；他们掌握着他们都懂的技术…”中学生说。
　　“他们形成了‘圈子’…”中学生接着说。
　　…圈子：集体的范围或活动的范围：小～。生活～。他陷在敌人～里了…

　　拓展：圈子文化
　　在中国，现今流行圈子文化——同学讲同学圈子，朋友讲朋友圈子，战友讲战友圈子，官场讲官场圈子…

　　


　　…驳：会意。从马，从爻（yáo）。甲骨文字形，右边是“爻”，表示马的毛色混杂，左边是“马”。本义：马毛色不纯。

　　衍（yǎn）义：引申指“有不同见解，说出自己的理由来，否定旁人的意见”。如：批驳、驳斥、驳倒（dǎo）、反驳、驳论。驳议。
　　衍义：引申指“大批货物用船分载转运”。如：驳运、驳船（转运用的小船。亦作“拨船”）。
　　字义：1.指出对方的意见不合事实或没有道理；说出自己的意见，否定别人的意见：批～。反～。～价。这种论点不值一～。
　　2.一种颜色夹杂着别种颜色；不纯净：斑～。
　　3.驳运：起～。～卸…
　　（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
　　…意：意思：来～…
　　…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
　　…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）

　　…反驳：用确凿的事实或正确的观点证明某种言论是虚假的…
　　（…证、明、证明：见《欧几里得6》…）

　　““科学家认为和普通人讲解技术，是在浪费时间…”中学生最后说。
　　“另一方面，科学家给普通人讲技术时，多数普通人确实不知道他们在说什么…这确实浪费了科学家们的时间…”中学生说。
　　请看下集《欧几里得94、在“越晦涩难懂越优秀”价值观中身不由己的科学家》”

　　欧几里得94、在“越晦涩难懂越优秀”价值观中身不由己的科学家

　　“‘自己的技术，只有自己懂’，这是十分悲哀的。”中学生说。
　　“出现这种问题后，专家、学者不从自身找原因…”中学生接着说，“在‘越晦涩难懂越优秀’价值观驱使下，专家、学者…他们将普通人看不懂技术的原因，归咎于普通人‘太笨’‘没有认真学’‘是普通人’…”
　　“专家、学者…他们自己…则更执着的开发鲜有人懂的新技术…并嘲笑看不懂他们技术的普通人…”中学生继续说。
　　“普通人…在学问上远远落后于科学家…科学家们的说法、做法，普通人根本做不出让人信服的反驳…”中学生最后说。
　　…反、驳、反驳：见《欧几里得93》…

　　“科学家们喜欢这种状况吗？…不，科学家们并不喜欢…”中学生说，“但是…在‘越晦（huì）涩难懂越优秀’价值观洪流中，科学家们身不由己…”
　　…价、值、价值，观，价值观，“越晦涩难懂越优秀”价值观：见《欧几里得92》…

　　“科学家们被洪流挟（xié）持着往前走…一直走一直走…即便理解他们技术的人越来越少，即便最后只剩下自己…他们还是执着的往前走…”中学生接着说。
　　“很少有科学家愿意停下来，跟普通人讲解技术…”中学生继续说，“对科学家来说，开发新技术能让人类文明进步——开发新技术有意义，和普通人讲解技术不能让人类文明进步——和普通人讲解技术没有意义…”

　　…意义：？…

　　意义和目的有关。
　　能达成目的的言行有意义，不能达成目的的言行没有意义：对小学生来说，目的是“提高成绩”，那么学音乐美术体育没有意义；目的是锻炼身体，那么学音乐美术语文算术没有意义…
　　——《自然科学价值观》

　　“科学家认为和普通人讲解技术，是在浪费时间…”中学生最后说。
　　“另一方面，科学家给普通人讲技术时，多数普通人确实不知道他们在说什么…这确实浪费了科学家们的时间…”中学生说。
　　…
　　“理解自己的人越来越少…在同行不理解情况下，科学家甚至觉得自己的研究没有意义、自己的生命没有意义…”中学生说，“越研究越孤独，越研究越痛苦——当今科学界陷入了这种困境…”

　　“科学家们并不喜欢科学界现在的样子，但他们无力改变…”中学生最后说，“科学家们像陷入泥潭一样：虽然他们拼命挣扎，但人类学问还是在‘越晦涩难懂越优秀’价值观驱使下，走向远离普通人世界的另一个世界…”

　　“为改变‘越晦涩难懂越优秀’价值观…让人类学问服务于普通人…有学者写了论文…”中学生说，“论文名字是《自然科学价值观》。”
　　…《自然科学价值观》：网上能搜到…
　　“‘销量’是《自然科学价值观》介绍的一个公理。”中学生接着说。

　　


　　““个人的力量，是抗衡不了世界的…”一位被称为“笨蛋”的学生说。
　　请看下集《欧几里得95、我们的教育，是为了告诉‘我们是笨蛋’而存在的吗？》”

　　欧几里得95、我们的教育，是为了告诉‘我们是笨蛋’而存在的吗？

　　“同样的课，为什么有人听懂有人听不懂？”一位教授说。
　　“因为人的智商不同…”教授接着说，“听懂的学生智商高，他们是优秀学生…听不懂的学生智商低…他们是差生、笨蛋…”
　　“大学教育原本就是精英教育——专门教授在高考中取得高分的学生…”教授继续说，“淘汰掉差生、笨蛋后，作为精英的大学生理应听懂我的课…”
　　“学生听不懂我的课，说明他们没别人聪明——说明他们不适合继续接受教育…”教授最后说。

　　


　　“言灵，一词最早出自日文。信者认为在言语中，有着一股不可轻视的力量，誓言或诅咒为其行使的例子。不信者则认为，不过是“自我催眠”，或是不自觉的驱使信徒去实行而已。
　　请看下集《欧几里得96、残酷的生活——笨蛋是怎样炼成的；言灵；角色扮演》”

　　欧几里得96、残酷的生活——笨蛋是怎样炼成的；言灵；角色扮演

　　“学生时代，老师将听不懂课的我们看成‘差生’‘笨蛋’…但请相信，我们不是笨蛋…”中学生说，“听不懂课时，就不听…世界很广阔…我们可以通过网络选择自己喜欢的课…”
　　（“我们可以通过网络学习自己喜欢的知识。”中学生说。）
　　“听不懂课时，出问题的不是我们（我们不是笨蛋）…出问题的是课程…”中学生接着说，“是课程太晦涩难懂了…”

　　…
　　“当人认为自己是‘差生’时，他会不自觉的扮演好‘差生’这个角色，最终符合‘差生’的定义。”高中生说。
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　“为解释这一切是如何发生的，我们先来看一张图：”高中生接着说。

　　

　　“看着这张纸，你有什么感觉？”高中生问。
　　“你会觉得自己是差生…你会想到那些证明‘自己是差生’的事实：考试成绩没别人好；没考上大学；没考上老师没考上公务员…”高中生说，“于是，你更确信自己是差生了。”

　　“在以后漫长的人生中，你的精力会集中到‘差生’上…你会扮演好‘差生’…”高中生继续说，
　　（“‘差生’太好扮演了…做什么都不认真…自然而然，就成了差生…”中学生说。）
　　“最后，你真的成了一名差生。”高中生最后说。

　　“另一方面。如果白纸上是‘天才’两个字…你会想到证明自己是天才的事实：跑步比别人快；唱歌比别人好听；长的比别人好看…”高中生说。
　　“最后，你真的成了一名天才。”高中生接着说。

　　“所以，‘差生’也好、‘天才’也罢，只是场文字游戏…”高中生最后说，“你觉得自己是什么，你就是什么。”

　　“人们都在努力扮演自己选择的角色，”大学生说，“人生是场角色扮演游戏。”

　　“如果大学教材把希腊字母讲得小学生都能理解，小学生就能读懂大学教材。
　　请看下集《欧几里得97、每个人都是潜在的爱因斯坦》”

　　欧几里得97、每个人都是潜在的爱因斯坦

　　是否真的存在天才？——知乎网友
　　“有人认为，人的智力差距微乎其微，天才不过是机会比大家好，有高人带着他，他的智力被开发出来。 真的是这样吗？ 像爱因斯坦、特斯拉、黎曼这些人物，在他们各自的领域，智力是否真有过人之处。 还是靠机遇和努力，才取得成功，跟先天素质无关？ 换句话说，地球上有60亿潜在的爱因斯坦，人人都能成为梵高、李白、托尔斯泰、韩信，是这样吗？”网友补充说。

　　“用之前我们总结出的天才定义推导，能得出‘每个人都是潜在的爱因斯坦’推论。”中学生说。
　　…总、结、总结：见《欧几里得86》…
　　…天、才、天才：见《欧几里得54、55》…
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　…天才定义：努力的普通人…
　　（…努力：朝着目标，竭尽全力、持续的做事…见《欧几里得86》…）

　　…推、导、推导：见《欧几里得7》…
　　…论、推论：见《欧几里得66》…

　　“只要愿意，每个人都能做出爱因斯坦等级的成就。”中学生最后说。

　　


　　“站在普通人角度编写教材…详细解释遇到的，普通人‘一下不能理解’的概念、字母…使普通人彻底掌握概念、字母…”中学生接着说。
　　…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

　　“用普通人彻底掌握的概念、字母组合出傅里叶变换、广义相对论等知识…普通人就能一下理解、掌握傅里叶变换、广义相对论…”中学生继续说。
　　“…理论上讲，大学教材…可以编得小学生都能学会。”中学生最后说。

　　“任何问题的复杂化，都是因为没有抓住最深刻的本质，没有揭示最基本规律与问题之间最短的联系，只是停留在表层的复杂性上，反而离解决问题越来越远。最简单的往往是最合理的。——费米
　　请看下集《欧几里得98、如何掌握人类全部知识？》”

　　欧几里得98、如何掌握人类全部知识？

　　“详细解释遇到的、普通人理解困难的每一个字、词、字母…这很耗费篇章…”中学生说，“比如说，《欧几里得》迄今为止虽然只是讲推理方法（甚至还没讲到几何问题），就已经达到98章…”中学生接着说。
　　（“这些知识…在学校，至少要一学期才能学完。”中学生说。）
　　…推、理、推理：见《欧几里得12》…

　　“但是…如果不把字、词、字母讲透彻…普通人便看不懂字、词、字母…”中学生最后说，“字、词、字母组合出的算式、方程、复杂知识…普通人就更看不懂了。”
　　…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…

　　…
　　“普通人大学毕业后…让她们回忆在学校学的东西…她们回想起来的知识很少…她们应用出来的知识更少…”中学生说。
　　“不刨根问底的讲知识，把学生当成‘一下就能看懂希腊字母的天才’，快速讲解麦克斯韦方程、广义相对论…大学里，这种看似高效的讲解方法，其实并不高效…”中学生接着说，“多数学生没学到知识…她们的时间也被浪费掉了…”
　　…希腊字母：这里泛指一切数理化生（数学、物理、化学、生物）字母，如sin、cos、Δx、dy、A（电流）、O2（氧气）…
　　…天、才、天才：见《欧几里得54、55》…

　　“普通人看不懂的词、字母…它们组合出的知识…普通人也看不懂…”中学生最后说，“…讲再多的课、说再多的话，也没用。”

　　“知识是拼成的。”另一位中学生说。
　　“‘人类文明’这个大知识是由哲学、数学、物理、化学、生物、历史、金融等知识拼成的…”中学生接着说，“数学又是由词、字母、概念、推理方法等知识拼成的…”
　　“理解了小知识…理解起大知识就会很轻松。”中学生最后说。

　　“人类文明看起来复杂、繁多…但是…拼出人类文明的起始知识并不多。”中学生说。
　　“文字、概念、自然科学中的公理、推导方法、音符…便是这些起始知识。”中学生接着说。
　　“人虽然不能掌握人类全部知识，但是，人可以掌握起始知识。”中学生继续说。
　　“把起始知识当公理，能推导出人类全部知识。”中学生最后说。

　　

　　…恩利克·费米：美籍意大利著名物理学家、美国芝加哥大学物理学教授，1938年诺贝尔物理学奖得主。
　　1942年，费米领导小组在芝加哥大学建立了人类第一台可控核反应堆 （芝加哥一号堆，Chicago Pile-1）、为第一颗原子弹的成功爆炸奠定基础，人类从此迈入原子能时代，而费米也被誉为“原子能之父”。
　　费米在理论和实验方面都有第一流建树，这在近现代物理学家中是屈指可数的，而费米子、100号化学元素镄（fèi）、美国著名的费米实验室（Fermilab）、芝加哥大学的费米研究院（The Enrico Fermi Institute）都是为纪念他而命名的…

　　““人们通过其它途径学习知识…考文凭时，人们才用到大学课本…”中学生说，“人们用课本上的、编教材的人给的答案去回答试卷上的、编教材的人出的问题…”
　　请看下集《欧几里得99、人们翻大学课本不是为了知识，而是为了考文凭》”

　　欧几里得99、人们翻大学课本不是为了知识，而是为了考文凭

　　大学教材把人当成“能准确理解希腊字母的科学家”“一下就能看懂希腊字母的天才”“熟悉概念的人”“勤奋的人”…
　　——《欧几里得54》

　　“学生并不是‘能准确理解希腊字母的科学家’…就是说：如果教材没把希腊字母讲清楚，学生就真的不能理解它们…”中学生说，“不言而喻…这种字母组合出的公式…学生也不能理解。”
　　…喻：明白；了解：家～户晓。不言而～…
　　…不言而喻：不用说就可以明白。形容道理很浅显…

　　“‘一下就能看懂希腊字母的天才’…通过前文的叙述（《欧几里得55~98》），特别是天才们自己的说法（见《欧几里得97》），我们了解到：世上并不存在‘一下就能看懂希腊字母的天才’…”中学生接着说。
　　“学生是还没学会知识的人，不是已经学会知识的人…”中学生继续说，“她们不是‘熟悉概念的人’…”
　　“勤奋的人？”中学生问。
　　“在《欧几里得54》，我们对人的本性做过探讨…最后得出的结论是：人是种‘只要能偷懒就不会勤奋’的动物（其它生物也一样）…”中学生说。

　　“就是说，世上并没有愿意勤奋的人。”中学生最后说。

　　…
　　“对于大学教材，人如果没‘一下听懂，一下看懂’，就不会再去听、再去看了…”中学生说。（“这是人的懒惰天性决定的…我们无法改变…”中学生说。）

　　“为让人去听、去看他们不能‘一下听懂，一下看懂’的东西，我们会采取一些措施…”中学生接着说，

　　“过去（私塾时代）…为让学生诵读他们看不懂的文言文…老师会用戒尺打他们手心…”中学生继续说，“家长见孩子贪玩…会让孩子趴在长条凳上，然后用藤条猛抽他的屁股…”

　　


　　““欧多克斯的新比例论，以几何量（而非自然数）作为算术的基础，仅仅是暂时解决了第一次数学危机。而戴德金分割，则是从（由自然数构造出的）有理数，直接构造出无理数，从而彻底解决了危机…”网友“思考思考的动物”说。
　　请看下集《欧几里得100、直接构造出无理数，彻底解决第一次数学危机》”

　　欧几里得100、直接构造出无理数，彻底解决第一次数学危机

　　对于戴德金分割，网友“汇知园”有自己的思考。
　　…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…
　　…戴德金分割：见《欧几里得45、46》…
　　…汇、知、园、汇知园：见《欧几里得47》…

　　


　　2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。

　　教案内容：…
　　200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。
　　…量、比，无、理、无理数，不可公度，欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，欧多克斯处理不可公度的办法：见《欧几里得24~34》…
　　“欧多克斯的新比例论，以几何量（而非自然数）作为算术的基础，仅仅是暂时解决了第一次数学危机。而戴德金分割，则是从（由自然数构造出的）有理数，直接构造出无理数，从而彻底解决了危机…”网友“思考思考的动物”说。
　　…有、有理、有理数：见《欧几里得25》…

　　“顺便说一下，有理数和无理数中的‘理’并不是指‘有道理’或‘讲道理’的意思，这两个词的出现是翻译的问题…”中学生说。
　　“在英文中，有理数和无理数分别是rational number和irrational number，而rational是一个多义词，含有‘有理的’、‘比的’两种意思。”中学生接着说，“rational numble本意是指‘可比数’，即可以写成两个整数的比的数。”
　　…rational（英语）：adj.理性的；合理的；理智的；明智的；清醒的
　　n.合理的事物；有理数；懂道理的人；人类；〈英〉合理的服装；〈牛津词典〉定量、定比…
　　…number：n.数字；数；数量；编号；序数；（电话、传真等的）号码…
　　…rational number：n.有理数…
　　…irrational：adj.不合逻辑的；没有道理的
　　n.无理数；无理性的生物…
　　…irrational number：n.无理数…

　　“在东方，最早把rational numble翻译过来的是一个日本人。可能那个日本人的英语不好，数学又不精通，就把它翻译成‘有理数’。而中国当时是从日本那里接触西方文化的，日本字又与汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来…”中学生继续说。
　　“…形成习惯，已经积重难返了。”中学生最后说。

　　“千百年来，黄金分割问题被广泛运用于几何学、建筑设计、绘画艺术、舞台艺术、音乐艺术等方面，甚至也存在于自然界中。17世纪欧洲著名科学家开普勒说过：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。”
　　请看下集《欧几里得101、徐光启李善兰，外项、内项、中项，比例的基本性质，黄金分割》”

　　欧几里得101、徐光启李善兰，外项、内项、中项，比例的基本性质，黄金分割

　　rational number 是如何被误译为「有理数」的？——网友“予一人”问

　　

　　“柏拉图学园（科学院）：“柏拉图学园”又叫“阿加德米”（Academy）学园。今天的大学“学院”就是从“阿加德米”这个词来的。
　　请看下集《欧几里得102、欧多克斯的生平，柏拉图，“学院”的来历，历史之父》”

　　欧几里得102、欧多克斯的生平，柏拉图，“学院”的来历，历史之父

　　欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408 BC-355 BC）：约公元前400年生于奈得斯，希腊天文学家和数学家。
　　…BC：公元前（基督教会历法用）…

　　欧多克斯在柏拉图学园中学习时，处境十分困难。他很贫困，故住在雅典的港口比雷埃夫斯，因为这里可以找到较便宜的住处。这样他每天往返学校不得不走十英里（16.09344公里）。毕业后他到了埃及，进行天文学的、我们今天称作研究生的学业。
　　…比雷埃夫斯港：位于希腊东南部，为希腊最大港口，也是全球50大集装箱港及地中海东部地区最大的集装箱港口之一。2006年，比雷埃夫斯港排名欧洲十大集装箱码头之一…

　　


　　“演绎推理：由一般到特殊、由整体到局部的推理方法。如：由“天鹅都是白色的”这个一般命题（整体命题），推出“湖里的天鹅是白色的”这个特殊命题（局部命题），就是演绎推理。
　　请看下集《欧几里得103、第一次数学危机的意义，演、绎、演绎，演绎推理，确、实、确实》”

　　欧几里得103、第一次数学危机的意义，演、绎、演绎，演绎推理，确、实、确实

　　网友荟（huì）文苑（yuàn）就“第一次数学危机”写过教案。
　　…荟、苑、教案：见《欧几里得18》…
　　…第一次数学危机：见《欧几里得15》…
　　


　　…绎（yì）：形声字。从糸（mì），睾（yì）声。糸（纟）表意，篆（zhuàn）书之形像一缕丝；睾（yì）表声。抽丝时丝头纷繁，必须细心观察才能找出丝头。本义是抽丝，引申为寻求、分析。
　　字义：1.抽丝。
　　2.理出头绪；寻究原因：寻～…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
　　…形声字：用形声造字法造出来的字…]

　　…演绎（百度百科）：从一些命题出发，运用逻辑的规则，导出另一命题的过程…
　　（…命、题、命题：见《欧几里得70》…
　　…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…）

　　…演绎（百度汉语）2：1.一种推理方法，由一般原理推出关于特殊情况下的结论。三段论就是演绎的一种形式（跟“归纳”相对）。
　　2.铺陈：一首民歌～出一段感人的爱情故事。
　　3.展现；表现：～时尚潮流。～不同的风格…
　　（…原、理、原理：见《欧几里得41》…
　　…三段论：见《欧几里得7》…
　　…形、式、形式：见《欧几里得13》…
　　…归、纳、归纳：见《欧几里得38》…）

　　演绎推理（百度百科）：一般到特殊的推理方法。推论前提与结论之间的联系是必然的，是一种确实性推理。
　　…前、提、前提：见《欧几里得13》…
　　…结、论、结论：见《欧几里得66》…

　　…确：形声。左形，右声。本义：坚固。
　　字义：1.副词。坚定地；的确：～信不疑。～有其事。
　　2.真实：千真万～…
　　…实：见《欧几里得7》…
　　…确实：1.真实可靠：～性。～的消息。这件事他亲眼看到，说得确确实实。
　　2.对客观情况的真实性表示肯定：他最近～有些进步。这件事～不是他干的…
　　…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

　　所谓演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导（即“演绎”），得出具体陈述或个别结论的过程。

　　关于演绎推理，还存在以下几种定义：
　　①演绎推理是从一般到特殊的推理；
　　②它是前提蕴涵结论的推理；
　　③它是前提和结论之间具有必然联系的推理。
　　④演绎推理就是前提与结论之间具有充分条件或充分必要条件联系的必然性推理。
　　…必、然、必然：见《欧几里得43》…

　　演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用。这是因为演绎推理保证推理有效的根据并不在于它的内容，而在于它的形式。演绎推理的最典型、最重要的应用，通常存在于逻辑和数学证明中。

　　演绎推理（百度汉语）2：也叫演绎法、演绎。通常指从一般的、普遍性的前提推出个别的、特殊性的结论的推理。前提与结论之间的联系是必然性的，只要前提真，推理形式正确，就一定得到真的结论。
　　…真：真实…见《欧几里得16》…
　　…真实：与事实相符；不假：～情况。～的感情…见《欧几里得57》…
　　“‘真实’是‘符合事实’。”中学生说。
　　“真，可以简单的理解为‘符合事实’。”中学生最后说。

　　演绎推理3：由一般到特殊、由整体到局部的推理方法。如：由“天鹅都是白色的”这个一般命题（整体命题），推出“湖里的天鹅是白色的”这个特殊命题（局部命题），就是演绎推理。

　　“至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命（指第一次数学危机），也就继续走着以算为主，以用为主的道路。
　　而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了杰出的贡献。  
　　请看下集《欧几里得104、算、法、算法，技、术、技术，第一次数学危机的意义》”

　　欧几里得104、算、法、算法，技、术、技术，第一次数学危机的意义

　　2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
　　…荟、苑、教案：见《欧几里得18》…
　　…第一次数学危机：见《欧几里得15》…

　　

　　“根2（根号2；√2）的发现促进人们去认识和理解无理数，另一方面，导致了公理几何和逻辑的诞生，并最终导致了科学的诞生。
　　请看下集《欧几里得105、什么导致了科学的诞生？认、知、认知，认知水平》”

　　欧几里得105、什么导致了科学的诞生？认、知、认知，认知水平

　　2019-04-13，荟（huì）文苑（yuàn）在360图书馆（网站名）发表名为“第十九课时 毕达哥拉斯与第一次数学危机”的教案。
　　…荟、苑、教案：见《欧几里得18》…
　　…第一次数学危机：见《欧几里得15》…

　　


　　他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

　　希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴：它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

　　“常识（百度汉语）：一般的、普通的知识（对于专门知识而言）。
　　请看下集《欧几里得106、每一次危机都是进步，数学如此，人类如此！》”

　　欧几里得106、每一次危机都是进步，数学如此，人类如此！常、识、常识

　　2018-01-31 08:13 网友“学霸数学”发表名为《√2与第一次数学危机》的文章。

　　


　　…常：本意是古人穿的下裙，基本义有永久的、固定不变的，引申指一般的，普通的，再引申出经常、平常的意思。
　　由永久不变引申为规律、准则，特指封建社会中人与人关系的准则，如三纲五常。

　　字义：1.一般；普通；平常：～人。～识。～态。
　　2.不变的；固定的：～数。冬夏～青。
　　3.时常；常常：～来～往。我们～见面。
　　4.指伦常：三纲五～…
　　…识：见《欧几里得5》…

　　…常识（百度百科）：社会对同一事物普遍存在的日常共识。

　　专业释义
　　常识，一般指从事各项工作以及进行学术研究所需具备的相关领域内的基础知识。

　　详细解释
　　常识随着社会形态的不同，时代的变化而定义，现代社会定义的常识不一定能用在旧社会，在某一个圈子或者国家流行的常识也不一定能适用于其它领域。常识具体指的是在一个社会环境中人与人之间普遍存在的日常共识，而无论是任何学术问题或是人与人之间基本交流都是基于常识上来做进一步探讨的…

　　…常识（百度汉语）2：一般的、普通的知识（对于专门知识而言）…

　　“常识，即普通知识：一个生活在社会中的心智健全的成年人所应该具备的基本知识，包括生存技能（生活自理能力）、基本劳作技能、基础的自然科学以及人文社会科学知识等…”中学生说，“这里指古希腊人的常识。”

　　…有、理、有理、有理数：见《欧几里得25》…

　　“任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数”，这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！
　　可是，我们根据经验所确信的，完全符合常识的论断，居然被小小的√2的存在推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

　　希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚．
　　…希帕索斯被淹死：详见《欧几里得17、18》…

　　约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯解决了关于无理数的问题。他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录，并且和戴德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。
　　…欧多克斯：见《欧几里得102》…
　　…无、理、无理数：见《欧几里得27》…
　　…欧多克斯解决了关于无理数的问题：见《欧几里得30~32》…
　　…公、理、公理，化，方、法、方法，公理化方法：见《欧几里得1~3》…
　　…比、例、比例：见《欧几里得29》…
　　…理、论、理论：见《欧几里得5》…
　　…不可公度、欧多克斯处理不可公度的办法：见《欧几里得24~34》…
　　…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…
　　…戴德金于1872年绘出的无理数的现代解释：即戴德金分割。见《欧几里得44~46》…

　　“21世纪后的中国中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量带来的某些困难和微炒之处。
　　请看下集《欧几里得107、通、分、通分，分数的基本性质，约、约分，量、不可通约量》”

　　欧几里得107、通、分、通分，分数的基本性质，约、约分，量、不可通约量

　　2018-01-31 08:13 网友“学霸数学”发表名为《√2与第一次数学危机》的文章。

　　

　　…
　　…量：见《欧几里得27》…
　　…不可通约量：不能通分或约分的量（即不能化为分数的数）…

　　“自然的法则，限于人类的认知程度，包括已知的和未知的潜在规律。
　　请看下集《欧几里得108、“则”字使我们看到商周青铜器铸造的一道工序》”

　　欧几里得108、“则”字使我们看到商周青铜器铸造的一道工序

　　2018-01-31 08:13 网友“学霸数学”发表名为《√2与第一次数学危机》的文章。
　　


　　…法则：指法度、规范、规则、规定、规律、准则、定理、定律、效应、现象、方法、办法等。

　　基本解释：
　　1、规律。
　　自然的法则，限于人类的认知程度，包括已知的和未知的潜在规律。
　　（…认、知、认知：见《欧几里得105》…）

　　2、法度；规范。
　　3、方法，办法。
　　我教你一个法则，唤做负荆请罪。-——《水浒传》…

　　第一次数学危机（百度百科）：是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊。自根号2的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。
　　…无、理、无理数：见《欧几里得27》…
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　…无理数的定义出现：见《欧几里得29》…

　　这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…

　　“公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理。
　　请看下集《欧几里得109、第一次数学危机简介，毕达哥拉斯悖论》”

　　欧几里得109、第一次数学危机简介，毕达哥拉斯悖论

　　2016.12.19，网友“大颖（yǐng）子”发表名为《第一次数学危机简介》的文章。

　　


　　边长为1的正方形，对角线长为d。d如果是两整数之比，则两整数不可通约。
　　用反证法证明如下：设直角△ABC两直角边为a=b，斜边为c，依勾股定理有c2=2a2（c的平方=2×a的平方）。
　　…反、证、法、反证法：见《欧几里得72》…

　　∵ a和c可通约
　　∴ 设已将a和c中的公约数约去，即a、c是互质的整数

　　∵ c2=2a2（c的平方=2×a的平方）
　　∴ c为偶数，a为奇数

　　不妨令c=2m，则有：（2m）2=2a2[（2m）的平方=2×a的平方]
　　（2m）2=2a2化简一下得2×m2=a2（2×m的平方=a的平方），于是a为偶数。
　　这与前提a为奇数矛盾。

　　这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖（bèi）论。
　　…悖、论、悖论：见《欧几里得27》…

　　“顺便说一下证明上述对角线长度是无理数的方法：”中学生说。

　　证明上述对角线长度是无理数的方法：
　　∵ “a既是奇数、又不是奇数”不符合数学事实
　　∴ “a既是奇数、又不是奇数”为假
　　…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
　　…∵：数学符号“因为”…见《欧几里得77》…
　　…∴：数学符号“所以”…见《欧几里得77》…
　　…假：不符合事实…见《欧几里得75》…

　　“a和c可通约”能推导出“a既是奇数、又不是奇数”的推论。
　　…推、导、推导：见《欧几里得7》…
　　…论、推论：见《欧几里得66》…

　　∵ 推导方法正确，推论假，推导出推论的命题必为假（逻辑关系）
　　∴ “a和c可通约”为假
　　…命、题、命题：见《欧几里得70》…
　　…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

　　∵ 两个互相矛盾的命题，不可能同时为真，必有一假（矛盾律）
　　…矛盾律：见《欧几里得73》…

　　∴ “a和c可通约”“a和c不可通约”必有一假

　　∵ 两个互相矛盾的命题，不可能同时为假，必有一真（排中律）
　　…排中律：见《欧几里得72~74》…

　　∴ “a和c可通约”为假时，“a和c不可通约”为真
　　∴ a和c不可通约

　　“毕达哥拉斯悖（bèi）论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了，有理数的尊崇地位受到挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称之为第一次数学危机。
　　请看下集《欧几里得110、世、界、世界，观，世界观，哲、学、哲学》”

　　欧几里得110、世、界、世界，观，世界观，哲、学、哲学

　　2016.12.19，网友“大颖（yǐng）子”发表名为《第一次数学危机简介》的文章。
　　


　　…世：金文是三个“十”递相连接，表示延续，篆文则将三个点演变为三个短横。隶变后楷书写作世。《说文解字》：“世，三十年为一世。”本义为三十年，后引申为一代、一世；世世代代；时代；世界等。

　　字义：1.时代：近～。当～。
　　2.人的一生：一生一～。
　　3.一代传一代的：～医。～交。
　　4.一代一代父子相承而形成的辈分：第十五～孙。
　　5.世界；社会：举～无双。公之于～…

　　…界：见《欧几里得47》…
　　…世界：广义上来讲，就是全部、所有、一切。一般来讲世界指的是人类赖以生存的地球。
　　词义：
　　1.佛教指宇宙。
　　2.地球上所有地方。
　　3.自然界和人类社会的一切事物的总和。
　　4.某个活动范围或领域…
　　…观：见《欧几里得12》…

　　世界观（百度百科）：人们对整个世界以及人与世界关系的总的看法和根本观点。这种观点是人自身生活实践的总结，在一般人那里往往是自发形成的，需要思想家进行概括和总结并给予理论上的论证，才能成为哲学（艾斯注：简单而言，世界观的实质即是从根本上去理解世界的本质和运动根源，解决的是世界是“what”的问题）。
　　…实、践、实践：见《欧几里得11》…
　　…理、论、理论：见《欧几里得5》…
　　…概、括、概括：见《欧几里得32》…）
　　…总、结、总结：见《欧几里得86》…
　　…哲：《说文解字》：“知也。从口，折声。”

　　形声。从口，折声。本义：聪明，有智慧。
　　字义：1. 有智慧：～人。～理（关于宇宙和人生的原理）。～学（关于自然知识和社会知识的概括）。
　　2.聪明智慧的人：先～…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

　　…学：见《欧几里得4》…
　　…哲学（百度百科）：关于世界观和方法论的理论体系。
　　是对基本和普遍的问题的研究的学科，是关于世界观的理论体系。
　　世界观是关于世界的本质、发展的根本规律、人的思维与存在的根本关系等普遍基本问题的总体认识，方法论是人类根据世界观形成的认识世界的方法…
　　（…体、系、体系：见《欧几里得27》…
　　…方、法、方法，论，方法论：见《欧几里得3》…）

　　…哲学（百度汉语）：关于世界观、价值观、方法论的学说。是在具体各门科学知识的基础上形成的，具有抽象性、反思性、普遍性的特点。

　　源出希腊语philosophia，意即爱智慧。是关于世界观的学说。是自然知识和社会知识的概括和总结…
　　（…价、值、价值，观，价值观：见《欧几里得92》…
　　…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
　　…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…）

　　世界观（百度汉语）：也叫宇宙观。人对世界总体及对其自身在世界中的地位和作用的看法。是人在社会实践中形成的自然观、社会历史观、人生观等的总和。其理论表现形式就是哲学。
　　…形、式、形式：见《欧几里得13》…

　　…
　　第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。
　　首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了。
　　…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

　　之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。
　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　…实、数、实数：见《欧几里得37》…
　　…数、学、数学，分、析、分析，数学分析：见《欧几里得49》…
　　…基、础、基础：见《欧几里得37》…

　　再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的。
　　…推、理、推理：见《欧几里得12》…
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…
　　…演、绎、演绎，演绎推理：见《欧几里得103》…
　　…几、何、几何：见《欧几里得28》…
　　…公、理、公理，体、系、体系，公理体系：见《欧几里得41》…

　　第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。
　　…严、密、严密：见《欧几里得53》…

　　“历史上，人们对“证明根号2是无理数”很感兴趣（“就像人们对证明勾股定理很感兴趣一样。”中学生说）。
　　请看下集《欧几里得111、历、史、历史，欧几里得证明√2是无理数的方法》”

　　欧几里得111、历、史、历史，欧几里得证明√2是无理数的方法

　　历史上，人们对“证明根号2是无理数”很感兴趣（“就像人们对证明勾股定理很感兴趣一样。”中学生说）。

　　

　　…
　　√2=p/q两边平方得：2=（p/q）2（2=“p/q”的平方）
　　即：2=p2/q2（2=“p的平方”/“q的平方”）
　　通过移项，得：2q2=p2（2×q的平方=p的平方）
　　∴p2（p的平方）为偶数[p的平方是某整数平方的2倍，由偶数定义（能被2整除的数）知，p的平方是偶数]
　　∴p为偶数（奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数）

　　不妨令p=2m，则有：2q2=（2m）2（2×q的平方=“2m”的平方）
　　2q2=（2m）2化简一下得q2=2m2（q的平方=2×m的平方），于是q为偶数。
　　p为偶数，q也为偶数，p、q有公约数2，这与前提“p、q互质”矛盾。

　　∴√2不是有理数
　　∴√2是无理数

　　（补充）“p为偶数，q也为偶数，p、q有公约数2，这与前提‘p、q互质’矛盾”推导出“√2是无理数”的过程：
　　∵ “p、q有公约数2，p、q互质”不符合数学事实
　　∴ “p、q有公约数2，p、q互质”为假
　　…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
　　…∵：数学符号“因为”…见《欧几里得77》…
　　…假：不符合事实…见《欧几里得75》…

　　“√2不是无理数”能推导出“p、q有公约数2，p、q互质”的推论。
　　…推、导、推导：见《欧几里得7》…
　　…论、推论：见《欧几里得66》…

　　∵ 推导方法正确，推论假，推导出推论的命题必为假（逻辑关系）
　　∴ “√2不是无理数”为假
　　…命、题、命题：见《欧几里得70》…
　　…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

　　∵ 两个互相矛盾的命题，不可能同时为真，必有一假（矛盾律）
　　…矛盾律：见《欧几里得73》…

　　∴ “√2不是无理数”“√2是无理数”必有一假

　　∵ 两个互相矛盾的命题，不可能同时为假，必有一真（排中律）
　　…排中律：见《欧几里得72~74》…

　　∴ “√2不是无理数”为假时，“√2是无理数”为真
　　…真：符合事实…见《欧几里得75》…

　　∴ √2是无理数

　　“√2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此。
　　请看下集《欧几里得112、√2 是无理数，发现并坚持这个结果的希帕索斯付出生命代价》”

　　欧几里得112、√2 是无理数，发现并坚持这个结果的希帕索斯付出生命代价

　　2015-02-07，寂寞de小老鼠上传名为《证明根号2是无理数的八种方法》的文章。
　　…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

　　

　　由于完全平方数b2（b的平方）的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2×b2（2×b的平方）的尾数只能是0、2、8中的一个。

　　…完全平方数：完全平方指用一个整数乘以自己，例如1×1，2×2，3×3等，依此类推。
　　若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
　　完全平方数是非负数。

　　如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。
　　零也可称为完全平方数。
　　完全平方数性质如下：
　　（1）个位数字只能是 0， 1，4，5，6，9 ；
　　（2）任何偶数的平方一定能被 4 整除…
　　（…性、质、性质：见《欧几里得37》…）


　　因为a2=2b2（a的平方=2×b的平方），所以a2（a的平方）与2b2（2×b的平方）的尾数都是0。
　　…a2（a的平方）的尾数为0、1、4、5、6、9中的一个，2b2（2×b的平方）的尾数为0、2、8中的一个，a2=2b2（a的平方=2×b的平方）。满足上述条件的尾数只有0。因此，a2（a的平方）与2b2（2×b的平方）的尾数都是0…

　　因此，b2（b的平方）的尾数只能是0或5。
　　…2b2的尾数是0，b2（b的平方）的尾数为0、1、4、5、6、9中的一个。在0、1、4、5、6、9这些尾数中，只有0、5乘以2后，得到的新数的尾数是0。因此，b2（b的平方）的尾数是0或5…

　　因此，a与b有公因数5。

　　…∵ a2（a的平方）的尾数是0，尾数是0的正整数是5的倍数
　　∴ a2（a的平方）是5的倍数（此处运用的证明方法是三段论）
　　∴ a2（a的平方）含有因数5

　　∵ a2（a的平方）=a×a，a×a含有因数5
　　∴ a含有因数5

　　同理可证b含有因数5。

　　∴ a与b有公因数5

　　a与b有公因数5，这与（a，b）=1矛盾！因此√2是无理数。

　　这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数。
　　…根：见《欧几里得57》…
　　…平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根，也叫做a的二次方根。例如：5×5=25，5就是25的平方根…

　　““幂”原指盖东西布巾，数学中“幂”是乘方的结果，而乘方的表示，是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，就像在一个数上“盖上了一头巾”。

　　请看下集《欧几里得113、希帕索斯葬身海底的原因》”

　　欧几里得113、希帕索斯葬身海底的原因

　　2015-02-07，寂寞de小老鼠上传名为《证明根号2是无理数的八种方法》的文章。
　　…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

　　

　　…指：《说文解字》：“指，手指也。从手，旨声。”。
　　本义：手伸出的支体（脚趾亦作“脚指”）：手指、巨指（大拇指）、指甲、指纹、指印、屈指可数。
　　衍（yǎn）义：用作量词，一个手指的宽度：下了三指雨。
　　衍义：引申指“（手指或物体尖端）对着，向着”。如：指着、指画、指南针。指手画脚。
　　衍义：引申指“点明，告知”。如：指导、指引、指正、指责、指控（指名控告）、指摘、指挥、指日可待。
　　衍义：引申指“直立，竖起”。如：令人发指（形容极为愤怒）。
　　衍义：引申指“意向针对”。如：指标。指定。

　　字义：1.手指头：食～。五～。屈～。首屈一～。
　　2.一个手指头的宽度叫“一指”，用来计算深浅宽窄等：下了三～雨。这双鞋大了一～。两～宽的纸条。
　　3.（手指头、物体尖端）对着；向着：用手一～。时针正～十二点。
　　4.（头发）直立：发～。
　　5.指点：～导。～示。～出正确方向。有问题请您～出来。
　　6.意思上指着：这不是～你说的，是～他的。
　　7.指望；依靠：～靠。单～着一个人是不能把事情做好的…
　　（…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）

　　“参数字面上理解是可供参考的数据…简单说，参数是给我们参考的。
　　请看下集《欧几里得114、指数，参、参数，代数基本定理，连分数》”

　　欧几里得114、指数，参、参数，代数基本定理，连分数

　　…指、数：见《欧几里得113》…

　　指数（数学用语）：幂运算aⁿ（a≠0）（读作“a的n次方”）中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角。幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，aⁿ（a的n次方）表示n个a连乘。
　　…幂：见《欧几里得113》…

　　
　　这是一个无限连分数，而任何有理数都可以表示为分子都是1、分母为正整数的有限连分数，因此√2是无理数。

　　“古希腊曾有“万物皆数’的思想，这种认为‘大自然的一切皆为整数之比’的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。
　　请看下集《欧几里得115、构图法证明√2是无理数，奠、基、奠基》”

　　欧几里得115、构图法证明√2是无理数，奠、基、奠基

　　2015-02-07，寂寞de小老鼠上传名为《证明√2是无理数的八种方法》的文章。
　　…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

　　


　　…奠：会意字。“奠”字甲骨文作图1、图2、图3等形，上部是“酉（yǒu）”字，而“酉”初文为酒坛形，代表酒、酒坛（tán），稍后在轮廓内增加了横竖笔画，以表示坛壁上的纹饰。下部的“一”表地面，表示将酒坛置放于地面。两个构件合起来表示设酒食以祭（jì）祀（sì）死者或鬼神。一说古人在建筑开工时用酒祭土地神，将酒洒在地上，以求居所安定。
　　“奠”的本义是放置酒在几案上作为祭品祭祀神灵。现代对亡者进行悼念，也用“奠”字，就是来自于祭祀。
　　安放、放置祭酒都是双手捧上，于是又引申出“进献、奉上”的意思，例如《仪礼·士昏礼》中所说的：“宾升北面奠雁，再拜稽（ qǐ ）首。”这里的“奠雁”就是进献、奉上雁的意思。
　　现代汉语常用的“奠基”“奠定”的“奠”是建立、确立、树立的意思，这是由“奠”所包含的安置、放置意引申而来的。
　　“奠”也是“郑”的古字，周金文用“奠”字写郑国名。

　　金文字形，上面是“酋（qiú）”（即“酒”），下面像放东西的基物。本义：设酒食以祭。
　　字义：1.定；建 立：～都。
　　2.陈设祭品举行仪式向死者致祭：祭～…
　　（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
　　…意：意思：来～…
　　…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
　　…会意字：指用两个及两个以上的独体汉字，根据各自的含义所组合成的一个新汉字，这种造字法就叫作会意。用会意造字法造出的汉字就是会意字…）

　　…奠基：最初的意思是在打地基盖房搞建筑或一切破土动工的时候，选择一个吉时，向在此地埋葬的无主坟或者一切生灵祭奠，告知他们将于此地破土动工，请他们知悉并谅解或迁徙（xǐ）他方。这是一种尊重和告慰之礼。是我国古老的传统仪式。发展到如今，为了树立科学破除迷信，而逐渐的把含有迷信色彩的成份去除，把祭奠的含义淡化，而只保留了奠定建筑物的基础这一含义。而奠字的本意就是设酒食以祭之意，从其字形中便可知晓。

　　词义：奠定建筑物的基础：～石。举行～典礼。人民英雄纪念碑是1949年9月30日～的。鲁迅是中国新文学的～人…

　　“被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。
　　请看下集《欧几里得116、单、位、单位，古希腊的数学大厦轰然倒塌》”

　　欧几里得116、单、位、单位，古希腊的数学大厦轰然倒塌

　　2017年3月30日，网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的文章。

　　


　　单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。

　　希帕索斯认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。
　　…比：见《欧几里得27》…

　　中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到。这种感觉正如前文所说：直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。
　　…反证法：见《欧几里得72~75》…

　　当然，我们要证明的不是‘根号2是无理数’。那个时候还没有根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q，使得它的平方等于2。
　　…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

　　证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p2=2q2（p的平方=2×q的平方），等式右边是偶数，于是p必须是偶数。（奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数。）
　　…约分：见《欧几里得107》…

　　p是偶数的话，p2（p的平方）就可以被4整除。约掉等式右边的一个2，可以看出q2（q的平方）也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。

　　“你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？
　　请看下集《欧几里得117、西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢？》”

　　欧几里得117、西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢？

　　2017年3月30日，网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的文章。
　　

　　“毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来，它们掌握的只是纯粹的几何。因此，Hippasus（西奥多罗斯）当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西。
　　请看下集《欧几里得118、平、面、平面，平面几何，完全用平面几何知识证明结论》”

　　欧几里得118、平、面、平面，平面几何，完全用平面几何知识证明结论

　　2017年3月30日，网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的文章。

　　

　　…面：象形。甲骨文字形，里面是“目”字，外面表示面庞。“面”，在古代指人的整个面部。“脸”是魏晋时期才出现，而且只指两颊（jiá）的上部，唐宋口语中才开始同“面”。
　　本义：头的前部，脸。如：脸面、颜面、面目、面面相觑（qù）。
　　衍（yǎn）义：引申指“事物的外表”。如：地面、面友（表面的、非真心相交的朋友）、面额（票面的数额）。
　　衍义：引申指“方位，部分”。如：前面、反面、片面、全面、多面手。
　　衍义：引申指“会见，直接接头的”。如：当面、面议、面晤（wù）、耳提面命[“耳提”，提着耳朵叮嘱；“面命”，当面指教，形容教诲殷（yīn）切]。
　　衍义：引申指“几何学上指线移动所生成的形迹，有长有宽没有厚的形”。如：平面。曲面。

　　字义：1.头的前部；脸：～孔。～带微笑。
　　2.向着；朝着：背山～水。这所房子～南坐北。
　　3.物体的表面，有时特指某些物体的上部的一层：水～。地～。路～。圆桌～儿。～儿磨得很光。
　　4.当面：～谈。
　　5.东西露在外面的那一层或纺织品的正面：鞋～儿。这块布做里儿，那块布做～儿。
　　6.几何学上指一条线移动所构成的图形，有长有宽，没有厚。
　　7.部位或方面：正～。反～。片～。全～。多～手。～～俱到。
　　8.方位词后缀（zhuì）：上～。前～。外～。左～。西～。
　　9.a）用于扁平的物件：一～镜子。两～旗子。b）用于会见的次数：见过一～。
　　10.粮食磨成的粉，特指小麦磨成的粉：白～。豆～。小米～。玉米～。高粱～。
　　11.粉末：药～儿。胡椒～儿。
　　12.面条：挂～。切～。汤～。一碗～
　　13.指某些食物纤维少而柔软：煮的红薯很～。这个瓜是脆的，那个瓜是～的…
　　（…象形：造字法之一。指描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…
　　…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）

　　…平面：在空间中，到两点距离相同的点的轨迹。
　　词义：由现实生活中（例如镜面、平静的水面等）的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别。既具有无限延展性（也就是说平面没有边界），又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的…
　　（…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
　　…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
　　…性、质、性质：见《欧几里得37》…）

　　…平面几何（百度百科）：指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。也称欧几里得几何。平面几何研究的是平面上的直线和二次曲线[即圆锥（zhuī）曲线，就是椭（tuǒ）圆、双曲线和抛物线]的几何结构和度量性质（面积、长度、角度，位置关系）。平面几何采用了公理化方法，在数学思想史上具有重要的意义…
　　（…结、构、结构：见《欧几里得41》…
　　…公、理、公理，化，方、法、方法，公理化方法：见《欧几里得1~3》…
　　…意义：？…

　　意义和目的有关。
　　能达成目的的言行有意义，不能达成目的的言行没有意义：对小学生来说，目的是“提高成绩”，那么学音乐美术体育没有意义；目的是锻炼身体，那么学音乐美术语文算术没有意义…
　　——《自然科学价值观》）

　　…平面几何（百度汉语）2：几何学的一个分支，研究平面图形的性质，如形状、大小、位置等…

　　…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…
　　…结、论、结论：见《欧几里得66》…

　　“欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。古希腊数学家欧几里得在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法，所以被命名为欧几里得算法。
　　请看下集《欧几里得119、欧几里得算法（辗转相除算法）》”

　　欧几里得119、欧几里得算法（辗转相除算法）

　　2017年3月30日，网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的文章。

　　

　　“无论两个数多大，用辗转相除法都可以方便的求出最大公因数。是不是很厉害！
　　请看下集《欧几里得120、什么叫做辗转相除法？举几个例子》”

　　欧几里得120、什么叫做辗转相除法？举几个例子

　　什么叫做辗转相除法？举几个例子——网友提问

　　…
　　2019-09-15，angela韩雪倩（qiàn）：辗转相除法最大的用途就是用来求两个数的最大公约数。
　　用（a，b）来表示a和b的最大公约数。有定理：已知a，b，c为正整数，若a除以b余c（a÷b=商……C），则（a，b）=（b，c）。（证明过程请参考其它资料）

　　…小学数学用“a÷b=商……C（a除以b余c）”表示有余数的除法…
　　…（a，b）=（b，c）：（被除数，除数）=（除数，余数）；被除数、除数的最大公约数=除数、余数的最大公约数…
　　…被除数、除数的最大公因数=除数、余数的最大公因数：例如，15、8的最大公因数为1，15除以8余7（15÷8=1……7），8、7的最大公因数是1，15、8的最大公因数=8、7的最大公因数=1…


　　


　　“这个方法，大家以后在学计算机编程的时候还会见到。到时，你可以让电脑快速计算最大公因数。是不是很帅！”主持人最后说。

　　2020-07-12，183*****858：除数除以余数得0后，除数就是最大公因数。


　　辗转相除法，其计算原理依赖于下面的定理：
　　…辗、转、辗转、辗转相除法：见《欧几里得119》…
　　…原、理、原理：见《欧几里得41》…
　　…定、理、定理：见《欧几里得2》…

　　定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。
　　…其它表述为：被除数、除数、余数是整数，被除数除以除数，得到余数，则（被除数，除数）=（除数，余数）；a、b、c是整数，a除以b余c，则（a，b）=（b，c）；a、b、c是整数，a÷b=商……c，则（a，b）=（b，c）…
　　[…（a，b）：整数a与整数b的最大公约数…]

　　“a、b、c是整数，a÷b=商……c，则（a，b）=（b，c）”有多种证法：
　　证法一
　　a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a mod b
　　…mod：“Module Operation”的首字母缩写（取前三个字母）…
　　…module（英语）：n.（名词）单元（尤指英国大学课程的一部分）；模块；功能块；程序块；组件；配件…
　　…Operation（英语）：n.操作；经营；[外科]手术；[数][计]运算…
　　（…[数]：数学行业…
　　…[计]：计算机行业…）
　　…Module Operation：取模运算…

　　“取模运算是求两个数相除的余数。
　　请看下集《欧几里得121、取、模，运、算、运算，取模运算》”

　　欧几里得121、取、模，运、算、运算，取模运算
　　

　　…运：本义为移动、运行。引申有运转、转动之义。《易·系辞上》：“日月运行，一寒一暑。”又引申有挥动、搬运的意思。由运转还引申出命运、气数等抽象意义。
　　字义：1.循序移动：～行。～动。～转（zhuàn）。
　　2.搬送：～输。～载。～营（交通工具的运行和营业）。～力。～销。空～。海～。
　　3.使用：～用。～算。～笔。～筹（制定策略）。
　　4.人的遭遇，亦特指迷信的人所说的遭遇：～气。命～。幸～。国～…
　　（…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
　　…意、义、意义：见《欧几里得26》…）

　　…算：见《欧几里得28》…
　　…运算（百度百科） ：数学概念。
　　数学上，运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量…
　　（…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…）

　　…运算（百度汉语）2：根据数学法则求算式结果的过程。在数的运算中，加、减叫第一级运算，乘、除叫第二级运算，乘方、开方叫第三级运算。运算顺序是先做乘方、开方，后做乘、除，再做加、减…
　　（…法、则、法则：见《欧几里得108》…）

　　取模运算：取模运算是求两个数相除的余数。
　　取模运算（“Module Operation”）和取余运算（“Complementation”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。
　　…module（英语）：n.（名词）单元（尤指英国大学课程的一部分）；模块；功能块；程序块；组件；配件…
　　…Operation（英语）：n.操作；经营；[外科]手术；[数][计]运算…
　　（…[数]：数学行业…
　　…[计]：计算机行业…）
　　…Module Operation：取模运算…

　　…Complementation（英语）：n.（名词）补充；（动词的）补足语，补语…

　　取模主要用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。
　　…术、语、术语：见《欧几里得67》…

　　模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到质数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。
　　…数、论、数论：见《欧几里得15》…
　　…幂：见《欧几里得113》…

　　虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。
　　…理、论、理论：见《欧几里得5》…

　　对于正整数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：
　　…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

　　1.求整数商：c = a/b
　　2.计算模或者余数：r = a-c·b
　　…r：余数…
　　“余数用r表示，r是remainder的首字母。”中学生说。
　　…remainder（英语）：n.其他人员；剩余物；剩余时间；差数；余数；廉价出售的图书；滞销图书…

　　““…除法，说到底是‘一个数被分成若干等份（不能是0份）的运算’，”中学生继续说，“一个数分成若干等分后，剩下不够一等份的部分，成为一个‘模块’…”
　　“取模运算就是把这个模块取出来。”中学生最后说。
　　请看下集《欧几里得122、大神们可不可以讲一下取模是什么意思？最好比如一下，本人数学没学好》”

　　欧几里得122、大神们可不可以讲一下取模是什么意思？最好比如一下，本人数学没学好

　　取模是怎么运算的？希望可以讲通俗一点。——网友提问
　　…取、模，运、算、运算，取模运算：见《欧几里得121》…

　　“大神们可不可以讲一下取模是什么意思？我在学C语言开发，看视频、里面有什么取模、因为不懂所以才上网查一下。其实就是除法是吗？只是它是取余。可是，我用计算器20取模3（20 mod 3），就是用20除以3就是6.666……7，那我在linux上写20取模3，结果就是2，是为什么呢？能不能讲解一下？最好比如一下，本人数学没学好。。”网友说。
　　（122）
　　（122-0）

　　…mod：“Module Operation（取模运算）”的缩写…也就是“Module Operation”的前三个字母…见《欧几里得120》…
　　…module（英语）：模块…见《欧几里得120》…
　　…模块：1.电子计算机软件中，一个具有独立执行某种功能的程序单元叫做模块。一个大型软件可以分解为多个模块。
　　2.一种装配好的硬件功能单元，可以和其他部件一起使用、组合或更换…
　　…取模：取出模块…
　　“对数字来说，整数是完整模块。‘取出模块’的意思就是‘取出整数’——也就是取出余数。”中学生说。
　　“字面上理解，取出的必须是整数，不能是小数。”中学生接着说。
　　“…除法，说到底是‘一个数被分成若干等份（不能是0份）的运算’，”中学生继续说，“一个数分成若干等分后，剩下不够一等份的部分，成为一个‘模块’…”
　　“取模运算就是把这个模块取出来。”中学生最后说。

　　…
　　…operation（英语）：操作…见《欧几里得96》…
　　…Module Operation：直译是“取模操作”…
　　…20 mod3：20除以3后，取模；20分成三等份后，取出不足一等份的那部分（也就是取出2）…

　　“20除以3，商6余2（20÷3=6……2），取模的结果是2。”中学生说。
　　“‘取模’，在这里是‘取余’的意思。”中学生接着说。

　　…linux：一套免费使用和自由传播的类UNIX操作系统…
　　…类UNIX：一种操作系统…
　　…操作系统（计算机管理控制程序）：管理计算机硬件与软件资源的计算机程序，同时也是计算机系统的基石。操作系统需要处理如管理与配置内存、决定系统资源供需的优先次序、控制输入设备与输出设备、操作网络与管理文件系统等基本事务。操作系统也提供一个让用户与系统交互的操作界面。
　　操作系统举例：iOS（苹果系统）、Android（安卓系统）、微软Windows…

　　2019-08-05，匿（nì）名用户：简单来说，就是小学刚学除法时候，5除以2得不到整数，又没学小数，怎么办？只能5除以2等于2，余下一个1。这个1就是余数。取余就是取出这个数。
　　…匿、匿名：见《欧几里得61》…
　　（122-1）

　　2017-12-16，一颗程序猿o_0：简单的理解就是取余数
　　20除以3，商为6，余数为2，所以结果是2
　　你在计算器上算的是除法，所以是6.66666

　　网友追问：这个其实我在网上也查到，但是小弟就是蠢，用计算器算了你这个20除以3，是6.6666...7 看不到2，这个“2”是怎么算？谢谢好人

　　一颗程序猿o_0追答：余数啊亲
　　这个运算不允许出现小数
　　20=3x6+2
　　也就是 商和除数的乘积最接近、且不超过被除数, 剩下的部分就是余数

　　2018-03-30，bieskirt：取模就是求余数的运算，例如10除以4的余数是2，于是取模的结果就是2。

　　“由证明过程知，（a，b）和（b，r）的公因数是一样的。
　　∴ 其最大公因数也必然相等。
　　请看下集《欧几里得123、小学生能学会的大学数学：辗转相除算法计算原理的两种证明》”

　　

　　欧几里得123、小学生能学会的大学数学：辗转相除算法计算原理的两种证明

　　辗转相除法，其计算原理依赖于下面的定理：
　　…辗、转、辗转、辗转相除法：见《欧几里得119》…
　　…原、理、原理：见《欧几里得41》…
　　…定、理、定理：见《欧几里得2》…

　　定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。
　　…其它表述为：被除数、除数、余数是整数，被除数除以除数，得到余数，则（被除数，除数）=（除数，余数）；a、b、c是整数，a除以b余c，则（a，b）=（b，c）；a、b、c是整数，a÷b=商……c，则（a，b）=（b，c）…
　　[…（a，b）：整数a与整数b的最大公约数…]

　　“a、b、c是整数，a÷b=商……c，则（a，b）=（b，c）”有多种证法：
　　…a÷b=k……r：被除数（a）÷除数（b）=商（k）……余数（r）…

　　证法一
　　a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r=a mod b
　　…∵ a÷b=k……c
　　∴a/b=k……c
　　∴ a=kb+c…
　　…mod：“Module Operation（取模运算）”的缩写…也就是“Module Operation”的前三个字母…见《欧几里得120》…

　　∵ a=kb+r
　　∴ r=a-kb

　　假设d是a，b的一个公因数（即a和b都可以被d整除）。
　　r=a-kb两边同时除以d，得：r/d=a/d-kb/d
　　∵ a和b都可以被d整除
　　∴ a/d是整数；kb/d是整数
　　∵ 整数-整数=整数
　　∴ “a/d-kb/d”是整数

　　∵ r/d=a/d-kb/d
　　∴ r/d是整数。即r可以被d整除。
　　∴ d是b，r的公因数

　　假设d是b，r的公因数，则b和r都可以被d整除。
　　a=kb+r两边同时除以d，得：a/d=kb/d-r/d
　　∵ b和r都可以被d整除
　　∴ b/d是整数；r/d是整数

　　∵ k是整数
　　∴ kb/d是整数；“kb/d-r/d”是“整数-整数”——结果还是整数
　　∵ “kb/d-r/d”是整数；a/d=kb/d-r/d
　　∴ a/d是整数。即d能整除a。
　　∴ d也是a，b的公因数。

　　由证明过程知，（a，b）和（b，r）的公因数是一样的。
　　∴ 其最大公因数也必然相等。
　　原命题得证。
　　…命、题、命题：见《欧几里得70》…

　　证法二
　　令c=（a，b），设a=mc，b=nc
　　…c=（a，b）：c是整数a与整数b的最大公因数…

　　∵ r=a-kb；a=mc，b=nc
　　∴ r=a-kb=mc-knc=（m-kn）c
　　∴ c也是r的因数
　　∴ （b，c）=（b，r）=[nc，（m-kn）c]=（n，m-kn）c


　　设d=（n，m-kn），则存在x、y，使n/d=x，（m-kn）/d=y
　　…d=（n，m-kn）：d是n，m-kn的最大公约数…

　　n/d=x，（m-kn）/d=y转化一下得：n=xd，m-kn=yd
　　∴ m=yd+kn=yd+kxd=（y+kx）d
　　∴ a =mc=（y+kx）dc，b=nc=xdc

　　∵ c=（a，b）
　　…c=（a，b）：c是整数a与整数b的最大公因数…

　　∴ （a，b）=[（y+kx）dc，xdc]=dc=c，d = 1

　　∴ 1=（n，m-kn）
　　∴ （b，c）=（b，r）=[nc，（m-kn）c]=（n，m-kn）c=c

　　∵ c=（a，b）
　　∴ （b，c）=（b，r）=c=（a，b）
　　∴ （b，r）=（a，b）

　　注意：两种方法是有区别的。

　　“从前有座山，山里有座庙，庙里有个和尚，和尚在讲故事，从前有座山，山里有座庙，庙里有个和尚，和尚在讲故事，从前有座山…
　　请看下集《欧几里得124、证明“存在不能表示为两个整数之比的数”，递、归、递归》”

　　欧几里得124、证明“存在不能表示为两个整数之比的数”，递、归、递归

　　2017年3月30日，网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的文章。
　　

　　…递：繁体汉字见上图。

　　形声。从辵（chuò），虒（sī）声。本义：轮流；交替。
　　字义：1.传送；传递：～送。投～。请把钳（qián）子～给我。
　　2.顺次：～增。～减…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

　　…归：见《欧几里得38》…
　　…递归：一种计算过程。如果其中每一步都要用到前一步或前几步的结果，称为递归。

　　程序调用自身的编程技巧称为递归（ recursion）。递归做为一种算法在程序设计语言中广泛应用。一个过程或函数在其定义或说明中、有“调用自身”这种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解。递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合…

　　“一说起递归，我想每个人都不陌生。”中学生说。
　　“举个从小就听过的例子：从前有座山，山里有座庙，庙里有个和尚，和尚在讲故事，从前有座山，山里有座庙，庙里有个和尚，和尚在讲故事，从前有座山…”中学生接着说。

　　…
　　最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。于是，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q=x，于是就有了x，这与几何证明得到的结论矛盾）。

　　“春秋战国以后，“一”字又可写作“弌”（图9）或“弌”（图10），累增“弋”或“戈”旁，是一种繁化写法。后世这种繁化写法均被废弃。
　　请看下集《欧几里得125、格、严格，不、失、不失，一、般、一般，繁化写法被废弃》”

　　欧几里得126、数学中的“不失一般性”是什么意思？

　　2017年3月30日，网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的文章。
　　（115-0）

　　文章内容：
　　…
　　有发现上面的代数证明和几何证明之间的共同点吗？它们都是这样的一个思路：假设我已经是满足这个性质的最小的那个了，那么我就可以用一种方法找出更小的一个来，让你无限循环下去。数目越来越小，永无止境。严格的数学证明中你或许会看到这样一句话：“不失一般性，设n为最小的满足……”
　　…上面的代数证明：见《欧几里得116》…
　　…上面的几何证明：见《欧几里得124》…
　　…性、质、性质：见《欧几里得37》…
　　…严、格、严格，不、失、不失，一、般、一般：见《欧几里得125》…
　　…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

　　一般性：事物的一种性质。是指具有普遍性，如公式、公理、定理等等，对所有的对象都适用。例如，公式（a+b）^2 =a^2+b^2+2ab具有一般性。因为公式中a、b的值取任何实数…
　　…事、物、事物：见《欧几里得21》…
　　…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
　　…定、理、定理：见《欧几里得2》…
　　…对、象、对象：见《欧几里得39》…
　　…^：乘方…
　　…（a+b）2 =a2+b2+2ab：（a+b）的平方=a的平方+b的平方+2ab…
　　…实、数、实数：见《欧几里得37》…

　　…
　　…不失一般性（Without loss of generality，缩写：WLOG、WOLOG或w.l.o.g.）：数学中一个常见的表达。其被用在证明中将前提条件明确到个例上时，说明该个例能代表普遍情况，而非一种特例…
　　（…证、明、证明：见《欧几里得6》…）

　　数学中的【不失一般性】是什么意思？——网友提问
　　“从初中开始，就在一些证明题中看到这种术语被引用。
　　但一直都对其具体含义懵懵懂懂，
　　不知是不是‘举个例子来说’的一种更正式，更严肃，更高档的说法？——其本质含义是否与【举个例子来说】一模一样呢：）？后面举的例子，和没有被这个例子所涵盖的其他情况之间的关系是怎样的呢？？
　　请指点一下，谢谢~！”网友说。
　　…术、语、术语：见《欧几里得67》…
　　…本、质、本质：见《欧几里得22》…

　　2009-05-08，匿（nì）名用户：个人认为，“不失一般性”这句话用在可以用“特例”能代表“普遍”的场合。
　　…匿：隐藏；不让人知道：隐～。～名。～居深山。～影藏形…
　　…匿名：不写名或不写真实姓名：～信。～举报…

　　数学很多东西是普遍的，抽象的，比较难理解。如果能举出具体例子，理解起来就会好很多。但是举特例也不是都行得通的，有的数学问题举不同的特例会得出不同的结果，这时就是“失去一般性”了。而有的问题则举不同的特例结果都是殊途同归，那我们就不妨举出一个例子来分析，这样更便于理解抽象的原理，此时就是所谓的“不失一般性”了。
　　…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
　　…分、析、分析：见《欧几里得36》…
　　…原、理、原理：见《欧几里得41》…

　　“不失一般性”和“举个例子来说”大体意思相同，但是这个例子必须是可以代表普遍情况的，不能是换了个例子，问题的分析方法、结论都变掉了。
　　…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
　　…结、论、结论：见《欧几里得66》…

　　


　　“今天，我见到了一个更加简洁的证明。它就来源于哲牛介绍的那篇文章。
　　…哲牛：哲学方面很牛的人…
　　请看下集《欧几里得127、证明思路：设出满足条件最小量，找到更小值，得出矛盾》”

　　欧几里得127、证明思路：设出满足条件最小量，找到更小值，得出矛盾

　　2017年3月30日，网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的文章。
　　（115-0）

　　文章内容：
　　…
　　有发现上面的代数证明和几何证明之间的共同点吗？它们都是这样的一个思路：假设我已经是满足这个性质的最小的那个了，那么我就可以用一种方法找出更小的一个来，让你无限循环下去。数目越来越小，永无止境。严格的数学证明中你或许会看到这样一句话：“不失一般性，设n为最小的满足……”
　　…上面的代数证明：见《欧几里得116》…
　　…上面的几何证明：见《欧几里得124》…
　　…性、质、性质：见《欧几里得37》…
　　…严、格、严格，不、失、不失，一、般、一般，一般性，不失一般性：见《欧几里得125、126》…

　　这种证明方法应用很广。比如，证明3^n不能表示为两个正整数的平方和。
　　…^：乘方…
　　…3^n：3的n次方…

　　假设存在一个最小的n使得x^2+y^2=3^n（x的平方+y的平方=3的n次方），那么x^2+y^2可以被3整除，于是x和y也应该能被3整除（一个正整数的平方除以3，要么除尽，要么余1）。
　　…证明：
　　∵ x^2+y^2可以被3整除
　　∴（x^2+y^2）/3=某整数
　　∴（x^2+y^2）/3=（x^2）/3+（y^2）/3=某整数
　　∴ x^2/3=某整数，x^2/3=某整数
　　即x·x/3=某整数，y·y/3=某整数
　　∴ x有质因数3，y有质因数3
　　即x和y能被3整除…

　　假如x=3p，y=3q，那么（3p）^2+（3q）^2=3^n，即9（p^2+q^2）=3^n，那么：p^2+q^2=3^（n-2）。这和n最小的假设矛盾。
　　…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…

　　换句话说，你永远找不到最小的，你必须一直递归下去。
　　…递、归、递归：见《欧几里得124》…


　　接下来的两个证明才是我佩服的，真正的Very Simple & Very Tricky。
　　…Very（英语）：adv.（副词）很，非常…
　　…Simple（英语）：adj.（形容词）简单的；朴素的；易于理解的；易做的；简朴的；不加装饰的；（用在名词前表示强调）纯粹的，完全的，不折不扣的…
　　…Very Simple：非常简单…

　　＆这个符号叫什么？——网友提问

　　2019-07-25，是嘛10：&叫and。来源于拉丁语et （意为and）的连写，是一个逻辑语言，是指逻辑上表示两者属于缺一不可的关系，还表示意思是一个人和另外一个人之意，与and同义。如A&B，表示A与B，A和B，A×B。

　　是指逻辑上表示两者属于缺一不可的关系，还表示一个人和另外一个人之意，与and同义。如A&B，表示A与B，A和B，A×B。

　　字符&的最早历史可以追溯到公元1世纪，最早是拉丁语et （意为and）的连写。最早的&是e和t的合字，后来经过一些演变，形成了固定的合字，继而演变为符号。这个符号和古代一些西文字体的et连写几乎一样。

　　


　　“范畴是一种抽象程度最高的命题结构性概念，是哲学及其逻辑系统中最重要、最核心的概念。有大量的具体范畴经过无数次的感知验证和理知推演，已经成为人类抽象思维成果中具有高度概括性、结构稳定的概念。例如：内涵、外延，合、分，关系（绝对/相对），姿态（独生态/众生态），独生态（主动/被动）、众生态（自由/专制），自由（自在/互联），状况（连续/离散），个性、集性，思维（具体/抽象），等等。
　　请看下集《欧几里得128、自、然、自然，现、象、现象，范、畴、范畴，哲学范畴》”

　　欧几里得129、歌德：一门科学的历史就是这门科学本身

　　


　　毕生对自然现象的研究有着浓厚兴趣的德国大诗人歌德曾经说过：“一门科学的历史就是这门科学本身。”蔡天新的《难以企及的人物：数学天空的群星闪耀》，通过讲述数学史上一些个性鲜明的人物，来揭示数学王国里各种奇异的珍宝、明艳的花朵和隐秘的激情。
　　…自、然、自然，现、象、现象：见《欧几里得128》…
　　…自然现象（百度百科）：相对于由人类引发的社会现象而言，自然现象指自然界中由于大自然的运作规律自发形成的某种状况，其完全不受人为因素影响。如月的阴晴圆缺，四季变化，气候的冷暖，刮风下雨，白天黑夜等。主要有物理现象、化学现象、生命现象三大类…
　　…自然现象（百度汉语）2：指自然界中的某种状况。如物理现象、化学现象等。常与社会现象对称…
　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…

　　…约翰·沃尔夫冈·冯·歌德（Johann Wolfgang von Goethe，1749年8月28日—1832年3月22日）：出生于美因河畔法兰克福，德国著名思想家、作家、科学家。
　　1774年发表了《少年维特之烦恼》。1831年完成《浮士德》…

　　…科、学、科学：见《欧几里得4》…
　　…历、史、历史：见《欧几里得111》…
　　…蔡天新：男，汉族，1963年3月3日生于浙江台州黄岩，童年在七个村庄和一座小镇度过，1978年（15岁）考入山东大学控制理论专业，读研时改为数论方向，1987年（24岁）获山东大学理学博士学位。
　　数论学家，诗人、作家，现为浙江大学数学科学学院教授、博士生导师、求是特聘学者…
　　（…理、论、理论：见《欧几里得5》…
　　…数、数论：见《欧几里得15》…）

　　《难以企及的人物：数学天空的群星闪耀》：2009年广西师范大学出版社出版的图书，作者是蔡天新。

　　内容简介
　　本书由十七篇随笔和一则访谈组成，主要探讨了数学史上各个时期的代表性人物，他们的内心世界、成长经历和成材环境，他们的贡献、思想、个性和生活观念。
　　这些伟大的数学家，有的在人文领域也有杰出贡献，如毕达哥拉斯、海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨（cí）、庞加莱，有的则个人经历富有传奇色彩，如费尔马、牛顿、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬、爱多士。此外，本书选取东西方两个民族——法兰西人和阿拉伯人加以探讨，前者在数学史上做出了极其重要的贡献，后者保存、传播并发扬了东方和古希腊数学的精华。
　　至于数学与文学、政治的关系，这是两个非常让人感兴趣的话题，尤其针对当前中学就已文理分科的情况，本书提出一些全新的观点，其中一篇入选上海市中学语文读本。最后两篇也是关于数学的外延，一篇是为数学家撰（zhuàn）写的悬疑小说所作的导读，另一篇则是答应届大学毕业生问。
　　所有文章均曾发表在《读书》《万象》《书城》《书屋》《科学》《自然》《数学通报》《中国数学会育讯》《南方周末》和《中华读书报》，此次修订结集，配有多幅照片，作者曾抵达拍摄书中每个主角生活过的国度。

　　推荐

　　数学家极少能像蔡天新那样能成为一位真正的诗人。——王元（著名数学家，中科院院士）

　　做一个数学家和做一个诗人，可能都是天底下最难的事。但天新居然同时是一位数学家和一位诗人。他干了这世界上只有极少数人才能做到的事。
　　他敏感，但不是那种富于侵略性的敏感；他对于轶（yì）事和小知识的趣味形成了他的渊博，但这种渊博不同于考据性的渊博……他不会伸出一只粗暴的手一把将你抓住，但如果你被他抓住了，你便无法逃脱。——西川（诗人，学者）
　　…轶：形声。从车，失声。本义：超车。

　　字义：1.超过。
　　2.散失：～事（没有正式记载的事）…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

　　…事：见《欧几里得6》…
　　…轶事：不见于正式记载的事迹。
　　轶事，也写作“逸事”，一般是指人们不太知道的事情，大多在历史书上没有记载过，是零零星星没有经过汇集的事迹。不少轶事在流传过程中，经过人们的丰富、加工，有一定的文学色彩，如，有的出版社出版的《中外作家轶事》、《中外艺术家轶事》都属于这一类。轶古同“溢”，充满而流出…

　　…西川（中国当代诗人）：1963年出生于江苏徐州，1985年毕业于北京大学英文系。美国艾奥瓦大学2002年访问学者。现执教于北京中央美术学院人文学院。西川自80年代起即投身于全国性的青年诗歌运动…

　　“有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议：如果这人能学懂一个定理，那么就给他三块银币。这个人看在钱的份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。
　　请看下集《欧几里得130、毕达哥拉斯的赚钱之道》”

　　欧几里得130、毕达哥拉斯的赚钱之道
　　

　　…言：指事字，其字形是在“舌”字上部加一区别符号“一”而成的指事字。“舌”与“言”关系密切，就像“刀”与“刃”关系密切一样，都采用了加区别符号造指事字的方式。到了战国时代，舌上的一横变为两横，像舌形的部分与“口”分离，曲笔渐成直笔。

　　始见于商代甲骨文，其本义一般认为是说话，引申指所说的话，或者所说、所写的一个字、一句话。这些意义还存在于“言论、言语”等词语的义素中。
　　言是汉字部首之一。言用作左旁时简化为“讠”。用言作意符的字主要有三类：1.表示言语行为，如：语、谈、谓、诵、誓。2.与言语有关的品德，如：诚、谅、诈、谦。3.与言语有关的名物，如：诗、词、谣。

　　甲骨文字形，下面是“舌”字，下面一横表示言从舌出。“言”是张口伸舌讲话的象形。从“言”的字与说话或道德有关。本义：说，说话。
　　字义：1.话：～语。语～。格～。诺～。发～。有～在先。～外之意。
　　2.说：～之有理。畅所欲～。知无不～，～无不尽。
　　3.汉语的一个字叫一言：五～诗。万～书。全书近二十万～…
　　（…指事：指以象征性的符号表示意义的造字法。如“上”、“下”…见《欧几里得40》…
　　…指事字：见《欧几里得40》…）

　　…序言（放在著作正文之前的文章）（百度百科）：序，亦称“叙”，或称“引”，又名“序言”“前言”“引言”，是放在著作正文之前的文章。作者自己写的叫“自序”，内容多说明它的内容，写作缘由，经过，旨趣和特点；别人代写的序叫“代序”，内容多介绍和评论该书的思想内容和艺术特色…

　　…序言（百度汉语）2：也叫序文。简称序。写在著作正文之前的文章。一般由作者说明写书的经过，或别人介绍和评论本书的内容…

　　毕生对自然现象的研究有着浓厚兴趣的德国大诗人歌德曾经说过：“一门科学的历史就是这门科学本身。”本书不是关于数学的历史，但却通过讲述数学史上一些个性鲜明的人物，揭示了数学王国里各种奇异的珍宝、明艳的花朵和隐秘的激情。
　　…自、然、自然，现、象、现象，自然现象，研、究、研究，歌德，科、学、科学，历、史、历史：见《欧几里得128、129》…

　　这些伟大的数学家，有的在人文领域也有杰出贡献，如毕达哥拉斯、欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼兹、庞加莱。有的则其个人经历富有传奇色彩，如费尔马、牛顿、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬、爱多士。他们中有些是思想家、文学家、诗人、音乐家、画家，还有的是政客、神职人员、法官、军人、职员、社会青年甚或囚犯。

　　毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年~约前500年）：古希腊数学家、哲学家。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛（今希腊东部小岛）的贵族家庭，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。
　　…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…

　　因为向往东方的智慧，经过万水千山，游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国——巴比伦和印度，以及埃及（有争议），吸收了美索不达米亚文明和印度文明的文化。后来他就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，并和他的信徒们组成了一个名为“毕达哥拉斯学派”的团体。

　　毕达哥拉斯比同时代中一些开坛授课的学者进步一点，因为他容许妇女[当然是贵族妇女而非奴隶女婢（bì）]来听课。他认为妇女也是和男人一样有求知的权利，因此他的学派中就有十多名女学者。这是其他学派所没有的现象。

　　传说他是一个非常优秀的教师，他认为每一个人都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议：如果这人能学懂一个定理，那么就给他三块银币。这个人看在钱的份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。
　　…定、理、定理：见《欧几里得2》…
　　…几、何、几何：见《欧几里得28》…

　　“欧玛尔·海亚姆
　　1074年曾修订历法，并主持筹建天文台。晚年生活艰辛，去过麦加朝觐（jìn）。他生活在政治上受外族统治、思想上受宗教毒害、科学文化受摧残的时代。所写的许多四行诗都流露出受压抑的痛苦和愤懑（mèn）的心情。
　　请看下集《欧几里得131、欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨（cí）、庞加莱》”

　　欧几里得131、欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨（cí）、庞加莱

　　这些伟大的数学家，有的在人文领域也有杰出贡献，如毕达哥拉斯、欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨（cí）、庞加莱。有的则其个人经历富有传奇色彩，如费马、牛顿、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬、爱多士。他们中有些是思想家、文学家、诗人、音乐家、画家，还有的是政客、神职人员、法官、军人、职员、社会青年甚或囚犯。

　　毕达哥拉斯：见《欧几里得130》
　　

　　欧玛尔·海亚姆（1048～1122）：波斯诗人，哲学家，天文学家。
　　欧玛尔·海亚姆
　　1074年曾修订历法，并主持筹建天文台。晚年生活艰辛，去过麦加朝觐（jìn）。他生活在政治上受外族统治、思想上受宗教毒害、科学文化受摧残的时代。所写的许多四行诗都流露出受压抑的痛苦和愤懑（mèn）的心情。在对自然、人生、社会和宗教等重要问题进行严肃探讨的四行诗中，表现出深刻的哲理性思考和对真理的执著追求。在以歌颂酒为主题的四行诗中，诗人大胆提倡追求现世人生的欢乐和自由幸福的生活。由于一些四行诗表现出对伊斯兰教的怀疑和否定，因而被当政的权贵和宗教上层人士称为“吞噬教义”的毒蛇。他的四行诗继承了萨曼王朝时期霍拉桑体的诗风，语言明白晓畅，朴实洗练，不尚雕琢，感情充沛。
　　…哲：见《欧几里得110》…
　　…理：见《欧几里得1》…
　　…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
　　…真、理、真理：见《欧几里得43》…

　　海亚姆生前以学者闻名，他去世50年后，1173年才有人在历史著作中提及他写过四行诗。这种类似中国绝句的微型诗体，在他手中得到充分完美的表现。1208年，海亚姆诗集最早的抄本（藏剑桥大学图书馆）收有四行诗252首。1859年，英国诗人爱德华·菲茨杰拉德把他的四行诗译为英文出版，风行欧美。仅纽约图书馆就藏有500种不同的版本…

　　笛卡尔（René Descartes，1596年3月31日-1650年2月11日）：1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡尔得名），1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩，法国哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。
　　…化：见《欧几里得2》…
　　…解析几何（坐标几何）：见《欧几里得36》…

　　帕斯卡尔一般指布莱士·帕斯卡。
　　布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal，1623.6.19~1662.8.19）：法国数学家、物理学家、哲学家、散文家。
　　1642年他设计并制作了一台能自动进位的加减法计算装置，被称为是世界上第一台数字计算器，为以后的计算机设计提供了基本原理。
　　…基、本、基本：见《欧几里得2》…
　　…原、理、原理：见《欧几里得41》…

　　1654年他开始研究几个方面的数学问题，在无穷小分析上深入探讨了不可分原理，得出求不同曲线所围面积和重心的一般方法，并以积分学的原理解决了摆线问题，于1658年完成《论摆线》。他的论文手稿对莱布尼茨（Gottfried Leibniz）建立微积分学有很大启发。
　　自1655年隐居修道院，写下《思想录》（1658）等经典著作。


　　戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日－1716年11月14日）：德国哲学家、数学家，历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。他本人是一名律师，经常往返于各大城镇，他许多的公式都是在颠簸的马车上完成的，
　　莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上，他和牛顿先后独立发现了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用，莱布尼茨所发明的符号被普遍认为更综合，适用范围更加广泛。
　　…学、哲学：见《欧几里得110》…

　　在哲学上，莱布尼茨的乐观主义最为著名；他认为，“我们的宇宙，在某种意义上是上帝所创造的最好的一个”。莱布尼茨在哲学方面的工作预见了现代逻辑学的诞生。
　　…主义：见《欧几里得10》…
　　…意、义、意义：见《欧几里得26》…
　　…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
　　…逻辑学：见《欧几里得66~69》…

　　莱布尼茨在政治学、法学、伦理学、神学、哲学、历史学、语言学诸多方向都留下了著作。


　　昂利·庞加莱：法国数学家，1854年4月29日生于南锡（法国东北部洛林大区默尔特-摩泽尔省的省会），1912年7月17日卒（zú）于巴黎。
　　…卒：死亡：生～年月…见《欧几里得35》…

　　庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。
　　…理、论、理论：见《欧几里得5》…

　　庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。

　　“1796年，高斯发现了正十七边形的尺规作图法。1807年高斯成为哥廷根大学教授和哥廷根天文台台长。1818年—1826年间，汉诺威公国的大地测量工作由高斯主导。1840年高斯与韦伯一同画出世界上第一张地球磁场图。
　　请看下集《欧几里得132、费马、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬，常、数、常数，公式》”

　　欧几里得132、费马、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬，常、数、常数，公式

　　这些伟大的数学家，有的在人文领域也有杰出贡献，如毕达哥拉斯、欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨（cí）、庞加莱。有的则其个人经历富有传奇色彩，如费马、牛顿、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬、爱多士。

　　毕达哥拉斯：见《欧几里得130》
　　欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨、庞加莱：见《欧几里得131》

　　费马一般指皮耶·德·费玛。
　　皮耶·德·费马（Pierre de Fermat，1601年8月17日～1665年1月12日）：法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。
　　…数、论、数论：见《欧几里得15》…

　　费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。
　　…定、理、定理：见《欧几里得2》…

　　著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所写的著作中，称皮耶·德·费马为“业余数学家之王”。贝尔深信，费马比同时代的大多数专业数学家更有成就。17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。

　　牛顿：见《欧几里得87》。
　　

　　拉曼纽扬一般指斯里尼瓦瑟·拉马努金。
　　斯里尼瓦瑟·拉马努金[又译拉马努詹（zhān），1887年12月22日－1920年4月26日]：印度历史上最著名的数学家之一。

　　他没受过正规的高等数学教育，沉迷数论，尤爱质数等数学常数的求和公式，以及整数分拆。惯以直觉（或者是跳步）导出公式，不喜作证明（事后往往证明他是对的）。他留下的那些没有证明的公式，引发了后来的大量研究。
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…
　　…质、质数：见《欧几里得15、16》…

　　“这里我想引用印度数学天才拉曼纽扬的故事来说明数论学者与自然数的“情谊”，这位泰戈尔的同胞来自印度最南端的泰米尔纳德邦，是个贫穷的办事员，从没有受过高等教育，但他具有快速并且深刻地看出复杂的数的关系的惊人才华。
　　请看下集《欧几里得133、深、刻、深刻，复、杂、复杂，快速并且深刻地看出数的关系》”

　　欧几里得134、印度天才数学家拉曼纽扬的故事

　　这些伟大的数学家，有的在人文领域也有杰出贡献，如毕达哥拉斯、欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨（cí）、庞加莱。有的则其个人经历富有传奇色彩，如费马、牛顿、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬、爱多士。

　　毕达哥拉斯、欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨、庞加莱、费马、牛顿、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬：见《欧几里得130~133》

　　2012-09-06 12:55:40，网友“chris”发表名为《印度天才数学家拉曼纽扬的故事Aiyangar Ramanujan》的文章。
　　

　　“许多人都听说过，在古希腊，柏拉图学园的入口处写着这样一句话:“不懂几何学者请勿入内。”
　　那时的几何学几乎就是数学的代名词。但可能很少有人知道，在这个学园的出口处，还写着一句话：“懂哲学者方能治国。”而在本书提到的近半数数学家中，他们本人就已经是很有造诣（yì）的哲学家。
　　请看下集《欧几里得135、懂哲学者方能治国》”

　　欧几里得135、懂哲学者方能治国

　　《难以企及的人物：数学天空的群星闪耀》序言
　　…《难以企及的人物：数学天空的群星闪耀》：见《欧几里得129》…
　　…序、言、序言：见《欧几里得130》…

　　毕生对自然现象的研究有着浓厚兴趣的德国大诗人歌德曾经说过：“一门科学的历史就是这门科学本身。”本书不是关于数学的历史，但却通过讲述数学史上一些个性鲜明的人物，揭示了数学王国里各种奇异的珍宝、明艳的花朵和隐秘的激情。
　　…自、然、自然，现、象、现象，自然现象，研、究、研究，歌德，科、学、科学，历、史、历史：见《欧几里得128、129》…

　　这些伟大的数学家，有的在人文领域也有杰出贡献，如毕达哥拉斯、欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨（cí）、庞加莱。有的则其个人经历富有传奇色彩，如费马、牛顿、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬、爱多士。他们中有些是思想家、文学家、诗人、音乐家、画家，还有的是政客、神职人员、法官、军人、职员、社会青年甚或囚犯。

　　…毕达哥拉斯、欧玛尔·海亚姆、笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨、庞加莱、费马、牛顿、欧拉、高斯、希尔伯特、拉曼纽扬、爱多士：见《欧几里得130~134》…

　　通过三十年的数学理论熏陶和实践，笔者（蔡天新）越来越清晰地意识到，在浩瀚的数学海洋里，一个人是如此的渺小，尤其到了抽象化的 21 世纪。
　　…理、论、理论：见《欧几里得5》…
　　…蔡天新：见《欧几里得129》…
　　…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
　　…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…

　　幸运的是，笔者曾利用各种机会，抵达了书中所写到的每个人物曾经生活过的国度，这使得我对他们的人生轨迹有了较为清晰的认识。

　　许多人都听说过，在古希腊，柏拉图学园的入口处写着这样一句话:“不懂几何学者请勿入内。”
　　那时的几何学几乎就是数学的代名词。但可能很少有人知道，在这个学园的出口处，还写着一句话：“懂哲学者方能治国。”而在本书提到的近半数数学家中，他们本人就已经是很有造诣（yì）的哲学家。
　　…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…

　　遗憾的是，在当前中国社会，充斥着各种名目繁多的弄虚作假，包括学术造假，有的甚至触目惊心。但在纯粹数学领域，任何创造性的工作或发现都显露在光天化日之下，是难以通过人为的手段掩饰或虚构的，这就把那些科学骗子或混混拒之门外。

　　不仅如此，数学与人文主义精神有着天然的联系，温习数学先辈们的业绩和教诲，常常能给我们带来温暖。如同拜占庭哲学家普罗克洛斯所指出的：
　　数学是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂；她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智慧；她给我们的内心思想添辉；她涤（dí）尽我们有生以来的蒙昧与无知。
　　…真、理、真理：见《欧几里得43》…

　　2009年3月22日，杭州彩云居

　　“这位有钱的异乡人风度翩翩、尚未婚配，不难想象，那些年轻的萨摩斯姑娘纷纷看上了他，最后他选中的是岛上最美丽的女孩。
　　请看下集《欧几里得136、毕达哥拉斯之谜》”

　　欧几里得136、毕达哥拉斯之谜

　　毕达哥拉斯之谜1
　　…毕达哥拉斯：见《欧几里得130》…

　　一、提尔——数论的诞生地
　　…提尔：见《欧几里得19》…
　　…数、论、数论：见《欧几里得15》…

　　斜边的平方，
　　如果我没有弄错,
　　等于其他两边的
　　平方之和

　　两千五百多年前，希腊人毕达哥拉斯用诗歌描述了他发现并证明的第一个数学定理，史称毕达哥拉斯定理，它在中国又被叫做勾股定理。
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…
　　…定、理、定理：见《欧几里得2》…

　　可以说，这个定理为全世界每一个中学生所熟知。
　　作为人类历史上第一个堪称伟大的数学家和哲学家，我们有必要了解毕达哥拉斯的生平和学术思想；同时，创造了辉煌灿烂文明的古代希腊人，又是如何看待数学和从事数学研究的，也是我们颇感兴趣和好奇的事情。
　　…数、学、数学：见《欧几里得49》…
　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…

　　毕达哥拉斯出生在拥有无数传说的爱琴海东端的萨摩斯岛（Samos），此岛的面积有四百多平方公里，在数以千计的希腊诸岛中名列第八。
　　…萨摩斯岛（Samos Island）：希腊岛屿。在爱琴海东部，是爱琴海中距小亚细亚大陆最近的希腊岛屿。和小亚细亚只隔窄狭的萨摩斯海峡…

　　萨摩斯岛离小亚细亚（今天的土耳其西海岸）仅仅数公里，是爱琴海所有岛屿中离土耳其最近的，只要天气不是太糟糕，总可以用肉眼相互望见。假如这两个地方在今天仍属于同一个国家（像古代相当长一段时期那样），恐怕早就用一座跨海大桥相连了。
　　…小亚细亚：亚洲西南部的一个半岛（今土耳其所在地）…

　　在毕达哥拉斯时代，尚没有明确的国家概念，萨摩斯与希腊本土及其他岛屿、殖民地的联系主要通过航海、贸易和神话、语言，各地在政治、经济诸方面都保持着独立。萨摩斯岛是传说中希腊神话里主神宙斯之妻、天后赫拉的诞生地，岛上至今仍保留着赫拉神庙。在毕达哥拉斯移民到意大利半岛不久，波斯人入侵了小亚细亚，萨摩斯人才开始与雅典人结盟，并被并入，后来又相继被拜占庭、土耳其占领，直到1912年复归希腊。
　　…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

　　关于毕达哥拉斯的生卒（zú）年，至今流传着两个不同的版本。依照《大不列颠百科全书》的记载，毕达哥拉斯出生在公元前580 年，卒于公元前500 年，这样就与传说里中国哲学家老子可能的生卒年吻合。另一个似乎流传更广的说法是，毕达哥拉斯出生在公元前 569 年。
　　笔者（蔡天新）无意对此进行考证，好在关于毕达哥拉斯一生的主要事迹和游历，后世的了解并没有太大的出入。
　　…卒：死亡：生～年月…见《欧几里得35》…
　　…蔡天新：见《欧几里得129》…

　　对毕达哥拉斯个人来说，第一个重要的因素可能是，他的父亲并非本地人，甚至也不是来自隔海相望的小亚细亚或其他大希腊领地，而是来自腓（féi）尼基（今黎巴嫩）一座叫提尔（Tyre）的城市。
　　关于腓尼基人的来历，学者们已经无法考证，只能猜测他们是在公元前3000年左右从波斯湾一带迁移而来。也正因为如此，他们最初使用的是巴比伦人的楔（xiē）形文字，但不久便创造了字母。

　　

　　“至于在埃及法老面前，利用日光的投影测量出大金字塔的高度，对他来说则是小菜一碟（只是几何学的一个简单应用而已）。
　　请看下集《欧几里得137、用日光投影测量出金字塔高度小菜一碟，为什么？》”

　　欧几里得137、用日光投影测量出金字塔高度小菜一碟，为什么？

　　毕达哥拉斯之谜3

　　二 长发的萨摩斯人
　　…萨摩斯：萨摩斯岛…
　　…萨摩斯岛（Samos Island）：希腊岛屿…见《欧几里得136》…

　　毕达哥拉斯在提尔短暂生活之后，返回了萨摩斯。其时岛上的教育已正规化，男孩到了七岁，就要进文法学校，学习拼写和计算，接着要去的是诗歌学校，学习诗歌和音乐。
　　…提尔：见《欧几里得19》…

　　在古希腊，写诗是颇（pō）受人尊敬的一个职业，早在毕达哥拉斯之前数个世纪，小亚细亚就诞生了荷马，他留下两部流传至今的史诗——《伊利亚特》和《奥德赛》。
　　…小亚细亚：亚洲西南部的一个半岛（今土耳其所在地）…

　　诗歌学校的老师通常都是诗人。如果是名诗人，则学费极贵。毕达哥拉斯从提尔回来不久，父亲便送他到大诗人克莱菲洛斯门下学习。

　　古希腊的诗歌是在乐器伴奏下吟唱的，一个诗人往往也是乐师和歌手。不仅如此，学习诗歌除了要学习音乐，还要随着韵律和吟唱起舞。实际上，在当时的教育家眼里，诗歌是一切教育的基础，即使像萨摩斯岛行政长官那样十足的政客，家里仍聘请了两位诗人。
　　诗歌学校里的老师除了对学生实施诗歌和艺术教育以外，还教授他们政治、历史常识和辩论技巧，甚至还有体育和军事训练。
　　值得一提的是，体罚在那个年代也十分盛行。

　　毕达哥拉斯并不像后来的一些天才人物那样早慧，到了十八岁，他在任何领域都还未做出什么惊人的发现。那时候，对知识的渴望在希腊已经蔚（wèi）然成风，在父母的支持下，他只身来到对岸小亚细亚最繁华的都市米利都，向米利都学派的创始人泰勒斯求教。
　　…米利都：古希腊城邦，位于小亚细亚大陆（今土耳其所在地）西海岸…
　　…泰勒斯：见《欧几里得19》…
　　


　　泰勒斯还是一位成功的商人，由于预见到某一年的橄榄将获得丰收，他提前低价租进所有的榨油机，在收获季节再高价出租，以此来向友人证实发财比做学问容易。

　　此外，泰勒斯还被亚里士多德认为是欧洲哲学的奠基人，因为他认为水或湿气构成了宇宙。虽然这个结论后来被证明是错误的，但他却是第一个提出单一的宇宙物质基础的人。在他之前，希腊没有哲学，只有神话。正是受泰勒斯的思想启发，毕达哥拉斯后来提出了“万物皆数”的一元论哲学。值得一提的是，泰勒斯的母亲也有腓（féi）尼基人的血统，而他本人却终生未娶。
　　…结、论、结论：见《欧几里得66》…
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…

　　“在强烈的好奇心驱使下，她最终打开了魔盒。尽管她及时关闭了魔盒，但是整个世界已在一刹那间被从魔盒中释放出的各种邪灵所充斥而陷于混沌之中。后即以“潘多拉盒子”喻会带来不幸的礼物：灾难。
　　请看下集《欧几里得138、用几何学的比例来绘制地形图和天文图，潘多拉、潘多拉魔盒》”

　　欧几里得138、用几何学的比例来绘制地形图和天文图，潘多拉、潘多拉魔盒

　　泰勒斯以自己年事已高为由，拒绝收留这位好学上进的弟子（毕达哥拉斯），而是建议他改投同城另一位哲人阿那克西曼德门下。
　　…泰勒斯：见《欧几里得19》…
　　…阿那克西曼德（希腊文Ἀναξίμανδρος，英文Anaximander，约公元前610年-约公元前545年）：古希腊哲学家，据传是“哲学史第一人”泰勒斯的学生…见《欧几里得19》…

　　毕达哥拉斯之谜4

　　阿那克西曼德原是泰勒斯的学生，两人还沾亲带故，比泰勒斯幸运的是，他有一本残缺不全的著作《自然论》流传下来。

　　阿那克西曼德早年曾到过巴比伦和叙利亚，他率先把日晷（guǐ）引进希腊，还用几何学的比例来绘制地形图和天文图。
　　…晷：日影。比喻时间…
　　…日晷：古代计时仪器…
　　…比、例、比例：见《欧几里得29》…

　　阿那克西曼德认为最初的动物，包括人，都是从鱼演变而来。这一说法后来被毕达哥拉斯融入他自己的轮回学说。后人认为阿那克西曼德是提出进化论的第一人，也是生物学的创始人。
　　阿那克西曼德还提出了物质不灭的超前观念。


　　除了泰勒斯和阿那克西曼德以外，毕达哥拉斯还到得洛斯岛（Delos）拜菲尔库德斯为师。
　　…得洛斯岛：提洛岛…
　　…提洛岛：见《欧几里得19》…
　　

　　…
　　毕达哥拉斯能经常到海外旅行，与萨摩斯岛以及整个希腊地区的经济实力、军事地位分不开。当时的萨摩斯拥有全希腊最大的图书馆。

　　由于腓（féi）尼基人是闪米特-含米特人种，而希腊人是印欧人种，毕达哥拉斯实际上是个亚欧混血儿。他结束在米利都和得洛斯岛的游学回到萨摩斯岛。毕达哥拉斯留着一头披肩的长发，言谈举止不受拘束，不久以后，甚至穿上一条叫“裤子”的玩意，这与故乡人崇尚裸体的习俗格格不入。
　　…萨摩斯：萨摩斯岛…
　　…萨摩斯岛（Samos Island）：希腊岛屿…见《欧几里得136》…

　　“毕达哥拉斯离开萨摩斯岛的直接原因，是他冒犯了当地的政客和祭（jì）司。除了穿着打扮以外，他的饮食起居也与众不同。更有甚者，他宣扬阿那克西曼德的学说，试图用物理学原理来解释自然现象，结果就像20世纪某些持不同政见者一样，被驱逐出境了。
　　请看下集《欧几里得139、物、理、物理，学、物理学，毕达哥拉斯游学埃及和东方》”

　　欧几里得139、物、理、物理，学、物理学，毕达哥拉斯游学埃及和东方

　　毕达哥拉斯之谜5

　　三、游学埃及和东方

　　毫无疑问，毕达哥拉斯有一颗浪迹天涯的心。到了而立之年，他本应该成家立业、娶妻生子，但却无法安下心来从事商业活动。
　　…而立之年：人到三十岁可以自立的年龄。后为三十岁的代称…

　　毕达哥拉斯把继承家业的使命留给两个弟弟，自己再次出游，去了远方。
　　毕达哥拉斯离开萨摩斯岛的直接原因，是他冒犯了当地的政客和祭（jì）司。除了穿着打扮以外，他的饮食起居也与众不同。更有甚者，他宣扬阿那克西曼德的学说，试图用物理学原理来解释自然现象，结果就像20世纪某些持不同政见者一样，被驱逐出境了。
　　…萨摩斯岛（Samos Island）：希腊岛屿…见《欧几里得136》…
　　…阿那克西曼德：据传是“哲学史第一人”泰勒斯的学生…见《欧几里得138》…
　　…物：见《欧几里得21》…
　　…理：《欧几里得1》…
　　…物理：指事物的内在规律或道理。也指一门自然学科…
　　（…事、物、事物：见《欧几里得21》…
　　…规、律、规律：见《欧几里得43》…）

　　…学：见《欧几里得4》…

　　物理学（自然科学学科）（百度百科）：是研究物质最一般的运动规律和物质基本结构的学科。物理学研究大至宇宙，小至基本粒子等一切物质最基本的运动形式和规律，因此成为其他各自然科学学科的研究基础。
　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…
　　…规、律、规律：见《欧几里得43》…
　　…基、本、基本：见《欧几里得2》…
　　…结、构、结构：见《欧几里得41》…
　　…形、式、形式：见《欧几里得13》…
　　…基、础、基础：见《欧几里得37》…

　　物理学起始于伽利略和牛顿的年代，它已经成为一门有众多分支的基础科学。物理学是一门实验科学，也是一门崇尚理性、重视逻辑推理的科学。物理学充分用数学作为自己的工作语言，它是当今最精密的一门自然科学学科。
　　…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
　　…推、理、推理：见《欧几里得12》…

　　基本定义
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…

　　物理学是一门自然科学，注重研究物质、能量、空间、时间，尤其是它们各自的性质与彼此之间的相互关系。物理学是关于大自然规律的知识；更广义地说，物理学探索并分析大自然所发生的现象，以了解其规则。
　　…科、学、科学：见《欧几里得4》…
　　…性、质、性质：见《欧几里得37》…
　　…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…

　　以物理学为基础的相关科学有：化学、材料科学、天文学、自然地理学等。

　　物理学（百度汉语）2：以实验为基础，研究物质运动最基本、最一般的规律和物质的基本结构，以及它们的应用的科学。机械运动、电磁运动、原子运动等都是物理学的研究内容。是许多自然科学和生产技术的基础。
　　…内、容、内容：见《欧几里得66》…
　　…技、术、技术：见《欧几里得104》…

　　…
　　…原、理、原理：见《欧几里得41》…


　　毕达哥拉斯先是重返父亲的故国，即他幼年时逗留过的腓（féi）尼基游历，走遍了今天黎巴嫩、叙利亚和以色列沿海的每一座城市，包括提尔。
　　…提尔：见《欧几里得19》…

　　古代地中海一带的人，认为大西洋就是世界的尽头，无人敢穿越直布罗陀（tuó）海峡。
　　…直布罗陀海峡：位于西班牙最南部和非洲西北部之间；最窄处宽仅14千米。“直布罗陀”为英文译名…
　　

　　接下来，他又猛学古埃及的象形文字（据说他是第一个学会这种语言的希腊人），象形文字那时已经简化成所谓的僧侣文了。值得一提的是，这种文字在中世纪行将结束时已经失传，无人可以解读。直到1799年，占领埃及的拿破仑士兵发现一块石碑，上面刻着用希腊文、僧侣文和象形文字记述的同一篇铭（míng）文，僧侣文才被后世专家破译出来。
　　…中世纪：指从公元5世纪后期到公元15世纪中期，是欧洲历史三大传统划分（古典时代、中世纪、近现代）的一个中间时期。始于公元476年西罗马帝国的灭亡，终于公元1453年东罗马帝国的灭亡，最终融入文艺复兴运动和大航海时代（地理大发现）中…

　　“毕达哥拉斯发现，埃及的祭司因为沉默寡言而神秘莫测，后来、他在意大利创办学院，就把“守口如瓶”当作一条纪律，要求弟子们遵从。
　　请看下集《欧几里得140、从尼罗河水潮涨潮落的观察中提炼出来的知识》”

　　欧几里得140、从尼罗河水潮涨潮落的观察中提炼出来的知识
　　

　　事实上，那时候在数学和天文学方面领先的是巴比伦人。但毕达哥拉斯在埃及过着十分舒心和令人尊敬的生活，这与他在故乡受到的冷遇形成对照，直到强大的波斯人侵入埃及。
　　波斯侵入埃及后，毕达哥拉斯和埃及境内的所有希腊人一起，被俘虏到已经成为波斯人领地的巴比伦做了奴隶。没想到的是，他却因祸得福，又一次获得学习的良机。

　　“已知的考古学发现表明，巴比伦人在数学尤其是代数方面更为先进。
　　请看下集《欧几里得141、六十进制：一天分24小时、每小时60分、每分钟60秒》”

　　欧几里得141、六十进制：一天分24小时、每小时60分、每分钟60秒

　　与尼罗河两岸的埃及文明一样，底格里斯河和幼发拉底河所灌溉的美索不达米亚平原，也是人类文明最早的发祥地之一。
　　

　　…进：会意字。甲骨文是一只鸟（“隹”）加一只脚（‘止’）”，表示“前进”；金文再加“彳”（音chì，“行走”的意思）；小篆（zhuàn）把“彳”，“止”合成“辵”（音chuò）。
　　本义为前进。
　　引申可有行、进步、促进、出仕（shì）、引进、举荐、提升、进献、靠近、超过、进入等意义。

　　会意。甲骨文字形，上面是“隹（zhuī）”，象小鸟形，下面是“止”（趾）。鸟脚只能前进不能后退，故用以表示前进。本义：前进，与“退”相对。

　　字义：1.向前或向上移动、发展，与“退”相对：前～。上～。推～。跃～。～退。～取。～击。～驻。～行（xíng）。～而。
　　2.入，往里去：～见。～谒（yè）。～谗（chán）。
　　3.吃，喝：～食。～餐。滴水未～。
　　4.收入或买入：～账。～货。日～斗金。
　　5.奉上，呈上：～言。～奉。～献…

　　…先进：
　　1.进步快、水平高、可以作为学习榜样的：～人物。～经验。
　　2.走在前面的、高水平的：～技术…
　　（2图
　　楔形文字）

　　更令人吃惊的是，收藏于美国哥伦比亚大学的一块用楔形文字书写的泥板书显示,巴比伦人已经知道了若干满足毕达哥拉斯定理（在中国又被叫做勾股定理）的整数组。
　　…定、理、定理：见《欧几里得2》…

　　这个事实说明，毕达哥拉斯有可能从巴比伦人那里学到了本文开头提到的那个定理（但巴比伦人和中国人一样，并没有在毕氏以前给出证明）。
　　…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…
　　…本文开头提到的那个定理：即毕达哥拉斯定理。见《欧几里得136》…

　　毕达哥拉斯被押到两河流域以后，先是做了一位波斯军官的奴隶，后来因为治理好主人的瘙（sào）痒症而获得自由，他所用的偏方是从埃及祭（jì）司那里学来的。

　　毕达哥拉斯本可以从此离开巴比伦，但他自己主动留了下来，原因是想了解和研 人的拜火教。这个由伊朗先知琐罗亚斯德创立的宗教——认为世界上存在善与恶两种势力的斗争——虽然后来衰败了，但仍延续至今，是世界上历史最悠久的宗教。
　　受拜火教基本教义的影响，毕达哥拉斯后来把奇数看成是善的代表，是阳性的，而偶数就成为恶的代表，是阴性的。他后来利用整数的比例关系研究音乐理论，也是受到了巴比伦星相学和数字神话思想的启发。
　　…基、本、基本：见《欧几里得2》…
　　…比、例、比例：见《欧几里得29》…
　　…关、系、关系：见《欧几里得75》…
　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…
　　…理、论、理论：见《欧几里得5》…

　　“那时候，希腊已有许多小酒馆，岛民最害怕的就是孤独。萨摩斯人常常自带鱼干或橄榄，向店主买来一杯酒，在那里相互传递消息。
　　请看下集《欧几里得142、法显（东晋名僧），岛民最害怕的就是孤独，狭、隘、狭隘，意识》”

　　欧几里得142、法显（东晋名僧），岛民最害怕的就是孤独，狭、隘、狭隘，意识

　　四．克罗托内学园
　　…克罗托内：意大利地名…

　　

　　…隘（百度百科）：本意是狭窄，引申指险要处…
　　…隘（百度汉语）2：形声。从阜，益声。阜，土山。从“阜”的字多与地势有关。本义：狭窄；狭小。

　　字义：
　　1.狭窄：狭～。林深路～。
　　2.险要的地方：关～。要～…

　　…狭隘：指不宽阔，更多的引申为心胸、气量、见识等不宏大宽广或非常局限。

　　词义：
　　1.宽度小：～的山道。
　　2.范围小：她不愿意生活在～的小天地里。
　　3.（心胸、气量、见识等）局限在一个小范围里；不宽广；不宏大：见闻～。心地～。～的生活经验…

　　…意：见《欧几里得26》…
　　…识：见《欧几里得5》…
　　…意识：
　　1.人的头脑对于客观物质世界的反映，是感觉、思维等各种心理过程的总和，其中的思维是人类特有的、反映现实的高级形式。存在决定意识，意识又反作用于存在。
　　2.觉察（常跟“到”字连用）：天还冷，看见树枝发绿才～到已经是春天了…
　　（…思、维、思维：见《欧几里得22》…
　　…形、式、形式：见《欧几里得13》…）

　　人们的态度分成了两种，年轻人认为毕达哥拉斯是一个智者，年长的人认为他是一个狂人。终于、有一个与毕达哥拉斯同名的孩子迷上了解数学题，偷偷地来跟他学习，并说服了家长（这个孩子后来成为提倡运动员注意饮食的第一人）。受这个学生的鼓励，毕达哥拉斯依山办起了一座“半圆学校”，虽然当地的权贵和商人不喜欢他，不过，由于他在埃及赢得的声望，青年人依然纷纷涌来。

　　那时候，希腊已有许多小酒馆，岛民最害怕的就是孤独。萨摩斯人常常自带鱼干或橄榄，向店主买来一杯酒，在那里相互传递消息。居住在山洞里的毕达哥拉斯和他的弟子们自然而然就成为被议论的对象。经过一番添油加醋，他的提问式教育方法、内容和对当地诸如祭（jì）神方式等的批评，受到了讥笑甚至怒骂，其中的一大忌（jì）讳（huì）是“数就是神”。
　　毕达哥拉斯先是被迫把教学内容改为单纯的数学，接着便把创办不满一年的学校关闭了。

　　记叙基督事迹的《约翰福音》里写道：“先知在本地是不受尊敬的。”毕达哥拉斯五十岁那年，不得不再次离开萨摩斯，从此没有返回过故乡。
　　…先知（百度百科）：对宇宙万物与人类社会，自然科学方面的大事有较早研究与了解或准确预言的人类…
　　…先知（百度汉语）2：对事理的认识较一般人为早的人。

　　词义：
　　1、认识事物在众人之前。
　　2、认识事物在众人之前的人…

　　毕达哥拉斯决心去意大利，不过第一站是到得洛斯看望菲尔库德斯——这并非他最后一次来到这座小岛，几年以后，恩师病危，他再次赶来守护。
　　…得洛斯：得洛斯岛…
　　…得洛斯岛：提洛岛…
　　…提洛岛：英语Delos，现代希腊语作Dhilos…见《欧几里得19》…
　　…
　　…菲尔库德斯：见《欧几里得138》…

　　“公元前338年的喀（kā）罗尼亚之战，马其顿王国击败了希腊各邦的反抗，从而确立了对包括雅典在内的许多希腊城邦的霸主地位。公元前323～前322年雅典与马其顿战于拉米亚，结果失败，附属于马其顿，从此完全失去自立，民主政体名存实亡。
　　请看下集《欧几里得143、雅典，城、邦、城邦，斯巴达，奥林匹克运动会》”

　　欧几里得143、雅典，城、邦、城邦，斯巴达，奥林匹克运动会

　　接着，毕达哥拉斯走访了雅典、克里特岛和斯巴达城邦。后者位于希腊本土伯罗奔尼撒半岛的东南，市民以骁勇尚武著称。那时雅典尚未兴盛，而克里特已经衰落。
　　

　　就像重返萨摩斯岛时一样，克罗托内的市政长官也邀请毕达哥拉斯向公众发表演说。没想到，这一次竟然大获成功，甚至权贵们和年长的公民也被折服了。
　　…萨摩斯岛（Samos Island）：希腊岛屿。在爱琴海东部，是爱琴海中距小亚细亚大陆最近的希腊岛屿。和小亚细亚只隔窄狭的萨摩斯海峡…
　　…毕达哥拉斯重返萨摩斯岛：见《欧几里得142》…

　　“从流传下来的雕刻或人物素描来看，古希腊的哲人大多神情严肃，毕达哥拉斯也不例外。在萨摩斯时他就要求学生们面壁思考，到了克罗托内，他又要求弟子们对授课内容和研究心得守口如瓶。
　　请看下集《欧几里得144、有过一番经验教训以后，毕达哥拉斯成熟了许多》”

　　欧几里得144、有过一番经验教训以后，毕达哥拉斯成熟了许多

　　大希腊是个多神教的国家，意大利南方最崇拜的是酒神狄奥尼索斯，人们喜欢纵情歌舞（这一习性一直保留至今），并无太多的嫉（jí）妒（dù）之心。与此同时，有过一番经验教训以后，毕达哥拉斯成熟了许多，谈吐也更加文雅了，举手投足都显得超凡脱俗。

　　很快，毕达哥拉斯便有了一大批拥戴者，其中一个是跳远的奥运冠军，他把自己的哑女狄亚诺许配给了这位异乡人，两人生下了一对儿女。这样一来，毕达哥拉斯就过上了安定的生活。他先是建议市政府为缪斯（希腊神话中的一组女神，起先只是诗人的保护人，后来掌管的范围扩大，兼及包括体育在内的一切文科乃至科学）修筑了神庙，接着在郊外办起了一所被称为“城中之城”的学校或社团。

　　毕达哥拉斯之谜 8

　　毕达哥拉斯把社团成员分成两类，分别叫毕达哥拉亚和毕达哥拉斯太：前者极具天赋，要求把财产交公，一起过公社生活；后者保留私有财产，可以和其他成员交流，相当于旁听生。稍后，又根据工作性质作了区分。例如，管理学校内部事务的叫Politikoi，这大概是后来“政治家（英语：politician）”一词的来源，不过当时他们对政治并没有什么兴趣；专门从事几何学、天文学研究的则叫Mathematikoi，这正是“数学家（英语：mathematician）”一词的希腊语原形。
　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…

　　作为一校之长和精神领袖的毕达哥拉斯，他的职责除了制定规章制度和管理以外，还亲自负责招募新生。凭着他的知名度和声誉，许多富商子弟或出名的人都前来投奔，其中包括连续六届奥运会摔跤冠军米隆，据说他曾在开幕式上扛着一条公牛进入会场。由此可见，古希腊人对智慧非常仰慕。大多数社团学员得经过五年的观察期，其间作为旁听生只能站在帐外，不得发言或提问，只有被称为“哲学家”后才能进入帐内。
　　…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…

　　从流传下来的雕刻或人物素描来看，古希腊的哲人大多神情严肃，毕达哥拉斯也不例外。在萨摩斯时他就要求学生们面壁思考，到了克罗托内，他又要求弟子们对授课内容和研究心得守口如瓶。
　　…萨摩斯：萨摩斯岛…
　　…萨摩斯岛（Samos Island）：希腊岛屿…见《欧几里得136》…
　　…克罗托内：意大利地名…

　　

　　有一次，一个叫希帕索斯的学生因为泄露了正十二面体的一个秘密，被逐出师门。毕达哥拉斯痛心之余，派人在海滨修筑了一处衣冠冢（zhǒng），他宁肯把弟子看做是已故。不过，这也成为别人攻击他的一个理由，认为这个弟子是被推下海而溺死的。
　　…希帕索斯：见《欧几里得17》…
　　…衣冠冢（百度百科）：即死者的衣冠等物品代替遗体下葬，而并未葬有死者遗体的墓葬。这是因为死者的遗体无法找到，或已葬在另一处，再于此地设衣冠冢以示纪念。现今发现的衣冠冢还有很重要的一类，就是生基，生基并非人死后所建，而是在生的时候为了给自己消灾祈（qí）福，而埋葬的生人衣发等，生基文化在中国有四千多年的历史…
　　…衣冠冢（百度汉语）2：也叫衣冠墓。只埋着死者衣帽等遗物的坟（fén）墓，多为纪念而建造…

　　五 神秘的数与音乐

　　在现代西方主要语言里，“数学”一词均来源于古希腊语Mathema。在毕达哥拉斯之前，这个词的意思是“可以学到的知识”；到了毕达哥拉斯时代，这个词就成了“数学”的意思，不过仅限于“自然数的学问”（相当于算术）。直到中世纪，通行于欧洲教育体制的“毕达哥拉斯四艺”中的第一艺还是算术，其他三艺依次是几何、天文学和音乐（可见“数学”一词的现代意义至少在文艺复兴以后才形成），而那时候“代数学”一词还未出现，它首次在阿拉伯语里出现已经是9世纪的事了。
　　…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…
　　…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…
　　…意、义、意义：见《欧几里得26》…
　　…代、数、代数：见《欧几里得36》…

　　毕达哥拉斯早年在诗歌学校的熏陶丰富了他的写作能力，因此他才用诗歌描述了他发明的第一个定理（见本文开头）。这个早已被巴比伦人和中国人发现的定理的第一个证明是由毕达哥拉斯给出的，据说他当时紧紧抱住哑妻狄亚诺大声喊道：“我终于发现了！”毕达哥拉斯还发现，三角形的三个内角之和等于两个直角之和（这个命题的否定导出了非欧几何学）。他同时证明了，平面可以用正三角形、正四边形或正六边形填满（用后来的镶嵌几何学可以严格证明，不可能用其他正多边形来填满平面）。
　　…定、理、定理：见《欧几里得2》…
　　…毕达哥拉斯用诗歌描述了他发明的第一个定理：见《欧几里得136》…
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…
　　…命、题、命题：见《欧几里得70》…

　　“毕达哥拉斯认为我们生活的世界中的多数事物只是匆匆过客，随时都会消亡，唯有数和神是永恒的。
　　请看下集《欧几里得145、亲和数、完美数；毕达哥拉斯：多数事物随时会消亡，唯有数永恒》”

　　欧几里得145、亲和数、完美数；毕达哥拉斯：多数事物随时会消亡，唯有数永恒

　　毕达哥拉斯之谜9

　　关于自然数，毕达哥拉斯最有意思的发现和定义、是亲和数（Amicable Number）与完美数（Perfect Number）。所谓完美数是这样一个数，它等于其真因子的和，例如6和28，因为6=1+2+3，28=1+2+4+7+14。后来的《圣经》也提到，上帝用六天的时间创造了世界（第七天是休息日），而相信地心说的古希腊人认为，月亮围绕地球旋转所需的时间是二十八天。必须指出的是，迄今为止，还没有人找到哪怕一个奇完美数，当然也没有人能够否定它的存在。
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　…真，因、子、因子，真因子：见《欧几里得16》…

　　而亲和数是指这样一对数，其中的任意一个是另一个的真因子之和。例如，220 和 284。

　　后人为亲和数添加了神秘色彩，使其在魔法术和占星术方面得到应用。《圣经》里也提到，雅各送孪（luán）生兄弟以扫220只羊，以示挚（zhì）爱之情。

　　有意思的是，直到两千多年以后，第二对亲和数（17926，18416）才由法国数论学家费尔马找到。他的同胞、数学家兼哲学家笛卡尔则找到了第三对。虽然在电子计算机出现以前，数学家们已发现了数十对亲和数，不过第二小的一对（1184，1210）却是在19世纪后期才由一位十六岁的意大利男孩帕格尼尼找到的。
　　…数、论、数论：见《欧几里得15》…
　　…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…

　　毕达哥拉斯一生做了两件事：从事神职工作和兴办学校。他在埃及十年，主要生活在神庙里，必然要关心神话和宗教，后来到了克罗托内，才开始传道授业。
　　…毕达哥拉斯在埃及十年：见《欧几里得139》…
　　…克罗托内：意大利地名…
　　

　　…阳：“阳”，会意兼形声字。甲骨文的“阳”字左边是“阜（fù）”（土山），有升高的意思；右边上部是“日”，下部是“T”，是祭（jì）神的石桌（有学者认为指树枝），表示太阳升到了祭桌（或树枝）的上方。金文在“T”的左下方加“彡（shān）”，表示阳光，变为“昜（yáng）”，会意太阳升起，阳光普照。篆（zhuàn）文承续（xù）金文字形。小篆线条化。隶书将篆文字形中的“阜”写成“左耳旁”。楷书笔画化，“阜”变为“左耳刀儿”。简体楷书以“日”代正体楷书的“易”，成为通用的简化字“阳”。
　　“阳”，本作“昜”。昜，既是声旁也是形旁，是“暘”的本字，表示日光照耀。“阳”字的本义指山的南面、水的北面，即受光的一面；引申为太阳、阳光，又引申为温暖，还引申为明亮；又指古代的哲学概念，与“阴”相对；又有“外露的”“表面的”的意思。据《说文》：“阳，高明也。从阜（fù）（去掉下面的‘十’），昜声。”本义亦当为“高明也”，非具体指山之南、河之北也，当指高处见到光明的地方，或高处阳光照得到的地方，故从阜、从昜（yáng）、会意。甲骨文见昜、阳，但未见阴和侌（yīn），西周金文则昜、阳、阴俱见。

　　最早见于甲骨文。会意字兼形声字。从阜（fù），昜（yáng）声。字义与山有关。其本义为山南水北朝向日光的地方；一说本义是指高处见到光明的地方，或高处阳光照得到的地方；后引申为日光，日头；又引申为有光的，光亮的，明显的，外露的，可见的，凸出的；又引申为公开地，明显地等意思。

　　字义：
　　1.我国古代哲学认为存在于宇宙间的一切事物中的两大对立面之一（跟“阴”相对）：阴～二气。
　　2.太阳；日光：～光。～历。～坡。朝～。向～。
　　3.山的南面；水的北面：衡～（在衡山之南）。洛～（在洛河之北）。
　　4.凸出的：～文。
　　5.外露的；表面的：～沟。～奉阴违。
　　6.指属于活人和人世的（迷信）：～宅。～间。～寿。
　　7.带正电的：～电。～极…
　　[…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
　　…意：意思：来～…
　　…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
　　…会意字：指用两个及两个以上的独体汉字，根据各自的含义所组合成的一个新汉字，这种造字法就叫作会意。用会意造字法造出的汉字就是会意字…
　　…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
　　…形声字：用形声造字法造出来的字…]
　　“山南水北…即山向阳的一面，或水的北岸…”中学生说，“中国大的河流多数从西往东流，这种河流形成的河谷，北岸易晒到阳光南岸不易晒到阳光…”

　　“医学上，阳性代表有病或者有病毒，阴性代表没有病或者没有病毒。
　　请看下集《欧几里得146、阳、性、阳性，阿波罗，理、念、理念，音》”

　　欧几里得146、阳、性、阳性，阿波罗，理、念、理念，音

　　毕达哥拉斯对10以内的数赋予的意义：1是一切数的源泉，是阳性中的至高者——阿波罗。
　　…意、义、意义：见《欧几里得26》…
　　…阳：见《欧几里得145》…
　　…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

　　阳性（百度百科）：医学上，阳性代表有病或者有病毒，阴性代表没有病或者没有病毒。

　　一般来说，阳性（positive）代表有病或者有病毒，阴性（negative）代表正常。
　　“阴性”和“阳性”在医学上使用得较多，已成为一种术语，泛指存在与否，或用来表示某种检查的结果。可以举一些例子来说明：
　　表示体检结果：如果某人患冠心病或范围较小的肺结核，医生听诊时不一定能发现问题，于是就会说心肺无阳性体征，或说心肺阴性，或写成心肺（-）。
　　表示试验的结果：做结核菌素试验，如局部未出现红肿，叫OT（-），表明对结核菌无免疫力，应接种卡介苗。
　　…卡介苗：预防肺结核的疫苗…见《富田兴合苑业主的大事小事230》…
　　…《富田兴合苑业主的大事小事》：小说名…

　　表示化验的结果：乙型肝炎“二对半”化验。如e抗原阳性（+），表明有很强的传染性，如仅有表面抗体阳性（+），表明对乙型肝炎病毒已具有免疫力，一般来说没有传染性。
　　…抗、原、抗原：见《富田兴合苑业主的大事小事117》…
　　…抗、体、抗体：见《富田兴合苑业主的大事小事40》…

　　表示拍片的结果：肾结石的成分如是草酸钙，拍平片时影子很深，叫“阳性石”，痛风患者由于肾结石的成分是尿酸，影子很淡，叫“阴性石”。
　　…痛风：见《富田兴合苑业主的大事小事8、9》…

　　阳性（百度汉语）2：诊断疾病时对进行某种试验或化验所得结果的表示方法。如果体内有某种病原体存在或对某种药物有过敏反应，则结果呈阳性。
　　…病、原、病原、体、病原体：见《富田兴合苑业主的大事小事2》…
　　…过、敏、过敏：见《富田兴合苑业主的大事小事111、112》…

　　…
　　…阿波罗：古希腊神话中的光明与预言之神。
　　阿波罗是所有男神之中相貌最英俊的一个，他快乐、聪明、拥有着阳光般的气质，是许多艺术家在诗画中赞颂的对象。
　　阿波罗常被现代人说成是太阳神…

　　2是众神之母。
　　3代表了三维，后来被基督教用来表示三位一体。
　　4象征着一年四季和人的四大能力——智性、知识、判断、感觉。
　　…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…

　　5是婚姻数，它等于最小的偶数2与1（万物之泉）以外的第一个奇数3之和。
　　6不仅完美，且是神灵的数，古希腊人认为转世的周期是216年（6的3次方）。
　　7不能分解，是处女数。
　　8象征和谐、友谊，正立方体有 8 个面。
　　9是10 以内最大的平方数，所以是公正的。
　　…平方数：又称完全平方数。指可以写成某个整数的平方的数。如9 =3×3，9就是平方数…

　　10是前4个数之和，完美又神圣。

　　毕达哥拉斯之谜10

　　在毕达哥拉斯看来，数学的一切理念都应该是美的，不仅如此，音乐的美也建立在数的基础之上。
　　…理：见《欧几里得1》…
　　…念：见《欧几里得21》
　　…理念：字面意思是理性概念

　　字义：
　　1.信念：人生～。
　　2.思想；观念：经营～。文化～…
　　（…概、概念：见《欧几里得22、23》…）
　　

　　…音：指事字。“音”始见于春秋时期，金文（图1、8、10）和小篆（zhuàn）（图3、4）描画的都是一个“言”字，在口中加了一点指事符号，表示声音就是从口中发出的。这声音可以是语音，也可以是乐音。“口”中或加短横，或加短竖，或加小圆圈，形虽不同，作用一致。“音”与“言”在意义上是有联系的。发“言”为声，声成文谓之“音”。

　　音的本义是声音，引申为消息，如音信、佳音。又引申为音节。又指音乐。一说“音”本义为音乐，后泛指一般的声音。
　　字义：1.声音；读音：～律。～乐。口～。乐～。杂～。把这个字的～读准。
　　2.消息：佳～。～信。
　　3.指音节：单～词。复～词。
　　4.读（某音）：“区”字作姓时～欧…
　　（…指事：指以象征性的符号表示意义的造字法。如“上”、“下”…见《欧几里得40》…
　　…指事字：见《欧几里得40》…）

　　“因为至今无人破译古希腊的乐理，我们无法知道毕达哥拉斯时代的音乐是什么样的…
　　请看下集《欧几里得147、乐、音乐，人文，精密科学，乐理》”

　　欧几里得146、阳、性、阳性，阿波罗，理、念、理念，音

　　毕达哥拉斯对10以内的数赋予的意义：1是一切数的源泉，是阳性中的至高者——阿波罗。
　　…意、义、意义：见《欧几里得26》…
　　…阳：见《欧几里得145》…
　　…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

　　阳性（百度百科）：医学上，阳性代表有病或者有病毒，阴性代表没有病或者没有病毒。

　　一般来说，阳性（positive）代表有病或者有病毒，阴性（negative）代表正常。
　　“阴性”和“阳性”在医学上使用得较多，已成为一种术语，泛指存在与否，或用来表示某种检查的结果。可以举一些例子来说明：
　　表示体检结果：如果某人患冠心病或范围较小的肺结核，医生听诊时不一定能发现问题，于是就会说心肺无阳性体征，或说心肺阴性，或写成心肺（-）。
　　表示试验的结果：做结核菌素试验，如局部未出现红肿，叫OT（-），表明对结核菌无免疫力，应接种卡介苗。
　　…卡介苗：预防肺结核的疫苗…见《富田兴合苑业主的大事小事230》…
　　…《富田兴合苑业主的大事小事》：小说名…

　　表示化验的结果：乙型肝炎“二对半”化验。如e抗原阳性（+），表明有很强的传染性，如仅有表面抗体阳性（+），表明对乙型肝炎病毒已具有免疫力，一般来说没有传染性。
　　…抗、原、抗原：见《富田兴合苑业主的大事小事117》…
　　…抗、体、抗体：见《富田兴合苑业主的大事小事40》…

　　表示拍片的结果：肾结石的成分如是草酸钙，拍平片时影子很深，叫“阳性石”，痛风患者由于肾结石的成分是尿酸，影子很淡，叫“阴性石”。
　　…痛风：见《富田兴合苑业主的大事小事8、9》…

　　阳性（百度汉语）2：诊断疾病时对进行某种试验或化验所得结果的表示方法。如果体内有某种病原体存在或对某种药物有过敏反应，则结果呈阳性。
　　…病、原、病原、体、病原体：见《富田兴合苑业主的大事小事2》…
　　…过、敏、过敏：见《富田兴合苑业主的大事小事111、112》…

　　…
　　…阿波罗：古希腊神话中的光明与预言之神。
　　阿波罗是所有男神之中相貌最英俊的一个，他快乐、聪明、拥有着阳光般的气质，是许多艺术家在诗画中赞颂的对象。
　　阿波罗常被现代人说成是太阳神…

　　2是众神之母。
　　3代表了三维，后来被基督教用来表示三位一体。
　　4象征着一年四季和人的四大能力——智性、知识、判断、感觉。
　　…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…

　　5是婚姻数，它等于最小的偶数2与1（万物之泉）以外的第一个奇数3之和。
　　6不仅完美，且是神灵的数，古希腊人认为转世的周期是216年（6的3次方）。
　　7不能分解，是处女数。
　　8象征和谐、友谊，正立方体有 8 个面。
　　9是10 以内最大的平方数，所以是公正的。
　　…平方数：又称完全平方数。指可以写成某个整数的平方的数。如9 =3×3，9就是平方数…

　　10是前4个数之和，完美又神圣。

　　毕达哥拉斯之谜10

　　在毕达哥拉斯看来，数学的一切理念都应该是美的，不仅如此，音乐的美也建立在数的基础之上。
　　…理：见《欧几里得1》…
　　…念：见《欧几里得21》
　　…理念：字面意思是理性概念

　　字义：
　　1.信念：人生～。
　　2.思想；观念：经营～。文化～…
　　（…概、概念：见《欧几里得22、23》…）
　　

　　…音：指事字。“音”始见于春秋时期，金文（图1、8、10）和小篆（zhuàn）（图3、4）描画的都是一个“言”字，在口中加了一点指事符号，表示声音就是从口中发出的。这声音可以是语音，也可以是乐音。“口”中或加短横，或加短竖，或加小圆圈，形虽不同，作用一致。“音”与“言”在意义上是有联系的。发“言”为声，声成文谓之“音”。

　　音的本义是声音，引申为消息，如音信、佳音。又引申为音节。又指音乐。一说“音”本义为音乐，后泛指一般的声音。
　　字义：1.声音；读音：～律。～乐。口～。乐～。杂～。把这个字的～读准。
　　2.消息：佳～。～信。
　　3.指音节：单～词。复～词。
　　4.读（某音）：“区”字作姓时～欧…
　　（…指事：指以象征性的符号表示意义的造字法。如“上”、“下”…见《欧几里得40》…
　　…指事字：见《欧几里得40》…）

　　“因为至今无人破译古希腊的乐理，我们无法知道毕达哥拉斯时代的音乐是什么样的…
　　请看下集《欧几里得147、乐、音乐，人文，精密科学，乐理》”

　　欧几里得147、乐、音乐，人文，精密科学，乐理

　　在毕达哥拉斯看来，数学的一切理念都应该是美的，不仅如此，音乐的美也建立在数的基础之上。
　　…理、念、理念，音：见《欧几里得146》…
　　

　　自文艺复兴以来，毕达哥拉斯的观点（如黄金分割、和谐比例）均被应用于美学，他的数学和哲学思想得到广泛传播，很多人文主义者认为他是（包括数学在内的）“精密科学之父”。他从数学的角度出发去解释世界，这在总体上确立了自然科学的发展方向，影响了后世的科学家。
　　…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…
　　…人文（百度百科）：重视人，尊重人，关心人，爱护人。简而言之，人文，即重视人的文化…
　　…人文（百度汉语）2：指强调以人为主体，尊重人的价值，关心人的利益的思想观念：～精神…
　　…主义：见《欧几里得10》…
　　…科、学、科学：见《欧几里得4》…
　　…精密科学：指有精准量化表示或准确预测的科学领域。精密科学也会有测试假说的严谨方法，尤其是利用可重复性的实验，其中有可量化的预测及测量。以此定义来看，物理及化学是精密科学，系统生物学（尤其是理论系统生物学及数学系统生物学）因为大量使用数学的图论、逻辑、统计等知识，也属于精密科学…
　　（…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…）

　　16世纪初期，波兰天文学家哥白尼自认为他的“日心说”属于毕达哥拉斯的哲学体系。此后，发现自由落体定律的意大利物理学家伽利略也被称作是毕达哥拉斯主义者，而17世纪创建微积分学的德国数学家莱布尼茨（cí）则自认为是毕达哥拉斯主义的最后一位传人。

　　由于毕达哥拉斯学派发现了根号2的无理性，使数学遇到了第一次危机。
　　…第一次数学危机：见《欧几里得15》…

　　…
　　毕达哥拉斯留下的不朽之谜尚有：因为至今无人破译古希腊的乐理，我们无法知道毕达哥拉斯时代的音乐是什么样的…
　　…理：见《欧几里得1》…
　　…乐理：我们平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，也就是“基础乐理”…

　　2007年12月，杭州

　　“公元前323年的亚历山大帝国是当时世界上领土面积最大的国家，超过中国战国七雄领土总和。
　　请看下集《欧几里得148、亚里士多德（百科全书式科学家），亚历山大，欧几里得，圆锥曲线》”

　　欧几里得148、亚里士多德（百科全书式科学家），亚历山大，欧几里得，圆锥曲线

　　2019年5月5日晚上19点28分，网友“芝罘（fú）山人”在贴吧开了一篇名为“从欧几里得到爱因斯坦——漫话科学史 第一话 关于公理化方法…”的帖子。
　　…罘、贴吧：见《欧几里得1》…
　　…

　　

　　托勒密很重视学问，就成立了一个大学。这个大学就在他的王宫旁边，是当时全世界最优秀的大学，设备非常好，有许多书。很可惜，由于宗教的原因，以及众多的原因，现在这个学校已经被完全毁掉了。当时的基督教就不喜欢这个学校。回教人占领北非之后就大规模地破坏、并焚烧图书馆的书。所以现在这个学校完全不存在了。

　　懂几何者
　　…几、何、几何：见《欧几里得28》…

　　欧几里得（Euclid）是古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者。欧几里得出生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入柏拉图学园学习。
　　…柏拉图学园（科学院）：见《欧几里得102》…

　　“在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。
　　请看下集《欧几里得149、联、系、联系，论、论证，据、论据，说、说明》”

　　欧几里得149、联、系、联系，论、论证，据、论据，说、说明

　　一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫（yīn）中的柏（bó）拉图学园。只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂几何者，不得入内！”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀。如果懂了，还来这儿做什么？
　　…柏拉图学园（科学院）：见《欧几里得102》…

　　正在人们面面相觑（qù），不知是进是退的时候，欧几里得从人群中走了出来。只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。
　　…觑：形声字，见为形，虚为声。觑的本意指伺（sì）视或窥（kuī）视，泛指看…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
　　…形声字：用形声造字法造出来的字…]

　　…面面相觑（百度百科）：你看我，我看你，不知道如何是好。形容人们因惊惧或无可奈何而互相看着，都默不出声…
　　…面面相觑（百度汉语）2：你瞧我，我看你。形容大家因惊惧或无可奈何互相望着，都不说话…

　　编写巨著
　　最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及，后传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派奠基。
　　…几、何、几何：见《欧几里得28》…
　　…毕达哥拉斯学派：见《欧几里得142~147》…
　　…奠、基、奠基：见《欧几里得115》…

　　在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。
　　…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…
　　…系、统、系统：见《欧几里得37》…
　　…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
　　…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…

　　…联（繁体为“聯”）：会意字，由耳和表示接连不断的丝两部分组成（在繁体字中），今简化为联。联本意表示连接，引申指互相结合，也指对联。

　　从耳从丝。以丝绳贯穿器耳便以提挂。本义：连接。
　　1. 连结，结合：～合。～结。～系。～络。～盟。～邦。～名。～想。～姻。～营。珠～璧合。
　　2. 对偶的语句：对～。挽～。上～。下～…
　　…系：见《欧几里得25》…
　　…联系：1.联络；接上关系。
　　2.也叫普遍联系。哲学范畴。指事物或现象之间的相互依赖、相互制约、相互渗透、相互转化的关系…
　　（…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…）

　　…式、公式：见《欧几里得132》…
　　…定、理、定理：见《欧几里得2》…
　　…严、格、严格：见《欧几里得125》…
　　…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

　　…论：见《欧几里得3》…
　　…论证：1.逻辑学指引用论据来证明论题的真实性的论述过程，是由论据推出论题时所使用的推理形式。
　　2.论述并证明：～会。经过调查～，综合研究，确定具体措施…
　　（…据：见《欧几里得57》…
　　…论据：立论的根据（多指事实）：充足的～…
　　…题：见《欧几里得70》…
　　…论题：见《欧几里得71》…
　　…推、理、推理：见《欧几里得12》…
　　…形、式、形式：见《欧几里得13》…
　　…综、合、综合：见《欧几里得42》…
　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…）
　　

　　…说：偏旁“言”简化为“讠”。依据古人书法省笔简化。《说文解字》：“说，释也。从言、兑（duì）。”
　　[shuō]
　　本义：用话来表达意思：说话、说明、演说、解说。
　　衍（yǎn）义：引申指“介绍”。如：说合（ａ．从中介绍；ｂ．商议；ｃ．说和。“合”均读轻声）、说媒。
　　衍义：引申指“言论，主张”。如：学说、著书立说。
　　衍义：引申指“责备”。如：数说。
　　衍义：引申指“文体的一种”。如：韩愈（yù）的《师说》。
　　[shuì]
　　衍义：引申指“用话劝说别人，使他听从自己的意见”。如：游说。

　　字义：形声。从言，兑（duì）声。本义：用言语解说，开导，说明。
　　[shuō]
　　1.用话来表达意思：我不会唱歌，只～了个笑话。
　　2.解释：一～就明白。
　　3.言论；主张：学～。著书立～。有此一～。
　　4.责备；批评：挨～了。爸爸～了他几句。
　　5.指说合；介绍：～婆家。
　　6.意思上指：他这番话是～谁呢?
　　[shuì]
　　用话劝说使人听从自己的意见：游～…
　　（…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）

　　…明：见《欧几里得6》…

　　…说明（百度百科）：说明是一个汉语词汇，读音为shuō míng，意思是解释清楚，讲明；说明原因。也指解释的话；说明的文字；证明…
　　…说明（百度汉语）2：1.解释明白：～原因。～问题。
　　2.解释的话：图片下边附有～。
　　3.证明：事实充分～这种做法是正确的…

　　“随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜（xù）牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋。
　　请看下集《欧几里得150、欧几里得为什么创作《几何原本》？》”

　　欧几里得150、欧几里得为什么创作《几何原本》？

　　在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。
　　…知、识、知识，系、统、系统，性，公、理、公理，证、明、证明，联、系、联系，式、公式，定、理、定理，严、格、严格，逻、辑、逻辑，论、论证，说、明、说明：见《欧几里得149》…

　　因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜（xù）牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论 系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。
　　…几、何、几何：见《欧几里得28》…
　　…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…
　　…体、系、体系：见《欧几里得27》…
　　…科、学、科学：见《欧几里得4》…
　　…理、论、理论：见《欧几里得5》…
　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…

　　他下定决心，要在有生之年完成这一工作。
　　为了完成这一重任，欧几里得不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠（bù）——亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴（yùn）藏丰富的异域城市实现自己的初衷。
　　…埠：本意为停船的码头，即江河沿岸及港湾内供停靠船舶、上下旅客和装卸货物的建筑。由于有很多码头后来成为市镇、故引申指有码头的城镇，或泛指城镇；又特指商埠。

　　形声。从土，阜（fù）声。本义：停船的码头。如：船已抵埠。
　　字义：1.码头，多指有码头的城镇：船～。本～。外～。
　　2.商埠：开～…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

　　…亚历山大城一般指亚历山大（埃及最大海港）…
　　

　　…阐：本意指打开、开启，又指开辟，引申为通过说理的方式使人明白。

　　形声字，形旁为“门”，声旁为“单”，《说文》：“阐，开也。”本意为开门。

　　字义：讲明；表明： ～述…
　　（…形声字：用形声造字法造出来的字…）

　　…阐明（百度百科）：阐明是一个汉语词语，读音chǎn míng，是指讲明白（道理或事件）…
　　…阐明（百度汉语）2：讲明白（道理）：历史唯物主义是～社会发展规律的科学…
　　…理、解、理解：见《欧几里得58》…

　　经过欧几里得忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定型的《几何原本》一书。这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何。直到今天，他所创作的几何原本仍然是世界各国学校里的必修课，从小学到初中、大学、再到现代高等学科都有他所创作的定律、理论和公式应用。
　　…定、律、定律：见《欧几里得79》…

　　没有捷径
　　在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯（约410年～485年）的《几何学发展概要》中，就记载着这样一则故事，说的是数学在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题，以至于当时亚里山大国王托勒密一世也想赶这一时髦，学点儿几何学。

　　…普罗克洛斯（Proclus，公元410-485）：希腊哲学家、天文学家、数学家、数学史家。生于拜占庭，卒（zú）于雅典。父亲帕特里索斯（Patricius）在拜占庭宫廷中任要职，家庭条件比较优越，这为他的成长打下了良好基础。普罗克洛斯早年在桑索斯（Xanthus）受教育，随后到亚历山大学习拉丁文与修辞。在此期间，他曾到拜占庭去访问，据说受到“神”的启示，决心献身哲学。
　　（…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…
　　…卒：死亡：生～年月…见《欧几里得35》…）

　　回到亚历山大后，跟随奥林皮奥多罗（Olyplodorus）等学习亚里士多德学说及数学。但这些并未使他满足，在他20岁前又回到雅典，在柏拉图学园继续深造，并且一直留在那里，最后成为了该学园的领导人和导师。
　　终生未婚，自奉节俭，常将其财富救济朋友…

　　““数学是为人服务的…数学家是服务人的商家…商家不能在客人面前炫耀…”中学生说。
　　“有谁比众多客人（或者说整个人类）更有智慧？”中学生问。
　　“在客人面前炫耀，会变成班门弄斧…”中学生最后说。
　　请看下集《欧几里得151、学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼，不耕耘不会有收获》”
　　0

　　欧几里得151、学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼，不耕耘不会有收获

　　在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯（约410年～485年）的《几何学发展概要》中，记载着这样一则故事，说的是数学在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题，以至于当时亚里山大国王托勒密一世也想赶这一时髦，学点儿几何学。
　　…普罗克洛斯：见《欧几里得150》…
　　…托勒密一世（希腊语：Πτολεμαίος ο Σωτηρ，公元前367年－公元前282年）：埃及托勒密王朝创建者。
　　托勒密原本是马其顿帝国亚历山大大帝麾下的一位将军，公元前323年，亚历山大病逝以后，托勒密在巴比伦分封协议中成为埃及总督。随着马其顿帝国的分崩离析，托勒密很快在埃及建立自己的势力。
　　公元前305年，托勒密宣布自己为国王，建都亚历山大港，开创托勒密王朝在埃及近300年的统治，史称托勒密一世。
　　公元前285年，托勒密一世的儿子托勒密二世被立为国王，父子二人共同摄政。托勒密一世死于公元前282年…

　　虽然这位国王见多识广，但欧氏几何却令他学的很吃力。于是，他问欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走？”，欧几里得笑道：“抱歉，陛下！学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的。学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的。在这一方面，国王和普通老百姓是一样的。”从此，“在几何学里，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴（zhēn）言。
　　…几、何、几何：见《欧几里得28》…
　　…欧氏几何一般指欧几里得几何…
　　…欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学…
　　…科、学、科学：见《欧几里得4》…

　　…箴：形声。从竹，咸（xián）声。本义：缝衣用的工具。后作“针”。
　　古代一种文体。以告诫规劝为主：～铭。

　　字义：1.劝告；规诫：～言。
　　2.旧时一种文体。是规诫性的韵文。
　　3.同“针”…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

　　量金字塔
　　又有则故事。那时候，人们建造了高大的金字塔，可是谁也不知道金字塔究竟有多高。有人这么说：“要想测量金字塔的高度，比登天还难！”这话传到欧几里得耳朵里。他笑着告诉别人：“这有什么难的呢？当你的影子跟你的身体一样长的时候，你去量一下金字塔的影子有多长，那长度便等于金字塔的高度！”

　　


　　没有好处
　　来拜欧几里得为师，学习几何的人，越来越多。有的人是来凑热闹的，看到别人学几何，他也学几何。斯托贝乌斯记述了这样一则故事：
　　一位学生曾这样问欧几里得：“老师，学习几何会使我得到什么好处？”欧几里得思索了一下，请仆人拿点钱给这位学生。欧几里得说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。”

　　[“不追求实利？这和人的天性背道而驰…”中学生说，“人的天性是‘趋利避害’。”
　　“‘趋利避害’是生物本能…”中学生接着说，“人是生物，人也有这种本能…”
　　“数学家不追求实利，会造成研究的理论在生活中派不上用场…”中学生继续说。
　　“研究的理论成了数学家自我满足的工具…或者炫耀智力的工具…”中学生最后说。

　　“数学是为人服务的…数学家是服务人的商家…商家不能在客人面前炫耀…”中学生说。
　　“有谁比众多客人（或者说整个人类）更有智慧？”中学生问。
　　“在客人面前炫耀，会变成班门弄斧…”中学生最后说。]

　　“农业兴起以后，定居的生活方式及耕地选择的要求、都呼唤着井的出现，正所谓“凿井而饮，耕田而食”。
　　请看下集《欧几里得152、凿井而饮，耕田而食；创、造、创造，朽、不朽，开》”

　　欧几里得152、凿井而饮，耕田而食；创、造、创造，朽、不朽，开

　　人物成就：
　　…
　　几何原本
　　《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。这部书基本囊括了几何学从公元前7世纪到古希腊，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。

　　

　　…开：开字最早可见的形体为战国文字，由“门”“廾（gǒng，本义：两手捧物。今作‘拱’）”附加“一”构成。从门，示动作的对象之义；从“廾”，开门的主体之义；“一”，像门栓之形。“廾”“一”合而为“开”。会二字及门闩（shuān）得开启门户之义。

　　《说文（说文解字）》古文“开”的两旁为两扇门，中间一横为门栓，下面为两只手，表示用双手拉动门栓开门。篆（zhuàn）文从门，开声，楷书笔画化，现代简化为“开”。其本义为开门。《老子》第二十七章：“善闭，无关楗（关键：门闩）而不可开。”泛指打开。成语有：开卷有益。
　　引申指开放，即处于打开的状态。
　　由打开引申为开辟、扩展，即通过努力使之打开或扩大。
　　引申为打通、不闭塞。
　　引申为抽象意义，启发、开导，即：使思想通达。
　　又引申为明达事理。
　　由开辟引申为开始。
　　由打开扩大引申为开阔。
　　转指性情爽朗。
　　由打开引申为摆开，设置。如：开店；开工厂。
　　现代又由打开引申出发动、操纵、举行的意思。如：开车；开会。

　　会意。小篆字形，两边是两扇门，中间一横是门闩，下面是一双手，表示两手打开门闩之意。本义：开门。
　　字义：
　　1.使关闭着的东西不再关闭；打开：～门。～锁。～箱子。不～口。
　　2.打通；开辟：～路。～矿。墙上～了个窗口。～了三千亩水田。
　　3.（合拢或连接的东西）展开；分离：桃树～花了。扣儿～了。两块木板没粘好，又～了。
　　4.（河流）解冻：河～了。
　　5.解除（封锁、禁令、限制等）：～戒。～禁。～斋（zhāi）。～释。
　　6.发动或操纵（枪、炮、车、船、飞机、机器等）：～枪。～汽车。～拖拉机。火车～了。
　　7.（队伍）开拔：昨天～来两团人，今天又～走了。
　　8.开办：～工厂。～医院。
　　9.开始：～工。～学。～演。
　　10.趋向动词。用在动词或形容词后。a）表示分开或离开：拉～。躲～。把门推～。窗户关得紧，打不～。
　　b）表示容下：屋子小，人多了坐不～。这张大床，三个孩子也睡～了。
　　c）表示扩大或扩展：喜讯传～了。
　　d）表示开始并继续下去：下了两天雨，天就冷～了。天还没亮，大家就干～了…
　　（…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
　　…意、义、意义：见《欧几里得26》…
　　…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
　　…意：意思：来～…
　　…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…）

　　“一门学科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。如果我们把一门学科比作一幢大楼，那么该学科的公理或公设就像大楼的地基，整幢大楼必须以它为基础而建立起来。
　　请看下集《欧几里得153、开创，述、阐述，公设，不证自明，陈、陈述》”

　　欧几里得153、开创，述、阐述，公设，不证自明，陈、陈述

　　它（《几何原本》）不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐（chǎn）述，使这些远古的数学思想发扬光大。它开创了数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。
　　…几、何、几何：见《欧几里得28》…
　　…理、论、理论：见《欧几里得5》…
　　…开、创：见《欧几里得152》…
　　…开创（百度百科）：开辟；开拓。
　　指创建国家。
　　泛指创业…
　　…开创（百度汉语）2：开始建立；创建：～新局面。这家老店～于十九世纪末。
　　…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
　　…系、统、系统：见《欧几里得37》…
　　…阐：见《欧几里得150》…
　　…述：《说文解字》：“述，循（xún）也。从辵（chuò）、术声。”乍（zhà）行乍止是辵的意思。大道之脉络是术的意思。辵、术叠加。按着大道之脉络乍行乍止是述的意思。
　　本义：循，顺行。
　　衍（yǎn）义：引申指“有条理地讲话、陈说”。如：叙述、述评、描述、论述、综述。
　　衍义：引申指“有条理地修纂（zuǎn ）”。如：著述。

　　形声。从辵，术声。本义：遵循。
　　字义：陈说；叙述：口～。重～一遍。略～经过。上～各项，务须遵照执行…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
　　…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…]

　　…阐述（百度百科）：阐明陈述…
　　（…明、阐明：见《欧几里得150》…）
　　…阐述（百度汉语）2：详尽深入地说明和陈述…

　　…数、论、数论：见《欧几里得15》…
　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…
　　…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　…基、础、基础：见《欧几里得37》…
　　…体、系、体系：见《欧几里得27》…
　　…公、理、公理，化，方、法、方法，公理化方法：见《欧几里得1~3》…

　　全书（《几何原本》）共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。
　　…设：见《欧几里得78》…

　　公设（百度百科）：所谓公理或公设，指的是某门学科中不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题，即“不证自明”的命题。一门学科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。如果我们把一门学科比作一幢大楼，那么该学科的公理或公设就像大楼的地基，整幢大楼必须以它为基础而建立起来。
　　著名的欧几里德的《几何原本》中的5个公设：
　　1. 由任意一点到任意一点可作直线。
　　2. 一条有限直线可以继续延长。
　　3. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。
　　4. 凡直角都相等。
　　5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
　　（最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。）
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…
　　…不证自明：公理是根据事实得出的结论，不用证明，有的也无法证明。比喻内心的诚意不用表白，必然表现在行动上…
　　（…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
　　…结、论、结论：见《欧几里得66》…）

　　…命、题、命题：见《欧几里得70》…
　　…形、式、形式：见《欧几里得13》…
　　…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
　　…推：见《欧几里得7》…
　　…论、理论：见《欧几里得5》…

　　公设（百度汉语）2：[逻辑或数学中]公认为真、因而无需证明其为正确的陈述。
　　

　　…陈：会意字。金文“陈”字由“阜（fù）”和一个东西上不来下不去的示意图构成。“阜”字有土山的含义，整个字的意思是山腰中间有块大石头，由此产生陈列、陈旧、陈重的含义。
　　篆（zhuàn）文字形由“阜”、“木”和双手形构成。意思是树根抓住山向旁边生长的树，由此也能形成上述含义。

　　此字最早见于春秋金文，从阜从木，战国文字中又附加“土”旁，是战国时代写字的习惯。陈的本义为陈列，又引申为陈述等义。
　　字义：
　　1.安放；摆设；排列：～设。
　　2.叙述；说明：条～。详～。
　　3.时间久的；旧的：推～出新。
　　4.周朝国名（？—前478）。在今河南东部和安徽亳（bó）州一带。为楚所灭。
　　5.朝代名。南朝之一（557—589）。陈霸先灭萧梁后建立。建都建康（今南京）。为隋所灭…
　　（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
　　…意：意思：来～…
　　…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
　　…会意字：用会意造字法造出的汉字就是会意字…）

　　…陈述（百度百科）：陈说，叙述，指有条有理地表达事物、事实或者说话人的观念、观点…
　　…陈述（百度汉语）2：有条有理地说出：～理由。～意见…

　　“欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。
　　请看下集《欧几里得154、叙、述、叙述，思想，《几何原本》是欧洲数学的基础，体例》”

　　欧几里得154、叙、述、叙述，思想，公理化方法（建立知识体系的典范），体例

　　在（《几何原本》）每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。
　　

　　…叙：《说文解字》：“叙，次弟也。从攴（pū）、余声。”手持卜（bǔ）以小击是攴的意思。房舍是余的意思。攴、余叠加。“犹房舍次弟架构铺陈的讲述”是叙的意思。
　　本义：有顺序地述说。如：叙说、叙事、叙话、叙亲、叙旧。
　　衍（yǎn）义：同“序”。
　　衍义：引申指“评议等级次第”。如：叙功。

　　形声。从攴，余声。本义：秩序，次序。
　　字义：说；记述：～事…
　　[…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…
　　…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]
　　…述：见《欧几里得153》…
　　…叙述（百度百科）：一种表达方式。在生活中，所谓的叙述就是将事情的前后经过记载下来或说出来。而在理论研究中，叙述是把研究成果用一定的方法在理论上再现出来。而在文学中，叙述是写作所使用的频率最高的一种表述方法，也是文学创作的最基本的方式，各类文体多少都要用到…
　　（…理、论、理论：见《欧几里得5》…
　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…
　　…基、本、基本：见《欧几里得2》…）

　　…叙述（百度汉语）2：把事情的前后经过记录下来或说出来：～了事故发生的过程…
　　…方、式、方式：见《欧几里得57》…

　　…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
　　…设、公设：见《欧几里得153》…
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　…证、明、证明：见《欧几里得6》…

　　…论述：叙述和分析：把自己的观点～清楚。本文准备就以下三个问题分别加以～…

　　而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。
　　…比、例、比例：见《欧几里得29》…

　　…思：见《欧几里得22》…
　　…想：见《欧几里得51》…
　　…思想：念头；想法…

　　照欧氏几何学的体系，所有的定理都是从一些确定的、不需证明、显然为真的基本命题（即公理）演绎出来的。在这种演绎推理中，对定理的每个证明必须以公理为前提，或者以先前就已被证明了的定理为前提，最后做出结论。（这种做法）对后世产生了深远的影响。
　　…体、系、体系：见《欧几里得27》…
　　…定、理、定理：见《欧几里得2》…
　　…命、题、命题：见《欧几里得70》…
　　…演、绎、演绎，推、理、推理，演绎推理：见《欧几里得103》…
　　…结、论、结论：见《欧几里得66》…

　　欧几里得——著作：
　　他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。
　　…数、学、数学：见《欧几里得49》…
　　…基、础、基础：见《欧几里得37》…
　　…平面几何五大公设：见《欧几里得153》…
　　…历、史、历史：见《欧几里得111》…
　　…圆锥曲线：见《欧几里得148》…
　　…数、论、数论：见《欧几里得15》…
　　…公、理、公理，化，方、法、方法，公理化方法：见《欧几里得1~3》…
　　…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…
　　…体、系、体系：见《欧几里得27》…
　　…严、密、严密：见《欧几里得53》…
　　…思、维、思维：见《欧几里得22》…

　　除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。
　　欧几里得还有另外五本著作流传至今。它们与《几何原本》一样，内容都包含定义及证明。
　　《已知数》（Data）是除《原本》之外唯一保存下来的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题。指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。
　　…几、何、几何：见《欧几里得28》…
　　…体：见《欧几里得27》…
　　…例：见《欧几里得29》…
　　…体例（百度百科）：著作的编写格式；文章的组织形式；编辑部或印刷所对于拼法、大写、标点、排印和版面所遵循的习惯。
　　（…组、织、组织：见《富田兴合苑业主的大事小事132》…
　　…《富田兴合苑业主的大事小事132》：小说名字…
　　…
　　…形、式、形式：见《欧几里得13》…）

　　…体例（百度汉语）2：著作的编写格式；文章的组织形式…

　　…元、素、元素：见《欧几里得45》…

　　《圆形的分割》（On divisions of figures）现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。

　　“整本意为：打、弄、干、处理，有时做“开始”讲，属于万能动词，诸如：“开整”，意思是“开始”；“整死你“，意思是“打死你”。“整的不赖”意思“干得不错”。吃饭时说：“来整个鸡腿吧”意思是“来吃个鸡腿吧”，整，有时候的意思是“来点”，例如：整瓶酒。
　　请看下集《欧几里得155、思维方法（思维过程中运用的工具），整、整理，严整，谨、严谨》”

　　欧几里得155、思维方法（思维过程中运用的工具），整、整理，严整，谨、严谨

　　欧几里得——著作：
　　…
　　《反射光学》（Catoptrics）论述反射光在数学上的理论，尤其论述形在平面及凹镜上的图像。可是有人质疑这本书是否真正出自欧几里得之手，它的作者可能是塞翁（Theon of Alexandria）。
　　…论、述、论述：见《欧几里得154》…
　　…理、论、理论：见《欧几里得5》…
　　…塞翁（Theon of Alexandria）：？…
　　“网上也查不到这是谁…”中学生说。

　　《现象》（Phenomena）是一本关于球面天文学的论文，现存希腊文本。这本书与奥托吕科斯（Autolycus of Pitane）所写的On the Moving Sphere相似。
　　…奥托吕科斯（Autolycus of Pitane）：？…
　　…On the Moving Sphere：？？…
　　“这个人和他写的书都查不到…”中学生说。

　　《光学》（Optics）早期几何光学著作之一，现存希腊文本。这本书主要研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角 等。认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。

　　还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。

　　欧几里得——人物评价：
　　欧几里得是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一。欧几里得的《几何原本》对于几何学、数学和科学的未来发展，对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。《几何原本》是古希腊数学发展的顶峰。欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果，整理在严密的逻辑系统运算之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。
　　…科、学、科学：见《欧几里得4》…
　　…思、维、思维：见《欧几里得22》…
　　…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
　　…思维方法：人们通过思维活动 为了实现特定思维目的 所凭借的途径、手段或办法，也就是思维过程中所运用的工具和手段…
　　…几、何、几何：见《欧几里得28》…

　　…整：会意兼形声。从攴（pū）、从束、从正，正亦声。攴是敲打，束是约束，使之归于正。合起来表示整齐。本义：整齐。

　　本意为：打、弄、干、处理，有时做“开始”讲，属于万能动词，诸如：“开整”，意思是“开始”；“整死你“，意思是“打死你”。“整的不赖”意思“干得不错”。吃饭时说：“来整个鸡腿吧”意思是“来吃个鸡腿吧”，整，有时候的意思是“来点”，例如：整瓶酒。
　　字义：
　　1.全部在内，没有剩余或残缺；完整（跟“零”相对）：～天。～套。一年～。十二点～。化～为零。
　　2.整齐：～洁。～然有序。仪容不～。
　　3.整理；整顿：～风。～装待发。
　　4.修理：～修。
　　5.使吃苦头：他被～得好苦！
　　6.搞；弄：绳子～断了。这东西我看见人～过，并不难…
　　[…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
　　…意：意思：来～…
　　…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
　　…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

　　…理：见《欧几里得1》…
　　…整理（百度百科）：整顿使有条理，有秩序…
　　…整理（百度汉语）2：使有条理有秩序：～行装。～房间。～账目…
　　…严、密、严密：见《欧几里得53》…
　　…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
　　…系、统、系统：见《欧几里得37》…
　　…运、算、运算：见《欧几里得121》…
　　…演、绎、演绎：见《欧几里得103》…

　　2017年06月22日16:01，网友发布名为《数学家的小故事：欧几里得的几何人生》的文章。
　　

　　…谨：形声字。从言，堇（jǐn）声。《说文》：“谨，慎也。”“谨”的本义一直沿用至今。金文从言、堇声。战国文字、篆（zhuàn）文、楷书同。“言”为义符，“堇”为声符，“堇”有兼义的功能。“堇”的金文作（见字源演变中金文文字的右半部），像人被火烧，遭逢艰难。人遭逢艰难就会趋向谨慎，因此，“堇”可能有兼义的功能。其字形从秦古隶到汉隶一脉相承。小篆（zhuàn）在汉代已成为美术体。战国三晋的异体写法在“书同文”的政令下早已消亡了。

　　字义：
　　1.谨慎；小心：勤～。恭～。拘～。～记在心。～守规程。
　　2.郑重地：～启。～领。～具。我们～向各位代表表示热烈的欢迎…
　　（…形声字：用形声造字法造出来的字…）

　　…严谨：形容态度严肃谨慎；细致、周全、完善，追求完美。

　　单字解释
　　严：1.紧密，没有空隙：严紧。
　　2.严密。
　　3.不放松，认真：严格。
　　4.严肃。
　　5.严正（严肃正当）。
　　6.严明。
　　谨：1.慎重，小心：谨慎。
　　2.谨严。
　　3.谨防。
　　4.勤谨。
　　5.谨小慎微。
　　6.郑重，恭敬：谨启。
　　7.谨祝。

　　整体解释
　　严谨：1.形容态度严肃谨慎，不胡乱说话。
　　2.做事细致、周全、完善，追求完美。
　　同义词：审慎 严谨 认真 严慎 仔细 小心 慎重
　　反义词：轻率疏忽 冒失 粗心 疏漏 马虎 大意

　　词义：
　　1.严密谨慎：办事～。
　　2.严密细致：格律～。文章结构～…

　　“古希腊的数学研究有着十分悠久的历史，曾经出过一些几何学著作，但都是讨论某一方面的问题，内容不够系统。欧几里德汇集了前人的成果，采用前所未有的独特编写方式，先提出定义、公理、公设，然后由简到繁地证明了一系列定理，讨论了平面图形和立体图形，还讨论了整数、分数、比例等等，终于完成了《几何原本》这部巨著。
　　请看下集《欧几里得156、古希腊几何学著作都是讨论某一方面的问题，内容不够系统》”

　　欧几里得156、古希腊几何学著作都是讨论某一方面的问题，内容不够系统

　　2017年06月22日16:01，网友发布名为《数学家的小故事：欧几里得的几何人生》的文章。
　　

　　…经：形声字。从糸（mì），巫声。始见于西周金文。金文像绷在织布机上的三条直线，是古人织布机不变的基本形式，后左旁加上“糸”，明白地表示织的是丝。
　　篆（zhuàn）文从糸、巠（jīng）声。从“糸”，指丝的材质；“巠”除表示音读，也兼有直而长的意思。隶书、楷书都与篆文同。

　　《说文》：“经，织也。”本义是织布机上的纵线。引申指治理。又引申指行，遵循（xún）。

　　字义：[jīng]
　　1.（旧读jìng）织物上纵的方向的纱或线（跟“纬”相对）：～纱。～线。
　　2.中医指人体内气血运行通路的主干：～脉。～络。
　　3.经度：东～。西～。
　　4.经营；治理：～商。整军～武。
　　5.上吊：自～。
　　6.历久不变的；正常：～常。不～之谈。
　　7.经典：本草～。佛～。念～。十三～。
　　8.月经：行～。～血不调。
　　9.经过：～年累月。几～周折。这件事是～我手办的。～他一说，我才知道。
　　10.禁（jīn）受：～不起。～得起考验。
　　[jìng]
　　织布之前，把纺好的纱或线密密地绷起来，来回梳整，使成为经纱或经线：～纱…
　　[…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
　　…意：意思：来～…
　　…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…
　　…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
　　…形声字：用形声造字法造出来的字…
　　…基、本、基本：见《欧几里得2》…
　　…形、式、形式：见《欧几里得13》…]

　　“济水，古水名，发源于今河南，流经山东入渤海。现在黄河下游的河道就是原来的济水的河道。
　　请看下集《欧几里得157、济、经济，山东济南、济宁、济阳，都从济水得名，计、算、计算》”

　　欧几里得157、济、经济，山东济南、济宁、济阳，都从济水得名，计、算、计算

　　2019年5月5日晚上19点28分，网友“芝罘（fú）山人”在贴吧开了一篇名为“从欧几里得到爱因斯坦——漫话科学史 第一话 关于公理化方法…”的帖子。
　　…罘、贴吧：见《欧几里得1》…
　　…

　　

　　“成周：成周是西周王朝的京师，位于河南洛阳，其名见于周成王五年的“何尊铭文”：“唯王初迁宅于成周”。周武王灭殷商后就着手在中原建立新都，是为成周。成周城由周公负责营建，到周成王五年建成。何尊铭文详细记载的周成王五年“宅兹（zī）中国”即是此事。
　　请看下集《欧几里得158、设计，儒、儒学，成周洛邑，罢黜百家独尊儒术》”

　　欧几里得158、设计，儒、儒学，成周洛邑，罢黜百家独尊儒术

　　2019年5月5日晚上19点28分，网友“芝罘（fú）山人”在贴吧开了一篇名为“从欧几里得到爱因斯坦——漫话科学史 第一话 关于公理化方法…”的帖子。
　　…罘、贴吧：见《欧几里得1》…
　　…

　　

　　儒家学派为历代儒客尊崇，对中国都产生过深远的影响。
　　“儒学”、“儒家”、“儒教”这些概念要分清。儒学作为一种学说，儒家作为一个阶层，儒教作为一种信仰，三者相同也不同，需要区分开来。
　　…信、仰、信仰：见《欧几里得15》…

　　…儒学（百度汉语）2：
　　1.儒家的学说。
　　2.元明清时代各州、府、县设立的供生员读书的学校…
　　（…生员：国学及州、县学在学学生。后指经本省各级考试，入府、州、县学的学习者，通称秀才…）

　　…黜：废除；取消 。
　　汤既黜夏命。――《书·汤诰（gào）序》

　　形声。从黑，出声。本义：黑暗。
　　字义：降职；罢免；废除：～退。罢～…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

　　…罢黜百家，独尊儒术：罢黜百家，独尊儒术是董仲舒于元光元年（公元前134年）提出，在汉武帝时开始推行。《董仲舒传》中记载了董仲舒提议的原话为“推明孔氏，抑黜百家。”在《武帝纪赞》中，记载了汉武帝的做法是“罢黜百家，表章六经”。该思想，已非春秋战国时期的儒家思想原貌。而是掺杂道家、法家、阴阳五行家的一些思想，体现了儒家思想的“兼容”与“发展”特性，是一种与时俱进的新思想。它维护了封建统治秩序，神化了专制王权，因而受到中国古代封建统治者与历代儒客推崇，成为两千多年来中国传统文化的正统和主流思想。
　　近代中国史，率先揭露“罢黜百家，独尊儒术”的人是清末民初的著名思想家易白沙（1886-1921年），1916年在《新青年》杂志上发表《孔子平议》一文…

　　“关于名家的起源，《汉书‧艺文志》引用刘歆（xīn）《七略》的说法，认为出于礼官，因为古代依照名位的不同，有不同的礼仪要遵循，因此礼官会特别擅长于辨别名位之事，成为后代名家的来源。
　　请看下集《欧几里得159、名，诸子百家之名家，自然科学，法、律、法律》”

　　欧几里得159、名，诸子百家之名家，自然科学，法、律、法律

　　2019年5月5日晚上19点28分，网友“芝罘（fú）山人”在贴吧开了一篇名为“从欧几里得到爱因斯坦——漫话科学史 第一话 关于公理化方法…”的帖子。
　　…罘、贴吧：见《欧几里得1》…
　　…
　　

　　产生渊源
　　关于名家的起源，《汉书‧艺文志》引用刘歆（xīn）《七略》的说法，认为出于礼官，因为古代依照名位的不同，有不同的礼仪要遵循，因此礼官会特别擅长于辨别名位之事，成为后代名家的来源。
　　随着成文礼法公布之后，社会上出现了类似律师一类人，他们根据法律条文进行辩护。由于这些学者专门从事名词概念的探讨，因此称他们为“辩者”。
　　…法：（明辨善是非的）方法；方式…见《欧几里得3》…
　　…律：规律…见《欧几里得42》…
　　…法律（百度百科）：社会规则。
　　法律是由国家制定或认可并以国家强制力保证实施，反映由特定物质生活条件所决定的统治阶级意志的规范体系。法律是统治阶级意志的体现，是国家的统治工具…
　　（…体、系、体系：见《欧几里得27》…）

　　法：社会认可的做事方法
　　律：规律
　　法律：社会规律
　　社会隶属于自然→社会规律的本质是自然规律
　　——《自然科学价值观》
　　（…本、质、本质：见《欧几里得22》…）

　　“春秋末期以来的名辩思潮，发展到战国中期，由于激烈的社会变革，使旧有的概念不能反映新事物的内容，而新出现的概念还需要社会的公认。
　　这种名实不符的现象，在当时的社会上十分普遍，急需解决。适应这种社会需要，后来逐渐出现了一批以人的认识本身为研究对象的思想家，他们致力于论辩中逻辑问题的研究，形成了名家学派。
　　请看下集《欧几里得160、名家的起源，词、名词，名实不符，语、言、语言，符》”

　　欧几里得160、名家的起源，词、名词，名实不符，语、言、语言，符

　　关于名家的起源，《汉书‧艺文志》引用刘歆（xīn）《七略》的说法，认为出于礼官，因为古代依照名位的不同，有不同的礼仪要遵循，因此礼官会特别擅长于辨别名位之事，成为后代名家的来源。
　　随着成文礼法公布之后，社会上出现了类似律师一类人，他们根据法律条文进行辩护。由于这些学者专门从事名词概念的探讨，因此称他们为“辩者”。
　　…名、家、名家，法、律、法律：见《欧几里得159》…
　　

　　…词：形声字，最早见于战国文字，传世文献最早也见于战国时代。金文从言、司声；篆（zhuàn）文、隶书、楷书从言、司声。“词”最初可能指官府文书的文字，因此从“言”表义；从“司”声也可能有兼义的功能。“司”的本义是官吏管理，因此“词”从“司”声，可能与官府文书有关。

　　最早见于战国文字，传世文献最早也见于战国时代。本义是将内心所想的外化表达，古人称最小表义单位为“词”，称由句子组成的完整表达为“辞”；在现代汉语中，“词”也指古代文体，诗歌的一种，如“宋词”等。
　　字义：1.（～儿）说话或诗歌、文章、戏剧中的语句：戏～。义正～严。～不达意。他问得我没～儿回答。
　　2.一种韵文形式，由五言诗、七言诗和民间歌谣发展而成，起于唐代，盛于宋代。原是配乐歌唱的一种诗体，句的长短随着歌调而改变，因此又叫做长短句。
　　3.语言里最小的、可以自由运用的单位…
　　[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
　　…形声字：用形声造字法造出来的字…]

　　…名词（百度百科）：词类的一种。它表示人、事、物、地点或抽象概念的统一名称…
　　（…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…
　　…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…）

　　…名词（百度汉语）：1.表示人或事物名称的词，如“人、牛、水、友谊、团体、今天、中间、北京、孔子”。
　　2.（～儿）术语或近似术语的字眼（不限于语法上的名词）：化学～。新～儿。
　　3.表达三段论法结构中的概念的词…
　　（…三段论：见《欧几里得7》…
　　…结、构、结构：见《欧几里得41》…）

　　在实际应用中，这些学者需要运用理性逻辑的、不造成歧（qí）义的、非文字游戏的语言写出逻辑明确的法律条文及条约，因此又称他们为刑名家。
　　…理、性、理性：见《欧几里得19》…
　　…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

　　汉代学者司马谈《论六家要旨》，则他们称为“名家”。春秋后期郑国的邓析（xī），就是这类人物的代表。
　　…邓析（前545年—前501年）：郑国人，郑国大夫，春秋末期思想家…

　　春秋末期以来的名辩思潮，发展到战国中期，由于激烈的社会变革，使旧有的概念不能反映新事物的内容，而新出现的概念还需要社会的公认。
　　…反、映、反映：见《欧几里得22》…

　　这种名实不符的现象，在当时的社会上十分普遍，急需解决。适应这种社会需要，后来逐渐出现了一批以人的认识本身为研究对象的思想家，他们致力于论辩中逻辑问题的研究，形成了名家学派。
　　…名实不符：名声和实际不相符（名字和事实不相符）…

　　…研、究、研究：见《欧几里得42》…
　　…对、象、对象：见《欧几里得39》…

　　思想内容
　　名辩之学虽然是因先秦诸子百家争鸣，为论辩而兴起的。然而名家对于名学的研究，与诸子相比就有了变化。
　　名家学者首先将“语言”与“事实”分离开来，让语言变成纯粹运思的符号…
　　…语：见《欧几里得67》…
　　…言：见《欧几里得130》…

　　…语言（百度百科）：人类交际工具。
　　世界上查明的有5651种语言。一般来说，各个民族都有自己的语言，语言是民族的重要特征之一。汉语、英语、西班牙语、俄语、阿拉伯语、法语是世界上的主要语言，也是联合国的工作语言。汉语是全球母语人口最多的语言，英语是全球使用最广泛的语言。语言和文字是两个概念，往往是先有语言，后产生文字…

　　…语言（百度汉语）2：语言是人类最重要的交际工具，人们运用它交流思想，组织社会生产，开展社会斗争，推动历史前进。语言是社会约定俗成的音义结合的符号系统，人们用语言来传承文明。语言随着社会的产生而产生，随着社会的发展而发展，是一种社会现象…

　　…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
　　…运思：运用心思；构思：执笔～。～精巧…
　　…符：本意是指古代朝廷传达命令或调兵将用的凭证，双方各执一半，以验真假，也指代事物的标记、记号。

　　形声。从竹，付声。从“竹”，表示与竹子有关。本义：古代朝廷传达命令或调兵将用的凭证，双方各执一半，以验真假。
　　字义：
　　1.符节：兵～。虎～（虎形的兵符）。
　　2.代表事物的标记；记号：～号。音～。
　　3.符合（多跟“相”或“不”合用）：两个数目相～。他所说的与事实不～。
　　4.道士所画的一种图形或线条，声称能驱使鬼神、给人带来祸福：护身～。画了一张～…

　　“语言不再只是推导用的工具，而是推导的主要对象。
　　请看下集《欧几里得161、号、符号，外延，内涵与外延，哲理，工》”