在现代游戏研发管线中，绝大多数项目都会基于一款游戏引擎进行业务开发，常常是不懂其数学原理也能够把游戏做得很好。
但了解数学原理还是有用武之地的——
1、懂原理可以更好的使用，也就是把引擎用得更好。
2、角色等实体在3D世界下的运动控制。
3、图形学之shader编写需要懂一些数学，尤其是矩阵的应用。
问：谈数学，数学是什么？数学难，难在哪？
答：数学是工具，难在造工具与理解工具的运行原理。
但是~ 使用工具还是比较简单，这篇文章就讨论怎么用的问题。
在3D世界（2D也一样）空间的坐标表达与变换是借助线性代数这个数学工具来实现的，具体就是向量和矩阵，其中矩阵多用来操作和变换向量。
可以粗略地理解为向量是空间中的点，而矩阵是将这些点变换到其他地方的工具。
本文怎么读？
多关心几何意义的部分，它是讲怎么用的。
那么先讨论向量
从代数上讲，向量是一个数字序列；从几何上讲，它是 1>有大小和方向的有向线段 2>表达了向量在每个维度上的有向位移。
按照维度来划分，有2维向量对应2维世界，3维向量对应3维世界，更高维也可以有，但已经缺乏实际意义了。
按照长度划分，有零向量，代数上表示长度为0，几何上表示没有位移；有单位向量，代数表示长度为1，几何意义是单位向量可以在保留方向信息的情况下，将长度标准化为1；其他则是长度非0非1的向量喽。
按书写方式分，列向量，横着写的向量，OpenGL使用列向量；有行向量，竖着写的向量，DirectX使用行向量。
列向量和行向量在代数与几何意义上都没有差别，只是会与矩阵相乘时影响到左乘或是右乘的合法性而已。
向量运算
向量的长度，被称为向量的“模”，记做||a||，几何意义是求两个点的距离。运算法则是通过各元素的平方相加再开方，如[1 2]的模 = (1*1+2*2)的平方根。
标量与向量乘法，运算法则是将向量的每个分量与标量相乘，如 2[1 2 3]=[2 4 6]。几何意义是获得与原向量平行，但长度不同或方向相反的新向量。
向量的标准化，就是将其长度变为1，运算符法则是将向量除以它的模，如[2 2 2]/2=[1 1 1]。几何意义是将向量的单位变为1，对于许多向量，我们只关心它的方向而不关心其大小，此时用单位向量会非常方便。
向量加法，的运算法则是将对应分量相加，如[1 2 3] + [4 5 6] = [1+4 2+5 3+6] = [5 7 9]，几何上是平移向量，使得向量a的头连接向量b的尾，接着从a的尾向b的头画一个向量。几何意义是得到位移的组合。
向量减法，运算法则是将对应分量相减，如[5 7 9] - [1 2 3] = [5-1 7-2 9-3] = [4 5 6]，几何上是先将向量b求反，然后平移向量，使得向量a的头连接向量b的尾，接着从a的尾向b的头画一个向量。几何意义是求两点距离。
点积的运算法则是对应分量乘积的和，如a·b = [1 2 3]·[4 5 6] = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32。几何意义有两个，一是求两向量的夹角；二是求向量投影。
两向量夹角：
点积等于向量大小与向量夹角的cos的积
也就是 a·b = ||a||||b||cos(θ)
所以夹角θ = arccos(a·b / ||a||||b||)
当只需要θ范围，而不需要具体数值时可以通过点积的符号来判定
a·b > 0 时，0=< θ <90
a·b = 0 时，θ = 90
a·b < 0 时，90=< θ <100
向量投影：
给定两个向量v和n，能将v分解成两个分量：v∥和v⊥。它们分别平行和垂直于n，并满足v=v∥+v⊥。一般称平行分量v∥为v在n上的投影。
v∥ = n * (||v∥||/||n||) = n * (v·n/||n||²)
v⊥ = v - v∥
叉积的运算法则是[x1 y1 z1]x[x2 y2 z2]=[y1z2-z1y2 z1x2-x1z2 x1y2-y1x2]。几何意义仅可应用于3D向量。
1>向量a和b差积的值就是垂直于向量a和b的向量c，多用于求垂直于平面的向量。
2>叉积的模 = a和b为两边的平行四边形的面积。
从代数上讲，矩阵就是多维数组；从几何上讲，矩阵的本质就是变换，我们观察矩阵的时候，是在观察变换。
矩阵的分类
方阵，行和列相同的矩阵
对角矩阵，所有非对角线元素都为0的矩阵
单位矩阵，对角线元素为1，其他元素为0的矩阵
将向量作为矩阵使用，列向量可以看作n*1矩阵，列向量可以看作1*n矩阵。
矩阵即是变换的证明
根据变换的需要建立一个矩阵
如图，我们所要做的一切就是计算基向量的变换，然后将变换后的基向量填入矩阵。
矩阵的运算
矩阵乘法，运算法则是矩阵的每个元素分别和标量相乘，得到一个与原矩阵相同维数的矩阵，如下图
矩阵乘法的合法性检测，核心是A矩阵的行要等于B矩阵的列
向量和矩阵乘法，运算法则与矩阵乘法一致，注意行向量放左边，列向量放右边才合法。几何意义是变换向量（/坐标）。
转置，运算法则是把矩阵Mij转为Mji，即沿着矩阵的对角线翻折
线性变换，可以简单地理解为 对平行线变换后仍然是平行线的变换就是线性变换，也就是说不会“弯折”。比如旋转变换，缩放变换，正交投影变换这些。
具体的变换矩阵，缩放的就很简单，例如写一个xyz轴都放大3倍的矩阵只需要如图
但是更复杂的就没必要记了，也记不住，直接调用游戏引擎提供的生成矩阵的接口就好了。
我们也只需要记住创建矩阵的核心原理就好，即“计算基向量的变换，然后将变换后的基向量填入矩阵”
将变换种类列举如下：
旋转，绕x轴，绕y轴，绕z轴，绕任意轴
缩放，沿坐标轴，沿任意轴
正交投影，向坐标轴或平面上投影，向任意直线或平面投影，应用在正交摄像机
透视投影，向坐标轴或平面上投影，向任意直线或平面投影，多应用在正交摄像机
镜像，沿任意轴镜像
切变/扭曲。
变换的组合
多个变换矩阵按照次序组合(或说“连接”)成一个矩阵。这个新矩阵代表依次执行原变换的累加效果，这样可以减少(对顶点的)变换次数，能提高非常多的效率 。
变换的分类
线性变换，可以简单地理解为 对平行线变换后仍然是平行线的变换就是线性变换，也就是说不会“弯折”。比如旋转变换，缩放变换，投影变换等。
仿射变换，指线性变换后接着平移。因此，仿射变换的集合是线性变换的超集，任何线性变换都是仿射变换，但不是所有仿射变换都是线性变换。一句话理解，仿射变换是带位移的线性变换
可逆变换，如果存在一个逆变换可以“撤销”原变换，那么该变换就是可逆的。除了投影外，其他仿射变换都是可逆的
等角变换，如果变换前后两向量夹角的大小和方向都不改变，该变换是等角的，只有平移，旋转，缩放是等角变换。
正交变换，轴保持互相垂直，并且不进行缩放变换，只有平移，旋转，镜像是正交变换
刚体变换，只改变物体的位置和方向，不包括形状，一句话就是，物体就是钢块，别想敲打它。平移和旋转是仅有的刚体变换。
重点来了！
行列式，在任意方阵中都存在一个标量，称作该矩阵的行列式。
求行列式：
2维，主对角线上的元素的积减去反对角线元素的积
3维，把矩阵M写两遍，然后主对角线上的元素的积减去反对角线元素的积
余子式
假设矩阵M有r行，c列，记做m{ij}，减去i行j列后剩下的部分，称为矩阵M的余子式，记做M{ij}，结果为一个矩阵。
代数余子式，给定行、列元素的代数余子式等与相应余子式的有符号行列式，结果为一个标量。
代数意义
矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积
|AB|=|A||B|
以上可以扩展到多个矩阵的情况
|M1M2..Mn-1Mn|=|M1||M2|...|Mn-1||Mn|
矩阵转置的行列式等与原矩阵的行列式
|mT|=|M|
如果矩阵的任意行或列全为零，那么它的行列式等与0
交换矩阵的任务两行或两列，行列式变负
任意行列式的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的值
几何意义
2维，行列式等与以基向量为两边的平行四边形的有符号面积
3维，行列式等与以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号体积
行列式的符号说明了矩阵是否包含镜像或投影
如果行列式为零，那么该矩阵包含投影
如果行列式为负，那么该矩阵包含镜像
矩阵的逆，方阵M的逆，记作M-1，也是一个矩阵，当M与M-1相乘时，结果是单位矩阵。即M(M-1) = M-1M = I。
计算法则：如果矩阵是正交的，则它的转置就是它的逆，这个非常有用，可以用来快速求逆。（平移，旋转和镜像是仅有的正交变换）。
只有方阵才有逆。
若矩阵的某一行或列上的元素都为零，用任何矩阵乘以该矩阵，结果都是一个零矩阵，所以它没有逆。
没有逆的矩阵称为 奇异 矩阵；有逆的矩阵称为 非奇异 矩阵。
代数意义
如果M是非奇异矩阵，则该矩阵的逆的逆等与原矩阵: (M-1)-1 = M
单位矩阵的逆是它本身:I-1 = I
矩阵转置的逆等与它的逆的转置: (MT)-1 = (M-1)T
矩阵乘积的逆等与矩阵的逆的相反顺序的乘积: (AB)-1 = B-1A-1。这可扩展到多个矩阵的情况:
(M1M2...Mn-1Mn)-1 = Mn-1Mn-1-1...M2-1M1-1
几何意义
它使得我们可以计算变换的“反向”或“相反”变换——能“撤销”原变换的变换。
4*4齐次矩阵
齐次坐标，就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧氏几何里的笛卡儿坐标一般。
一句话理解，就是在+1维度坐标空间，可以用来执行原维度空间的平移运算
CocosCreator游戏引擎提供的api参考
可以看出，引擎都有提供计算接口，比如求转置，求逆，求行列式。
所以我们更应该关注以上概念的用途，而不用太过于记忆计算法方法。
——矩阵——
都在 cc.Mat4类里面，该有的都有，简单列举一下
矩阵标量乘法
static
multiplyScalar<Out extends IMat3Like>(out: Out, a: Out, b: number): Out;
矩阵加/减法
static add<Out
extends IMat3Like>(out: Out, a: Out, b: Out): Out;
static
subtract<Out extends IMat3Like>(out: Out, a: Out, b: Out): Out;
矩阵乘法
static
multiply<Out extends IMat4Like>(out: Out, a: Out, b: Out): Out;
——变换矩阵——
转置
static
transpose<Out extends IMat4Like>(out: Out, a: Out): Out;
求逆
static invert<Out
extends IMat4Like>(out: Out, a: Out): Out;
求行列式
static
determinant<Out extends IMat4Like>(a: Out): number;
矩阵乘法
static
multiply<Out extends IMat4Like>(out: Out, a: Out, b: Out): Out;
在给定矩阵变换基础上加入变换(矩阵和向量乘法)
static
transform<Out extends IMat4Like, VecLike extends IVec3Like>(out: Out, a:
Out, v: VecLike): Out;
矩阵位移
static
translate<Out extends IMat4Like, VecLike extends IVec3Like>(out: Out, a:
Out, v: VecLike): Out;
矩阵缩放
static scale<Out
extends IMat4Like, VecLike extends IVec3Like>(out: Out, a: Out, v: VecLike):
Out;
矩阵旋转
static rotate<Out
extends IMat4Like, VecLike extends IVec3Like>(out: Out, a: Out, rad: number,
axis: VecLike): Out | null;
static
rotateX<Out extends IMat4Like>(out: Out, a: Out, rad: number): Out;
static
rotateY<Out extends IMat4Like>(out: Out, a: Out, rad: number): Out;
static
rotateZ<Out extends IMat4Like>(out: Out, a: Out, rad: number): Out;
——求新矩阵——
计算位移矩阵
static
fromTranslation<Out extends IMat4Like, VecLike extends IVec3Like>(out:
Out, v: VecLike): Out;
计算缩放矩阵
static
fromScaling<Out extends IMat4Like, VecLike extends IVec3Like>(out: Out,
v: VecLike): Out;
计算旋转矩阵
static
fromRotation<Out extends IMat4Like, VecLike extends IVec3Like>(out: Out,
rad: number, axis: VecLike): Out | null;
矩阵等价判断
static
strictEquals<Out extends IMat3Like>(a: Out, b: Out): boolean;
本文配套脑图下载地址：
https://pan.baidu.com/share/init?surl=v4HHHLvW80uXdBe5KaeCow&pwd=e5g8
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