哈喽，我是kk~
很久没有给大家分享一些关于基础算法类内容了。
这不不少同学私下聊天，关于一些基础内容，自己总是总结不到位。
从今天起，我们会把基础算法类以及论文方面轮询着给大家分享，有需要的同学，可以关注起来。
最近，邻近毕业季，不少同学刚刚接触机器学习，那咱们今天也以回归开始和大家分享。
经过了两天的整理，总结了十大回归算法模型的核心公式。
无论是作为机器学习刚入门的同学，还是有一定基础的，都可以作为自己阶段性总结的内容。
内容很多很有价值，记得收藏，慢慢学习~
今天分享的是是个机器学习中回归类算法，涉及到：
线性回归
岭回归
套索回归
弹性网回归
多项式回归
贝叶斯回归
决策树回归
随机森林回归
梯度提升回归
支持向量回归
大家一定要慢慢去理解，这样对于整个的回归类算法，心中做到游刃有余。
1. 线性回归（Linear Regression）
介绍
线性回归是一种基本的回归算法，假设因变量
和自变量
之间存在线性关系。
优缺点
优点：简单易懂、计算效率高。
缺点：无法处理复杂的非线性关系，对异常值敏感。
核心公式
公式推导
假设我们有
个观测数据点
，线性回归模型可以表示为：
其中
是误差项，假设其均值为0且方差为
。
为了估计模型参数
和
，我们使用最小二乘法（Least Squares Method），即最小化误差的平方和：
通过对
和
求导并设置导数为0，可以得到以下方程：
解这两个方程，可以得到参数估计：
其中
和
分别是
和
的均值。
2. 岭回归（Ridge Regression）
介绍
岭回归通过在最小二乘法中加入L2正则化项，来防止过拟合。
优缺点
优点：防止过拟合，适用于高维数据。
缺点：需要选择正则化参数，计算复杂度增加。
核心公式
公式推导
岭回归的目标函数是在线性回归的目标函数中加入一个L2正则化项：
其中
是正则化参数，控制正则化项的权重。
为了得到参数估计，我们对目标函数求导并设置导数为0：
解这两个方程，可以得到参数估计：
3. 套索回归（Lasso Regression）
介绍
套索回归通过在最小二乘法中加入L1正则化项，能够进行特征选择。
优缺点
优点：能够进行特征选择，适用于高维数据。
缺点：需要选择正则化参数，计算复杂度增加。
核心公式
公式推导
套索回归的目标函数是在线性回归的目标函数中加入一个L1正则化项：
其中
是正则化参数，控制正则化项的权重。
由于L1正则化项不可导，我们通常使用优化算法（如坐标轴下降法）来解这个问题。
4. 弹性网回归（Elastic Net Regression）
介绍
弹性网回归结合了岭回归和套索回归的优点，包含L1和L2正则化项。
优缺点
优点：结合了L1和L2正则化的优点，适用于高维数据。
缺点：需要选择两个正则化参数，计算复杂度增加。
核心公式
公式推导
弹性网回归的目标函数是在线性回归的目标函数中加入L1和L2正则化项：
其中
和
是正则化参数，控制正则化项的权重。
由于L1正则化项不可导，我们通常使用优化算法（如坐标轴下降法）来解这个问题。
5. 多项式回归（Polynomial Regression）
介绍
多项式回归是对线性回归的一种扩展，可以拟合非线性关系。
优缺点
优点：能够拟合非线性关系。
缺点：容易过拟合，特征数增加时计算复杂度高。
核心公式
公式推导
假设我们有
个观测数据点
，多项式回归模型可以表示为：
其中
是误差项，假设其均值为0且方差为
。
为了估计模型参数
，我们使用最小二乘法（Least Squares Method），即最小化误差的平方和：
通过对
求导并设置导数为0，可以得到一个线性方程组，解这个方程组即可得到参数估计。
6. 贝叶斯回归（Bayesian Regression）
介绍
贝叶斯回归基于贝叶斯统计的方法，考虑参数的不确定性，给出预测分布。
优缺点
优点：能够量化不确定性，适用于小样本数据。
缺点：计算复杂度高，需要先验分布。
核心公式
公式推导
贝叶斯回归的核心思想是通过贝叶斯定理来更新参数的分布。假设我们有先验分布
和似然函数
，根据贝叶斯定理，可以得到后验分布：
其中
是边缘似然函数，可以通过积分计算：
通过选择合适的先验分布和似然函数，可以得到后验分布的解析解或使用数值方法进行近似。
7. 决策树回归（Decision Tree Regression）
介绍
决策树回归基于决策树的方法，对数据进行分割，适用于处理非线性关系。
优缺点
优点：能够处理非线性关系，不需要特征工程。
缺点：容易过拟合，树深度过大时计算复杂度高。
核心公式
决策树通过递归分割数据，每次选择一个特征和分割点，使得分割后的数据集误差最小。常用的误差度量包括均方误差（MSE）和均绝对误差（MAE）。
公式推导
假设我们有一个数据集
，决策树回归的目标是找到最优的特征
和分割点
，使得分割后的数据集误差最小。对于每个节点，计算以下误差：
其中
是节点中的均值预测。
通过递归地分割数据，构建决策树，直到满足停止条件（如最大深度、最小样本数等）。
8. 随机森林回归（Random Forest Regression）
介绍
随机森林回归集成多棵决策树，通过集成学习的方法提高预测性能和鲁棒性。
优缺点
优点：能够处理高维和非线性数据，鲁棒性高。
缺点：训练时间较长，模型解释性差。
核心公式
随机森林通过对数据集进行有放回的抽样（Bootstrap Sampling），生成多个子数据集，每个子数据集训练一棵决策树，最终的预测结果通过对所有决策树的预测结果进行平均得到。
公式推导
假设我们有一个数据集
，随机森林回归的训练过程如下：
从原始数据集中有放回地抽取
个子数据集，每个子数据集包含
个样本。
对每个子数据集训练一棵决策树
，其中
。
对新的输入数据
，随机森林的预测结果为所有决策树预测结果的平均值：
9. 梯度提升回归（Gradient Boosting Regression）
介绍
梯度提升回归通过逐步加法模型提高预测性能，逐步减小预测误差。
优缺点
优点：预测性能高，能够处理复杂的非线性关系。
缺点：训练时间较长，对参数敏感。
核心公式
梯度提升通过逐步加法模型，逐步减小预测误差。假设当前模型为
，下一步通过学习误差的梯度来更新模型：
其中
是学习率，
是新加入的基学习器。
公式推导
假设我们有一个数据集
，梯度提升回归的训练过程如下：
初始化模型为常数值 ，其中
是损失函数。
对于每一步
：
计算当前模型的残差：
拟合一个基学习器
来预测残差：
更新模型：
10. 支持向量回归（Support Vector Regression, SVR）
介绍
支持向量回归基于支持向量机的回归算法，能够处理高维和非线性数据。
优缺点
优点：能够处理高维和非线性数据，鲁棒性高。
缺点：对参数敏感，计算复杂度高。
核心公式
支持向量回归的目标是找到一个函数
，使得所有数据点离这个函数的距离在
内，并且函数的复杂度最小：
公式推导
假设我们有一个数据集
，支持向量回归的优化问题可以表示为：
其中
和
是松弛变量，允许一定的误差，
是正则化参数，控制模型的复杂度和误差的权衡。
通过拉格朗日乘子法和对偶问题，可以将问题转化为求解一个二次规划问题。使用核函数
可以扩展到非线性回归。
这些算法模型各有特点，适用于不同的应用场景。在实际应用中，大家需要根据数据的特性和具体需求选择合适的算法模型，并通过交叉验证等方法优化参数。
最后
回归类算法在学术论文中非常常见，尤其在预测、数据分析和统计建模等领域。对于大多数初学者来说，写作论文时应选择一个明确且具体的研究问题，确保数据的真实性和可靠性，并进行数据清理。
根据研究问题和数据特性选择合适的回归模型，如线性回归、岭回归、套索回归、多项式回归等。进行模型训练和验证时，应将数据分为训练集和测试集，并使用交叉验证来评估模型性能，调整模型参数以优化结果。解释模型结果时，需分析模型的系数及其统计显著性，解释模型的拟合优度，并检查残差。
今天给大家准备了关于「机器学习」的论文合集，往期核心论文汇总，分享给大家。
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