第一，2.71828...这个数最早的历史是Napier创造的对数表是用这个数为底的，他用的数学模型是v(速度)=x(距离)，也就是dx/dt=x，那个时代还没有发现幂指数，更没有微积分，因为用这个最简单的对数方程创造了工业革命最广为应用的对数表，于是当时就把这个对数叫做自然对数，e就称为自然对数的底，所以"自然数"的名头最早不是关于衰变或者复利的。
第二，e是描述“最基本”的一类变化，就好比正弦波代表最基本的一类振荡，其他所有的更复杂的振荡都可以用（不同频率、不同幅度的）正弦振荡的叠加来表达。如果一个变量的变化速率dx/dt 刚好就跟这个变量x 自身的体量成正比，其表达就是： 变量之变化（增或减）服从指数规律。自然界里有很多变量， 它们随时间变化的速率是遵从这个规律的， 比如楼主提到的“电容器两端的电压”，充电、放电的快慢服从指数规律， 这同时也是简单分析表达式所能表达的，变化最快的一类变化。
第三，把一个比较大的自然数平均分成若干份，并使它们的乘积最大，只有每份是3的时候乘积最大，这是因为3最接近于e，你说神奇不？水的沸点是100度，而100/e就是人的正常体温，你说神奇不？这难道是巧合吗？生活和自然界中涉及e的时候很多，说明e对我们人类太有用了，我们还要深入研究。
第四，一个量的变化率，与这个量自身成正比”同时也体现了微观层面量子跃迁的非累积性和各向同性（与时间流逝无关、与空间阔缩无关，因而体现在宏观上就是无时无处恒速率的变化)：原子衰变、化学反应、电容放电，光电反应、生物发育、微生物繁殖、植物花序、光合作用、昆虫赴火、海螺长壳、营养代谢、药物代谢甚至轻核聚变、星云凝聚或商业复利、器件性能摩尔定律等等都在一定范围程度内存在这种现象，体现了物理演变的无标度性，数学上同样见诸于概率分布（包括指数、几何和正态分布等）以及斐波那契数列的研究，自然常数就是倍增或者半减在无时无处恒变速率的条件下的极限值e和1/e。
第五，历史上e的起源与对数的计算有关。大航海时代为了准确航行，人们需要进行大量复杂数值的乘法运算，例如计算a×b=?人们发现如果将其转化为对数运算就可以将乘法变成加法。如果令y=a×b，两边取以ε为底的对数则loga+logb=logy，loga+logb是加法运算，比较容易算出结果，其结果不妨记为x，那么最终需要的结果y=ε^x。然而求出某个数的对数，比如loga并不容易。但是对数和指数是互为逆运算关系，如果事先按照y=ε^x的关系计算出一张当x=1，2，3...时，y分别等于多少的数据表，要是你需要计算其对数的那个数，刚好是这张表中的某个y值，或者至少是与y值接近，那么这个数的对数就是与y对应的那个x值，纳皮尔就制作这么一张对数表。要想让这张表更好用，得需要表中的y值足够密集，即某个y值与下一个y值之差足够小，这样才能保证你要计算的对数有很大的可能在这个表中。如何才能做到这一点呢？只要ε尽量接近1就可以，例如令ε=1+1/n，n是一个很大的数，n越大获得的y值就越密集。现考察当x发生最小变化，即Δx=1时，引起的y值相对变化量是多少?即Δy/y=[(1+1/n)^(x+1)-(1+1/n)^x]/[(1+1/n)^x]=1/n=Δx/n，所以Δy/Δx=y/n。如果令z=x/n，则Δy/Δz=y，并且y=(1+1/n)^x=(1+1/n)^(nz)=[(1+1/n)ⁿ]^z。当n→∞时，Δy/Δz=dy/dz=y，如果
n→∞时，lim(1+1/n)ⁿ存在，并将该极限记为常数e，则y=e^z，该函数满足这样的关系dy/dz=y，即函数导数就是该函数本身。其反函数，即以e为底的对数函数z=lny，满足dz/dy=1/y这种简洁的关系，即这种对数函数的导数是自变量的倒数，也将以e为底的对数称为自然对数。这是n→∞时，lim(1+1/n)ⁿ=e的真正来源。至于e具体等于多少，是由欧拉大神首先计算出来的，那又是一段荡气回肠的故事。
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