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概述：
广义线性模型(generalized linear model, GLM)扩展了线性模型的应用范围，其放松了对因变量的分布限制，将因变量的分布范围从正态分布扩展到二项分布、Poisson分布、负二项分布等指数分布，且通过连接函数，将因变量的取值变换到自变量线性预测的取值范围中，把指数分布族的变量统一到一个模型的框架中，因此具有较大灵活性。
GLM的一般形式为：
g(μi)=β0+β1xi1+⋯+βpxip
其中，g是联接函数，μi是第i个观测值对应的因变量的均值，β0, β1, ..., βp是待估计的参数，xi1,...xip是第i个观测值的自变量。
广义线性模型GLM需要满足一些特定假设：
线性：GLM要求自变量与响应变量之间存在线性关系。
独立性：GLM假设观测之间是相互独立的，即某个观测值的取值不受其他观测值的影响。
分布：GLM允许对于因变量服从多种分布，包括连续型（如正态分布）、计数型（如泊松分布）、二项型（如二项分布）和其他分布。
连接函数的选择：GLM需要选择适当的连接函数来将线性部分与因变量结合起来。连接函数的选择取决于因变量的性质和研究问题的要求。
下面介绍常见的广义线性模型的类型：
线性回归模型：用于建模连续型数据，因变量符合正态分布，适用于描述正态分布的连续变量。
Logistic/Probit回归模型：用于建模二分类问题，因变量符合二项分布，使用Logit或Probit连接函数。
Poisson回归模型：用于建模计数型数据，因变量符合泊松分布，适用于描述计数事件发生的频率。
负二项回归模型：用于建模计数型数据，因变量符合负二项分布，适用于描述在一定时间内发生的不规则事件的次数。
Gamma回归模型：用于建模正偏态连续型数据，因变量符合伽马分布，适用于描述正偏的连续变量，如收入、保费等。
GLM使用的分布不再仅是正态分布，因此GLM的参数估计使用加权最小二乘法(WLS)或使用最大似然法(MLE)对进行参数估计。GLM当中参数的假设检验通常用似然比检验（Likelihood Ratio Test，LRT）、Wald检验和Score检验。对于模型的比较通常使用似然比检验。
案例实操：
研究不同催化剂在不同温度下对某化合物转化率的影响,得到如下结果：
案例分析及统计策略分析
本案例研究不同催化剂在不同温度下对某化合物转化率的影响，其中因素B（温度）嵌套在因素A（催化剂）中，因此模型有嵌套因素，可以用广义线性模型中的对话框直接拟合该模型。
SPSS实际操作（源数据sav，可在公众号扣1获取）
1、分析-广义线性模型-广义线性模型
2、在“响应”选项卡中，将“转化率”选入“因变量”框中。
3、在“预测变量”选项卡中，将“催化剂、温度、批次”选入“因子”框中。
4、在“模型”选项卡中，将“催化剂”选入右侧的“模型”框中，将“温度”选入下方的“构建嵌套项”框中，单击“内部（W）”。
5、然后将“催化剂”选入下方的“构建嵌套项”框中，单击“添加到模型”按钮，将生产的“温度（催化剂）”添加到“模型”框中。
6、将“批次”选入右侧的“模型”框中。最后单击“确定”。
分析结果描述
表1、Omnibus检验，即与不包括任何一个自变量的模型相比，当前模型是否对数据解释得更充分，两模型之间是否存在统计学差异，结果可见P值远小于0.05，因此当前模型比无效模型更有价值。
Omnibus 检验a | ||
似然比卡方 |
自由度 |
显著性 |
70.094 |
9 |
<.001 |
|
因变量：转化率 模型：（截距）, 催化剂, 温度(催化剂), 批次
| ||
a. 将拟合模型与截距模型相比较。 | ||
表2、模型效应检验提示催化剂和温度均有统计学意义，而批次无统计学意义。
模型效应检验 | |||
源 |
III 类 |
||
瓦尔德卡方 |
自由度 |
显著性 |
|
（截距） |
36699.612 |
1 |
<.001 |
催化剂 |
718.531 |
2 |
<.001 |
温度(催化剂) |
147.306 |
6 |
<.001 |
批次 |
.184 |
1 |
.668 |
|
因变量：转化率 模型：（截距）, 催化剂, 温度(催化剂), 批次
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总结及拓展衍生
广义线性模型包含多种回归模型，后面章节将分别介绍几种常用的广义线性模型回归分析模型，包括Poisson回归分析、负二项回归分析等。